數(shù)值分析常用的插值方法

./數(shù)值分析報(bào)告班級(jí)：專業(yè)：流水號(hào)：學(xué)號(hào)：姓名：常用的插值方法序言在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)插連續(xù)函數(shù),使得這條連續(xù)曲線通過(guò)全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法,利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況,估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。

早在6世紀(jì),中國(guó)的焯已將等距二次插值用于天文計(jì)算。17世紀(jì)之后,牛頓、拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代,插值法仍然是數(shù)據(jù)處理和編制函數(shù)表的常用工具,又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求根和微分方程數(shù)值解法的重要基礎(chǔ),許多求解計(jì)算公式都是以插值為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。插值問(wèn)題的提法是：假定區(qū)間[a,b〕上的實(shí)值函數(shù)f〔x在該區(qū)間上n＋1個(gè)互不相同點(diǎn)x0,x1……xn處的值是f〔x0,……f〔xn,要求估算f〔x在[a,b〕中某點(diǎn)的值。其做法是：在事先選定的一個(gè)由簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的有n＋1個(gè)參數(shù)C0,C1,……Cn的函數(shù)類Φ<C0,C1,……Cn>中求出滿足條件P〔xi＝f〔xi〔i＝0,1,……n的函數(shù)P<x>,并以P<x>作為f<x>的估值。此處f〔x稱為被插值函數(shù),x0,x1,……xn稱為插值結(jié)<節(jié)>點(diǎn),Φ<C0,C1,……Cn>稱為插值函數(shù)類,上面等式稱為插值條件,Φ〔C0,……Cn中滿足上式的函數(shù)稱為插值函數(shù),R〔x＝f〔x－P〔x稱為插值余項(xiàng)。求解這類問(wèn)題,它有很多種插值法,其中以拉格朗日<Lagrange>插值和牛頓<Newton>插值為代表的多項(xiàng)式插值最有特點(diǎn),常用的插值還有Hermit插值,分段插值和樣條插值。一．拉格朗日插值1.問(wèn)題提出：已知函數(shù)在n+1個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值,求任意一點(diǎn)的函數(shù)值。說(shuō)明：函數(shù)可能是未知的；也可能是已知的,但它比較復(fù)雜,很難計(jì)算其函數(shù)值。2.解決方法：構(gòu)造一個(gè)n次代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)替代未知〔或復(fù)雜函數(shù),則用作為函數(shù)值的近似值。設(shè),構(gòu)造即是確定n+1個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)。3.構(gòu)造的依據(jù)：當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)也同時(shí)過(guò)已知的n+1個(gè)點(diǎn)時(shí),我們可以認(rèn)為多項(xiàng)式函數(shù)逼近于原來(lái)的函數(shù)。根據(jù)這個(gè)條件,可以寫(xiě)出非齊次線性方程組：其系數(shù)矩陣的行列式D為德萌行列式：故當(dāng)n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同時(shí),方程組系數(shù)矩陣的行列式D不等于零,故方程組有唯一解。即有以下結(jié)論。結(jié)論：當(dāng)已知的n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同時(shí),則總能夠構(gòu)造唯一的n次多項(xiàng)式函數(shù),使也過(guò)這n+1個(gè)點(diǎn)。4.幾何意義5．舉例：已知函數(shù),求。分析：本題理解為,已知"復(fù)雜"函數(shù),當(dāng)x=81,100,121,144時(shí),其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為：y=9,10,11,12,當(dāng)x=115時(shí),求函數(shù)值。解：〔1線性插值：過(guò)已知的〔100,10和〔121,11兩個(gè)點(diǎn),構(gòu)造1次多項(xiàng)式函數(shù),于是有則?！?拋物插值：構(gòu)造2次多項(xiàng)式函數(shù),使得它過(guò)已知的〔100,10、〔121,11和〔144,12三個(gè)點(diǎn)。于是有2次拉格朗日插值多項(xiàng)式：則有10.4206.拉格朗日n次插值多項(xiàng)式公式：其中稱為基函數(shù)〔k=0,1,….,n,每一個(gè)基函數(shù)都是關(guān)于x的n次多項(xiàng)式,其表達(dá)式為：拉格朗日公式特點(diǎn)：1．把每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)單獨(dú)組成一項(xiàng)；2.每一項(xiàng)中的分子是關(guān)于x的n次多項(xiàng)式,分母是一個(gè)常數(shù)；3.每一項(xiàng)的分子和分母的形式非常相似,不同的是：分子是,而分母是7.誤差分析〔拉格朗日余項(xiàng)定理,其中在所界定的圍。針對(duì)以上例題的線性插值,有函數(shù)在[100,115]區(qū)間絕對(duì)值的極大值為,則有：于是近似值有三位有效數(shù)字。針對(duì)以上例題的拋物線插值,有函數(shù)在[100,115]區(qū)間絕對(duì)值的極大值為,則有于是近似值10.420有四位有效數(shù)字。8.拉格朗日插值公式的優(yōu)點(diǎn)公式有較強(qiáng)的規(guī)律性,容易編寫(xiě)程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。9.拉格朗日插值通用程序程序流程圖如下：文件lagrange.m如下：%拉格朗日插值closealln=input<'已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?'>;x=input<'x1,x2,...,xn=?'>;y=input<'y1,y2,...,yn=?'>;xx=input<'插值點(diǎn)=？'>;symst%定義t為符號(hào)量p=0;fork=1:nl=1;forj=1:k-1l=l*<t-x<j>>/<x<k>-x<j>>;endforj=k+1:nl=l*<t-x<j>>/<x<k>-x<j>>;endp=p+l*y<k>;endp=inline<p>;%把符號(hào)算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot<p,[min<min<x>,xx>-1,max<max<x>,xx>+1]>;%畫(huà)多項(xiàng)式函數(shù)holdonp<xx>%顯示插值點(diǎn)plot<x,y,'o',xx,p<xx>,'*'>;%畫(huà)已知點(diǎn)和插值點(diǎn)在MATLAB命令窗口輸入：lagrange然后有以下對(duì)話過(guò)程和結(jié)果,已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?6x1,x2,...,xn=?[1,3,5,7,9,11]y1,y2,...,yn=?[-1,20,0,-1,12,3]插值點(diǎn)=？8ans=5.000有以下圖形：二．牛頓插值拉格朗日插值的缺點(diǎn)：無(wú)承襲性〔繼承性若算出3點(diǎn)的拋物插值精度不夠,再進(jìn)行4點(diǎn)的3次多項(xiàng)式插值時(shí),必須從頭算起,前面算出的3點(diǎn)拋物插值的計(jì)算結(jié)果不能利用。而泰勒插值卻是具有承襲性的,如線性插值的結(jié)果不精確,那么再加上一項(xiàng),就變成了泰勒拋物插值,如：泰勒1次插值：泰勒2次插值：。而牛頓插值就是具有承襲性的插值公式1.差商的概念設(shè)n+1個(gè)點(diǎn)互不相等,則定義：和兩點(diǎn)的一階差商為：,三點(diǎn)的二階差商為：,四點(diǎn)的三階差商為：……n+1個(gè)點(diǎn)的n階差商為：差商具有對(duì)稱性：；2.牛頓插值解決的問(wèn)題與拉格朗日插值解決的問(wèn)題相同只是表述n次多項(xiàng)式的公式不同。3.牛頓插公式的推導(dǎo)根據(jù)差商的概念,有：…是兩點(diǎn)的一階差商；……是三點(diǎn)的二階差商；……把以上各式從后向前逐次代入,可以得到：其中以上的表達(dá)式稱為牛頓插值公式,可以證明,n次牛頓插值多項(xiàng)式與n次拉格朗日插值多項(xiàng)式完全相同,只是表達(dá)形式不同。故,拉格朗日余項(xiàng)定理與牛頓余項(xiàng)定理相同：,其中在所界定的圍。則有公式：4.牛頓插值差商表xiyi一階差商二階差商n階差商*x0y01x1y1f[x0,x1]<x-x0>x2y2f[x1,x2]f[x0,x1,x2]<x-x0><x-x1>x3y3f[x2,x3]f[x1,x2,x3]<x-x0>…<x-x2>……xn-1yn-1xnynf[xn-1,xn]f[xn-2,xn-1,xn]…f[x0,…,xn]<x-x0>…<x-xn-1>5.舉例已知函數(shù)f<x>當(dāng)x=-2,-1,0,1,2時(shí),其對(duì)應(yīng)函數(shù)值為f<x>=13,-8,-1,4,1。求f<0.5>的值。解：該題目與例1相比,就是多了一個(gè)點(diǎn),所以和例1的差商表相比,只需多一列,多一行：xiyi一階差商二階差商三階差商四階差商*-2131-1-8-21<x+2>0-1714<x+2><x+1>145-1-5<x+2><x+1>x21-3-4-11<x+2><x+1>x<x-1>而5個(gè)點(diǎn)的4次牛頓插值多項(xiàng)式是在的基礎(chǔ)上多增加1項(xiàng)：則可以在MATLAB下運(yùn)行程序newton02.m：p4=inline<'13-21*<x+2>+14*<x+2>*<x+1>-5*<x+2>*<x+1>*x+<x+2>*<x+1>*x*<x-1>'>;fplot<p4,[-2.5,2.5],'r'>;holdonxi=[-2,-1,0,1,2];yi=[13,-8,-1,4,1];plot<xi,yi,'*'>;plot<0.5,p4<0.5>,'o'>;可以得到以下圖形：6.牛頓插值的優(yōu)點(diǎn)〔1具有承襲性質(zhì)〔2利用差商表,計(jì)算多點(diǎn)插值,比拉格朗日公式計(jì)算方便。7.牛頓插值算法的通用程序以下是程序流程圖：MATLAB的通用程序newton.m為：%牛頓插值closealln=input<'已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?'>;x=input<'x1,x2,...,xn=?'>;y=input<'y1,y2,...,yn=?'>;xx=input<'插值點(diǎn)=？'>;%計(jì)算差商：f[x1,x2],f[x1,x2,x3],...,f[x1,x2,...,xn]f=y;fori=1:n-1%計(jì)算第i階差商fork=n:-1:i+1f<k>=<f<k>-f<k-1>>/<x<k>-x<k-i>>;endendsymst%定義t為符號(hào)量p=f<1>;fork=2:nl=1;forj=1:k-1l=l*<t-x<j>>;endp=p+l*f<k>;endp=inline<p>;%把符號(hào)算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot<p,[min<min<x>,xx>-1,max<max<x>,xx>+1]>;%畫(huà)多項(xiàng)式函數(shù)holdonp<xx>%顯示插值點(diǎn)plot<x,y,'o',xx,p<xx>,'*'>;%畫(huà)已知點(diǎn)和插值點(diǎn)在MATLAB命令窗口輸入：newton然后有以下對(duì)話過(guò)程和結(jié)果,已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?6x1,x2,...,xn=?[1,3,5,7,9,11]y1,y2,...,yn=?[-1,20,0,-1,12,3]插值點(diǎn)=？8ans=5.000有以下圖形：三．總結(jié)和展望插值與逼近都是指用某個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)在滿足一定條件下在某個(gè)圍近似代替另一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)或解析表達(dá)式未能給出的函數(shù),以便于簡(jiǎn)化對(duì)后者的各種計(jì)算或揭示后者的某些性質(zhì)。插值方法理論是近似計(jì)算和逼近函數(shù)的有效方法。此外,它也是數(shù)值微積分,微分方程數(shù)值解等數(shù)值分析的基礎(chǔ)。在圖形處理等很多需要優(yōu)化的實(shí)際中,也有著很廣泛的應(yīng)用。我們期望在以后的生活中會(huì)更加熟練和更好的運(yùn)用插值方法。參考文獻(xiàn)［1］慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M].:華中科技大學(xué),1982.［2］吳才斌.插值方法[J].大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào),1999,<5>.［3］徐萃薇,繩武.計(jì)算方法引論[M].:高等教育,2002.［4］林鷺.拉格朗日插值多項(xiàng)式的一種并行算法[J].大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,43<