專題12.3 全等三角形的九大經(jīng)典模型（舉一反三）（人教版）（原卷版）

專題12.3全等三角形的九大經(jīng)典模型【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平移模型】 1【題型2軸對稱模型】 3【題型3旋轉(zhuǎn)模型】 4【題型4一線三等角模型】 6【題型5倍長中線模型】 8【題型6截長補(bǔ)短模型】 10【題型7手拉手模型】 12【題型8角平分線模型】 15【題型9半角全等模型】 16【知識點1平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.【常見模型】【題型1平移模型】【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點B的對應(yīng)點E恰好落在邊BC的中點上，點C的對應(yīng)點F在BC的延長線上，連接AD，AC、DE交于點O．下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠B=∠F B．AC⊥DE C．BC=DF D．AC、DE互相平分【變式1-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點C為AE的中點，AB=CD，BC=DE．(1)求證：△ABC≌△CDE；(2)將△ABC沿射線AC方向平移得到△A'B'C'，邊B'C'與邊CD的交點為F，連接EF，若EF將CDE【變式1-2】（2023春·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點F．(1)求證：△AFB≌△CFD；(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范圍．【變式1-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）已知△ABC，AB=AC,∠ABC=∠ACB，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．如圖，連接BD、AF，則BD__________AF（填“>”“<”或“=”），并證明．【知識點2軸對稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】【題型2軸對稱模型】【例2】（2023春·河北邯鄲·八年級校考期末）如圖，在長方形ABCD中，點M為CD中點，將△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=α，∠ABE=β，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（

）A．α+3β=180° B．β-α=20° C．α+β=80° D．3β-2α=90°【變式2-1】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=12∠DAB．試猜想DE，BF，EF【變式2-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，將ΔABC沿AB向下翻折后，再繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)α度（α＜∠ABC）．得到RtΔADE，其中斜邊AE交BC于點F，直角邊DE分別1請根據(jù)題意用實線補(bǔ)全圖形；（不得用鉛筆作圖）．2求證：ΔAFB?ΔAGE【變式2-3】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答下列問題如圖1，以AB為軸，把△ABC翻折180°，可以變換到△ABD的位置；如圖2，把△ABC沿射線AC平移，可以變換到△DEF的位置．像這樣，其中的一個三角形是另一個三角形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換．班里學(xué)習(xí)小組針對三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論（1）請你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），．（2）如圖2，前進(jìn)小組把△ABC沿射線AC平移到△DEF，若平移的距離為2，且AC＝5，則DC＝．（3）如圖3，圓夢小組展開了探索活動，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)部點A′的位置，且得出一個結(jié)論：2∠A′＝∠1+∠2．請你對這個結(jié)論給出證明．（4）如圖4，奮進(jìn)小組則提出，如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外部點A′的位置，此時∠A′與∠1、∠2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并證明．【知識點3旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見模型】【題型3旋轉(zhuǎn)模型】【例3】（2023春·全國·八年級期末）（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）【變式3-1】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，∠AOB=115°,∠BOC=125°，則以線段OA,OB,OC為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為．【變式3-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°．(1)在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF=BE+DF”，小亮將ΔADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°(2)如圖2，當(dāng)∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【變式3-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在銳角ΔABC中，∠A=60°，點D，E分別是邊AB,AC上一動點，連接BE(1)如圖1，若AB>AC，且BD=(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN．在點D，【知識點4一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【題型4一線三等角模型】【例4】（2023春·山東菏澤·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【變式4-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【變式4-2】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．求證：BC=AE．[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為_____________．【變式4-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為（2）探索證明：如圖②，點B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求證：ΔABE≌（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面積為15，則ΔACF與Δ【知識點5倍長中線模型模型】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．【常見模型】【題型5倍長中線模型】【例5】（2023春·甘肅慶陽·八年級?？计谀┬∶饔龅竭@樣一個問題，如圖1，△ABC中，AB=7，AC=5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造△BED?△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：(1)小明證明△BED?△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范圍是；(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD平分∠BAC，求證：AB=AC．【變式5-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）如圖，△ABC中，點D在AC上，AD=3,AB+AC=10，點E是BD的中點，連接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，則CD=．【變式5-2】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，點M為BC的中點，AM=3，DE=．【變式5-3】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中BD=DC∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，點E為BC的中點，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點，求證：AP⊥DP．【知識點6截長補(bǔ)短模型】【模型解讀】截長補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長:指在長線段中截取一段等于已知線

段:補(bǔ)短:指將短線段延長,延長部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等服三角形、角平分線等關(guān)鍵詞

句,可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程,截長補(bǔ)短法(往往需證2次全等)。

【模型圖示】

(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。

例:如圖,求證BE+DC=AD；方法:①在AD上取一點F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點F,使DF=DC,證AF=BE

(2)補(bǔ)短:將短線段延長,證與長線段相等【題型6截長補(bǔ)短模型】【例6】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖①，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D為頂點作一個50°角，角的兩邊分別交邊AB，AC于點E、F，連接EF．（1）探究BE、EF、FC之間的關(guān)系，并說明理由；（2）若點E、F分別在AB、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則BE、EF、FC之間存在什么樣的關(guān)系？并說明理由．【變式6-1】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式6-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線，BE，CD交于點F．（1）求證：∠BFC=90°+1（2）已知∠A=60°．①如圖1，若BD=4，BC=6.5，求CE的長；②如圖2，若BF=AC，求∠AEB的大?。咀兪?-3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．【思考引導(dǎo)】因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；（2）拓展提升：如圖3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．【知識點7手拉手模型】【模型解讀】如圖，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。結(jié)論：△BAD≌△CAE。【模型分析】手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)?！绢}型7手拉手模型】【例7】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC是一個銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、△ACE，連接BE、CD交于點F，連接AF．(1)求證：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度數(shù)；(3)求證：AF平分∠DFE．【變式7-1】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角頂點重合在點C處，連接AE、BD，點A恰好在線段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；(2)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．【變式7-2】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)若CM＝2，BE＝【變式7-3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點．(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；(3)如圖3，若∠DAB＝α，試探究∠AFG與α的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【知識點8角平分線模型】模型一：如圖一，角平分線+對稱型利用角平分線圖形的對稱性,在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形,可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移,這是經(jīng)常使用的種解題技巧。

【理論依據(jù)】:三邊對應(yīng)相等的三角戲是全等三角形(SSS)、全等三角形對應(yīng)角相等模型二：如圖二，角平分線+垂直兩邊型【幾何語言】:∵OC為∠AOB的角平分線,D為OC上一點DE⊥OA,DF⊥OB∴△CED≌△OFD(AAS),∴DE=DF模型三：如圖三，角平分線+垂直平分線型【說明】構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的三線合一,也可以得到兩個全等的直角三角形,進(jìn)而

得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。模型四：如圖四，角平分線+平行線型【說明】有角平分線時,常過角平分線上一點作角的有邊的平行線,構(gòu)造等腰三角形,為證明結(jié)論提供更多的條件,體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系?！绢}型8角平分線模型】【例8】（2023春·浙江·八年級期中）如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．【變式8-1】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=36°，則∠CAP=．【變式8-2】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝12CD【變式8-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝12