專題六 數(shù)列-2023屆高考數(shù)學(xué)公式定律速記清單

專題六

數(shù)列——2023屆高考數(shù)學(xué)公式定律速記清單（一）等差（比）數(shù)列的基本運(yùn)算1.等差數(shù)列(1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d．(3)等差中項(xiàng)公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).2.等比數(shù)列(1)等比數(shù)列通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1)).(3)等比中項(xiàng)公式：a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)3.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an之間的關(guān)系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))4.重要結(jié)論通項(xiàng)公式的推廣：等差數(shù)列中，an＝am＋(n－m)d；等比數(shù)列中，an＝am·qn－m.5.等差（比）數(shù)列的判斷與證明（1）若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則{man＋kbn}，{eq\f(Sn,n)}仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)．（2）若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m為常數(shù))，{aeq\o\al(2,n)}，{eq\f(1,an)}仍為等比數(shù)列．（3）公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比數(shù)列，且公比為eq\f(a3－a2,a2－a1)＝eq\f(a2－a1q,a2－a1)＝q．（4）等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk．等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，公差為k2d．（5）若A2n－1，B2n－1分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前2n－1項(xiàng)的和，則eq\f(an,bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)．6.等差（比）數(shù)列的性質(zhì)(1)增減性：①等差數(shù)列中，若公差大于零，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差小于零，則數(shù)列為遞減數(shù)列．②等比數(shù)列中，若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1，則數(shù)列為遞減數(shù)列．(2)等差數(shù)列{an}中，Sn為前n項(xiàng)和，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列{bn}中，Tn為前n項(xiàng)和．Tn，T2n－Tn，T3n－T2n，…一般仍成等比數(shù)列．（二）數(shù)列求和及綜合應(yīng)用1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納猜想法．(2)已知與的關(guān)系，利用求．(3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如，其中數(shù)列前n項(xiàng)和可求，這種類(lèi)型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法(疊加法)．(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系形如，其中數(shù)列前n項(xiàng)可求積，此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法)．(5)構(gòu)造法：①遞推關(guān)系形如(p，q為常數(shù))可化為的形式，利用是以p為公比的等比數(shù)列求解；②遞推關(guān)系形如(p為非零常數(shù))可化為的形式．2.分組求和法分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成形式的數(shù)列求和問(wèn)題的方法，其中與是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列．3．裂項(xiàng)相消法將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)代數(shù)式子的差，即的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的求和方法．形如(其中是公差且各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列等．4．錯(cuò)位相減法形如(其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分三步：①巧拆分；②構(gòu)差式；③求和．5．倒序求和法距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等，可以用此法，一般步驟：①求通項(xiàng)公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顧