2021年中考數(shù)學(xué)考點一遍過-考點14 等腰三角形與直角三角形

考點14等腰三角形與直角三角形

?考情分析與預(yù)測

該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識的基礎(chǔ)上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查,分值為10分左右，預(yù)計2021

年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形和勾股定理與中位線性質(zhì)、三角形全

等、三角形內(nèi)外角性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識點結(jié)合考察，這部分知識需要學(xué)生扎實地掌握基礎(chǔ)，并且會靈活運用.

在解答題中會出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定,這部分知識主要考查基礎(chǔ).

1:知識整合

一、等腰三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）.

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底

邊上的高重合.

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。.

2.等腰三角形的判定

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）.這個判定定

理常用于證明同一個三角形中的邊相等.

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

推論2：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

二、等邊三角形

1.定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。.

3.判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形.

三、直角三角形與勾股定理

1.直角三角形

定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

性質(zhì)：（1）直角三角形■兩銳角互余；

（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么?它所對的直角邊等于斜邊的一半；

（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

判定：（1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

2.勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊4、%的平方和等于斜邊C的平方，即：W+bM

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊“、b、C有關(guān)系：“2+62=/,那么這個三角形是直角三角形.

考向一等腰三角形的性質(zhì)

1.等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸.

2.等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

b

4.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為底邊長為江則一＜”.

2

1go。_/4

5.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為/2、NC,則NA=180°-2N8,ZB=ZC=--------

2

典例引領(lǐng)

1.（2020?青海中考真題）等腰三角形的一個內(nèi)角為70。，則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是（）

A.55°,55°B.70°,40°或70°,55°C.70°,40°D.55°,55。或70。,40°

【答案】D

【分析】先根據(jù)等腰三角形的定義，分70。的內(nèi)角為頂角和70°的內(nèi)角為底角兩種情況，再分別根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】（1）當(dāng)70。的內(nèi)角為等腰三角形的頂角，則另外兩個內(nèi)角均為底角，它們的度數(shù)為;=55。

（2）當(dāng)70°的內(nèi)角為等腰三角形的底角，則另兩個內(nèi)角一個為底角，一個為頂角；底角為70。，頂角為

1800-70°-700=40°

綜上，另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是55°,55°或70。,40°故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的定義，正確分兩種情況

討論是解題關(guān)鍵.

2.（2020?四川瀘州市?中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末

比”問題：點G將一線段MN分為兩線段MG,GN,使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN

的比例中項，即滿足理=絲=叵］，后人把苴二1這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段

MNMG22

的“黃金分割”點.如圖，在口45。中，已知AB=AC=3,BC=4,若。，E是邊的兩個“黃金

分割”點，則口ADE的面積為（）

A.10-475B.375-5C.5-2^D.20-8石

【答案】A

【分析】作AFJ_BC,根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點的定義求出BE、CD

的長度，得到口4）石中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

【詳解】解:過點A作AF±BC,VAB=AC,二BF=gBC=2,在RtQABF,AF=VAB2-BF2=舊"=6，

,/D是邊3。的兩個“黃金分割''點，；.C2=避二1即C2=避二1,

BC242

解得CD=2A/5-2-同理BE=275-2，:CE=BC-BE=4-(2也-2)=6-275，；?DE=CD-CE=4#)-8,

SAABC=xDExAF=x(4-75—8jxV5=10—4\/5>故選：A.

【點睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，求

出DE和AF的長是解題的關(guān)鍵。

變式拓展

1.(2020?山東濱州市?中考真題)在等腰UABC中，AB=AC,ZB=50°,則NA的大小為.

【答案】80°

【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等可求NC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。列式進(jìn)行計算即可得解.

【詳解】解：VAB=AC,ZB=50°,，/C=/B=50。，AZA=180°-2x50°=80°.故答案為：80°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形兩底角相等的性質(zhì).

4.(2020?黑龍江齊齊哈爾市?中考真題)等腰三角形的兩條邊長分別為3和4,則這個等腰三角形的周長是

【答案】1()或11

【分析】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：①3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、4,?.?此時能組成三角形，.?.周長=3+3+4=10；

②3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、4、4,此時能組成三角形，所以周長=3+4+4=11.

綜上所述，這個等腰三角形的周長是10或11.故答案為：10或11.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確分情況討論是解題的關(guān)鍵.

考向二等腰三角形的判定

1.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等

關(guān)系的重要依據(jù).

2.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形.

典例引領(lǐng)

1.(2020?浙江臺州市?中考真題)如圖，已知AB=AC,AD=AE,和CE相交于點。.

(1)求證：△ABCgZVICE；(2)判斷ABOC的形狀，并說明理由.

A

【答案】（1）見解析；（2）等腰三角形，理由見解析.

【分析】（I）由可證△48。絲ZsACE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得乙48D=/4CE,由等腰三角形的

性質(zhì)可得/ABC=/ACB,可求NOBC=NOCB,可得B0=C。，即可得結(jié)論.

【詳解】證明：（1）\"AB=AC,NBAD=NCAE,AD^AE,，ZXAB力絲△ACE（SAS）；

（2）△BOC是等腰三角形，

理由如下：V/\ABD^/\ACE,：.ZABD=ZACE,

'：AB=AC,：.ZABC=ZACB：.ZABC-ZABD=ZACB-ACE,

：.ZOBC=ZOCB,：.BO=CO,.,.△BOC是等腰三角形.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記相關(guān)定理是解題關(guān)鍵.

2.（2020?四川南充市?中考真題）如圖,在等腰三角形ABC中,BD為ZABC的平分線，ZA=36°,AB=AC=a,

BC=b,則CD=（)

a-b

A.B.-------C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD,進(jìn)而解答即可.

【詳解】解：???在等腰AABC中，BD為NABC的平分線，NA=36。，

NABC=/C=2NABD=72。，/.ZABD=36°=ZA,；.BD=AD,

:.ZBDC=ZA+ZABD=72°=ZC,；.BD=BC,

；AB=AC=a,BC=b,；.CD=AC-AD=a-b,故選：C.

【點睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD解答.

變式拓展

1.（2020?廣東中考真題）如圖，在AABC中，點。，E分別是AB、AC邊上的點，BD=CE,

ZABE=ZACD,BE與CD相交于點/，求證：AABC是等腰三角形.

【答案】見解析

（分析】先證明ABDF/ACEF,得到BF=CF,ZFBC=ZFCB,進(jìn)而得到ZABC=ZACB，故可

求解.

ZDFB=NEFC（對頂角相等）

【詳解】證明：在ABDF和ACEF中\(zhòng)NFBD=NFCE

BD=CE

：.^BDF^CEF（AAS）：,BF=CF：./FBC=/FCB

又?；ZABE=NACO，ZFBC+ZABE=ZFCB+ZACD即ZABC=ZACB：.AABC是等腰三角形.

【點睛】此題主要考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì).

考向三等邊三角形的性質(zhì)

1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).

2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸.

3.等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合.

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江紹興市?中考真題）如圖，已知邊長為2的等邊三角形ABC中，分別以點A,C為圓心，m為

半徑作弧，兩弧交于點。，連結(jié)80.若BO的長為2百，則巾的值為

A

【答案】2或2幣.

【分析】由作圖知，點。在4c的垂直平分線上，得到點8在AC的垂直平分線上，求得8。垂直平分AC,

設(shè)垂足為E,得到8后=百，當(dāng)前D、8在AC的兩側(cè)時、如圖，證出即可求出m；當(dāng)點。、B

在AC的同側(cè)時，如圖，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由作圖知，點。在AC的垂直平分線上，

?.?△4BC是等邊三角形，.?.點8在AC的垂直平分線上，."O垂直平分4C,

設(shè)垂足為E,?.,AC=4B=2,.?.8E=AB?sin60°=6，

當(dāng)點D、8在AC的兩側(cè)時，如圖，,;BD=2下,,：.BE=DE,：.AD=AB^2,.?.m=2；

當(dāng)點￡>、8在AC的同側(cè)時，如圖，,/BD'=273.AD'E=3■AAD'=^(3^)2+12=2771二

m=2不，綜上所述，，"的值為2或2",故答案為：2或2幣.

【點睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理，掌握等邊三角

形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想、銳角三角函數(shù)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵.

2.(2020?吉林中考真題)如圖，口46。是等邊三角形，48=4。〃，動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速

度沿AB向點B勻速運動，過點尸作PQ，AB,交折線AC-CB于點。，以P。為邊作等邊三角形PQD,

使點A，。在PQ異側(cè).設(shè)點尸的運動時間為x(s)(O<x<2),△PQ。與口ABC重疊部分圖形的面積

為y(cl).(1)AP的長為cm(用含x的代數(shù)式表示).(2)當(dāng)點。落在邊BC上時，求x的值.

（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

爸用圖

2??y=-處32+18氐-6月:

【答案】（I）2x；（2）§；（3）當(dāng)。<%4］時，y=3y/3x2；當(dāng)］<x<1時,

2

當(dāng)1<X<2時，y=￥(x—2)2.

【分析】（1）根據(jù)“路程=速度X時間”即可得：（2）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

NA=N8=NOPQ=6（）o,PQ=OP,再根據(jù)垂直的定義可得NAQP=N8PO=30。，然后根據(jù)三角形全

等的判定定理與性質(zhì)可得AQ=BP,最后在R/DAPQ中，利用直角三角形的性質(zhì)列出等式求解即可得；

22

（3）先求出點Q與點C重合時x的值，再分0〈尤和l<x<2三種情況，然后分別利用等

邊三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)、以及三角形的面積公式求解即可得.

【詳解】（1）由題意得：AP=2x（cm）故答案為：2x；

(2)如圖，?.?□A3C和△PQ。都是等邊三角形.?.NA=N3=NOPQ=6()o,PQ=￡>P

PQLAB,即ZAPQ=ZBPQ=90°/.ZAQP=90°-ZA=30°,ZBPD=ZBPQ-NDPQ=30°

ZA=ZB

在口APQ和△BDP中,<NAQP=NBPD=30°：.0APQ^QBDP(AAS)AQ=BP

PQ=DP

AB=4,AP=2x:.AQ=BP=AB-AP=4-2x

|12

?.?在R/OAPQ中，ZAQP=30°AP=-AQ,即2x=^(4-2x)解得x=§；

(3)?.?□ABC是等邊三角形:.AC^BC=AB^4

當(dāng)點Q與點C重:合時，AP=-AQ=-x4=2則2x=2,解得x=l

22

2

結(jié)合(2)的結(jié)論，分以下三種情況：①如圖1,當(dāng)時，重疊部分圖形為△PQ。

由(2)可知，等邊△PQ。的邊長為PQ=J^4P=26X

由等邊三角形的性質(zhì)得：PQ邊上的高為走PQ=3x則y怎-3X=3?：2

22

2

②如圖2,當(dāng)一時，重疊部分圖形為四邊形EFPQ

3

?.?ZB=60°,ZBPD=30。??.ZBFP=180°-ZB-/BPD=90°

則在放中，=—2x)=2—x,PF=MBF=?2-x)

DF=PD-PF=2氐一6(2—x)=3氐-2石

EF

在RfADEF中,tanD=--,即EF=tan6()。?OE=

DF

=EOQ2

則yS四邊形=SPQr)—SRlDEF=3\/3x-—DF-EF=36)￡-(3#)x—2石)？

22

=一^^/+18區(qū)一6G

2

③如圖3,當(dāng)l<x<2時;重疊部分圖形為口〃。。

同②可知，8W尸=g(4-2x)=2—x,PM=?BM=瓜1-淄

在RZ0MPQ中，tanZMPQ=,即=tan60°?PW=gPM

則,=SMW=gPM.MQ=#.［百(2—x)［=乎(x-2)2

22oi/Q

綜上，當(dāng)時，y=3&2；當(dāng)］<x?l時，y=一￡^2.》2+186》一6百；

當(dāng)1<X<2時，y=^(x-2)2.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正切三角函

數(shù)等知識點，較難的是題（3）,依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?福建中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形A8C中，2E,/7分別是48,BC,C4的中點,

則△DEF的面積是（）

【分析】根據(jù)題意可以判斷四個小三角形是全等三角形，即可判斷一個的面積是工.

4

【詳解】：2E,尸分別是A8，BC,C4的中點，且AABC是等邊三角形，

...△ADFgADBE絲^FEC絲△DFE,：.Z\DEF的面積是'.故選D.

4

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等，關(guān)鍵在于熟練掌握等邊三角形的特殊性質(zhì).

2.（2020?浙江嘉興市?中考真題）如圖，正三角形A8C的邊長為3,將△ABC繞它的外心。逆時針旋轉(zhuǎn)60。

得到△ABC,則它們重疊部分的面積是（）

D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)重合部分是正六邊形，連接。和正六邊形的各個頂點，所得的三角形都是全等的等邊三角形,

據(jù)此即可求解.

【詳解】解：作AM_LBC于M,如圖:

重合部分是正六邊形，連接。和正六邊形的各個頂點，所得的三角形都是全等的等邊三角形.

13

「△ABC是等邊三角形，AM±BC,，AB=BC=3,BM=CM=—BC=-,ZBAM=30°,

22

二AM=6BM=，：.AABC的面積=工BCxAM=—x3x2^=k,

22224

.?.重疊部分的面積=1Z\ABC的面積=9*2叵=女叵；故選：C.

9942

【點睛】本題考查了三角形的外心、等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解連接0和正六邊形的各個頂

點，所得的三角形都為全等的等邊三角形是關(guān)鍵.

考向四等邊三角形的判定

在等腰三角形中，只要有一個角是60。，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形.

典例引領(lǐng)

1.（2020?湖北宜昌市?中考真題）如圖，在一個池塘兩旁有一條筆直小路（B,C為小路端點）和一棵小樹

（A為小樹位置）測得的相關(guān)數(shù)據(jù)為：NA5C=60°,NACB=60°,BC=48米，則AC=米.

【答案】48

【分析】先說明aABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：：ZA8C=60°,ZACB=60°.,./BAC=180°-60°-60°=60°

:.NBAC=NABC=NBCA=60°.^.△ABC是等邊三角形，AC=BC=48米.故答案為48.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，證得AABC是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川宜賓市?中考真題）如圖，A48CAECO都是等邊三角形，且B,C,D在一條直線上，連結(jié)

5E,A。，點M,N分別是線段BE,AD上的兩點，且BV=■!■8E,AN=LA。，則AaWV的形狀是（）

33

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.不等邊三角形

【答案】C

【分析】先證明口8。￡加48,得到=,根據(jù)已知條件可得4V=,證明△6CV三4ACN，

得至UN<?V=60。，即可得到結(jié)果；

【詳解】?；\ABC,都是等邊三角形，.?.5C=AC,CE=CD，ZBCA=ZDCE=60°,

二ABCA+AACE=4DCE+UCE，,NBCE=ZACD,

,BC=AC

在口8（”和△AC。中，<N腔'=ZACD,:./\BCEm△47?（必S）,

CE=CD

：?BE=AD，/CBM=4ACN，又?：BM=、BE,AN=^AD,：.BM=AN,

33

'BM=AN

在口3。/和△AOV中，，NG5V=乙ACN：.XBCM=/\ACN[SAS）,

BC=AC

???ABCM=4ACN，MC=NC,：.ABCM+AACM=AACN+AACM=60°.

，ACMN是等邊三角形.故答案選C.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確分析題目條件是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?浙江臺州市?中考真題）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6,E,F是邊BC上的三等分點.分

別過點E,F沿著平行于BA,CA方向各剪一刀，則剪下的ADEF的周長是.

【分析】先說明ADEF是等邊三角形，再根據(jù)E,F是邊BC上的三等分求出BC的長，最后求周長即可.

【詳解】解：?.?等邊三角形紙片ABC；.NB=NC=60。

：DE〃AB,DF〃AC.\ZDEF=ZDFE=60°；.△DEF是等邊三角形DE=EF=DF

VE,F是邊BC上的三等分點,BC=6/.EF=2DE=EF=DF=2△DEF=DE+EF+DF=6故答案為6.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、三等分點的意義，靈活應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)是正確解答

本題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川中考真題）如圖，RSABC中,NA=30°,NABC=90。.將RsABC繞點/逆時針方向旋轉(zhuǎn)

得到八4'8。'.此時恰好點C在AC上，43交AC于點E,則"BE與AABC的面積之比為（）

【答案】D

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出8c=8C,ZACB=ZA'CB=60°,則ABCC是等邊三角形，ZCBC=6O°,得出/

AE3

8E4=90。，設(shè)CE=a,則班"也。，AE=3a,求出——=二，可求出答案.

4c4

【詳解】:/人=?。。，ZABC=90°,AZACB=60°,

?將RSA8C繞點8逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到A48C,；.BC=BC,ZACB^ZA'C'B=60°,

...△8CC是等邊三角形，ZCBC=60°,...NA8A=60。，AZBEA=90°,

CE1AE33

設(shè)C￡=a,則AE=3a,---=—,---=一,；.ZkABE與△ABC的面積N.比為一.故選：D.

AE3AC44

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

考向五“三線合一”

等腰（等邊）三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊

上的高重合.

典例引領(lǐng)

1.（202（）?貴州銅仁市?中考真題）已知等邊三角形一邊上的高為26，則它的邊長為（）

A.2B.3C.4D.4y/3

【答案】C

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，利用勾股定理可求解即可.

【詳解】根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)：設(shè)它的邊長為X,可得：/=（］）+（26）2，

解得：x=4,x=-4（舍去），故選：C.

【點睛】本題主要考查J'等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，運用勾股定理列出方程求解是解答此類問題的

常用方法.

2.（2020?內(nèi)蒙古赤峰市?中考真題）如圖，RABC中，AB=AC,AO是/84C的平分線，E尸是4c的垂直

平分線，交A。于點。.若OA=3,則口討。外接圓的面積為（）

A

E

B

A.3萬B.4萬C.6兀D.9萬

【答案】

【分析】先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD是BC的垂直平分線，從而可得點O即為□A3c外接圓的

圓心，再利用圓的面積公式即可得.

【詳解】「AB=AC,AD是NBAC的平分線

：.AD±BC.且AD是BC邊上的中線（等腰三角形的三線合一）.1A。是BC的垂直平分線

?.?砂是AC的垂直平分線..?點0為DABC外接圓的圓心，0A為外接圓的半徑

???。4=3.七筋。外接圓的面枳為乃。42=9%故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形外接圓，正確找出三角形外接圓的圓心是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?湖北荊門市?中考真題）口43。中，AB=AC,ZBAC=120。,BC=2百，。為BC的中點,

AE=-AB,則的面積為（）

4

,3>/3R3百?y/3口行

4848

【答案】B

【分析】連接AD,用等腰三角形的“三線合一”，得到NE4D的度數(shù)，及RtAAM,由=得

4

33

BE=-AB,得計算△A5O的面積即可.

【詳解】連接AD,如圖所示:

;AB=AC,ZBAC=120°,5C=25/3.且D為BC中點

/.ADLBC,且/班。=/04。=工/84。=60°,80=￡>C=G二RtAABO中，AB=2,AD=\

2

：A￡=；AB...BE=2AB：,%血=^59=：x；xlx^=￥故選：B.

什-44Zo

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，及解直角三角形和三角形面積的計算，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵.

考向六直角三角形

在直角三角形中，30。的角所對的直角邊等于斜邊的一半，這個性質(zhì)常常用于計算三角形的邊長，也是證明

一邊（30。角所對的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù).當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該

性質(zhì)時，我們可運用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.

典例引領(lǐng)

1.（2020?海南中考真題）如圖，在R/EA5C中，ZC=90°,乙鉆。=30°,4。=1。機,將/?匯43。繞點4

逆時針旋轉(zhuǎn)得到RrWC,使點C'落在AB邊上，連接38'，則的長度是（）

A.1cmB.2cmC.6cmD.2石an

【答案】B

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZCAB^ZBAB=60^進(jìn)而得出&BAB'為等邊三角形，進(jìn)而求出

BB=AB=2-

【詳解】解：：NC=90°,ZABC=30°,AC=\cm,

由直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半可知，.?.AB=2AC=2cm,

XZCAB=90°-ZABC=90°-30°=60°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：=60°，R-AB=AB-

為等邊三角形，???38=48=2?故選：B.

【點睛】本題考查了直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握其性質(zhì)是

解決此類題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣東中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老

鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，

ZABC=9O°,點M，N分別在射線84，8c上，MN長度始終保持不變，MN=4,E為MN的中

點，點。到B4,BC的距離分別為4和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離。E的最小值為.

【答案】26一2

【分析】根據(jù)當(dāng)5、D、E三點共線，距離最小，求出BE和BD即可得出答案.

【詳解】如圖當(dāng)5、D、E三點共線，距離最小，

?:MN=4,E為MN的中前，：.BE=2,BD=S+*=2石，

DE=BD-BE=2逐-2,故答案為：2亞-2.

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，兩點間的距離線段最短，判斷出

距高最短的情況是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?貴州黔西南布依族苗族自治州?中考真題）如圖，在RtzxABC中，/C=90。，點D在線段BC上,

且/B=30。，ZADC=60°,BC=36，則BD的長度為.

【答案】2百

【分析】首先證明DB=AD=2CD,然后再由條件BC=3/可得答案.

【詳解】解：VZC=90o,ZADC=60°,AZDAC=30°,.,.CD=—AD.

2

VZB=30°,/ADC=60°,NBAD=30°,；.BD=AD,；.BD=2CD.

：BC=36，；.CD+2CD=3百，，CD=6，；.DB=2G，故答案為：2VL

【點睛】此題主要考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30。角所對的直角邊

等于斜邊的一半.

2.（2020?山東濟(jì)寧市?中考真題）如圖，在AABC中點D為AABC的內(nèi)心，NA=6（r,CD=2,BD=4.則ADBC

的面積是（）

A.473B.2GC.2D.4

【答案】B

【分析】過點B作BH1.CD于點H.由點D為aABC的內(nèi)心，ZA=60°,得NBDC=120。，則NBDH=60。,

由BD=4,BD：CD=2：1得BH=26，CD=2,于是求出△DBC的面積.

【詳解】解：過點B作BH1CD于點H.

?:點D為4ABC的內(nèi)心，NA=60°,ZBDC=90°+-ZA=90°+-x60°=120°,則NBDH=60°,

22

VBD=4,BD：CD=2：1；.DH=2,BH=2BCD=2,

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心的相關(guān)計算，熟練運用含30。角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考向七勾股定理

1.應(yīng)用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶層+墳』2時，斜邊只能是C.若6為斜邊，則關(guān)系

式是〃2+02=按；若。為斜邊，則關(guān)系式是"+c2=q2.

2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時必須進(jìn)行分類討論，以免漏解.

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江紹興市?中考真題）如圖1,直角三角形紙片的一條直角邊長為2,剪四塊這樣的直角三角形

紙片，把它們按圖2放入一個邊長為3的正方形中（紙片在結(jié)合部分不重疊無縫隙），則圖2中陰影部分面

積為.

圖1圖2

【答案】4石.

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到直角三角形的一條直角邊的長和斜邊的長，從而可以得到直角三角形

的另一條直角邊長，再根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積是四個直角三角形的面積，然后代入數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】解：由題意可得，直角三角形的斜邊長為3,一條直角邊長為2,

故直角三角形的另一條直角邊長為：舊=石，

故陰影部分的面積是：止叵x4=4石，故答案為：475.

2

【點睛】此題考查勾股定理解三角形，正方形的性質(zhì)，正確理解正方形的邊長3與直角三角形的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東煙臺市?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在

BC邊上的點F處.若AB=3,BC=5,則tan/DAE的值為（）

【答案】D

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得AF=AD=BC=5,EF=DE,在RtaABF中，利用勾股定理可

求出BF的長，則CF可得，設(shè)CE=x,則DE=EF=3-x,然后在RtZ\ECF中根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的

方程，解方程即可得到x,進(jìn)一步可得DE的長，再根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD為矩形，，AD=BC=5,AB=CD=3,

?.?矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，；.AF=AD=5,EF=DE,

在RtaABF中，BF=^AF2-AB2=725^9=4-?,?CF=BC-BF=5-4=1,

設(shè)CE=x,則DE=EF=3-x在RtZ\ECF中，VCE2+FC2=EF2,

45-

x2+l2=（3-x）2,解得x=—,...DE=EF=3-x=—,tanZDAE=DE31,故選：D.

33=~

AD53

【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理等知識，屬于?？碱}型，靈活運用

這些性質(zhì)進(jìn)行推理與計算是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.(202()?山東煙臺市?中考真題)如圖，△。44為等腰直角三角形，OAi=l,以斜邊OA2為直角邊作等

腰直角三角形OA2A3,再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4,…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長度

5F)

A.(夜)nB.(0)n-1C.(―)nD.…

22

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長，依據(jù)規(guī)律即可得出答案.

【詳解】解：???△OA|A2為等腰直角三角形，OA|=1,...OA2=0；

「△OA2A3為等腰直角三角形，...OA3=2=(0)2；

???△OA3A4為等腰直角三角形，，OA4=2夜=(應(yīng)兒

「△OA4A5為等腰直角三角形，，OA5=4=(a)4,……

...OAn的長度為(、反)nI,故選：B.

【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解題關(guān)鍵.

2.(2020?陜西中考真題)如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,

若8。是△ABC的高，則BC的長為()

B

A.—V13B.—V13C.—V13D.—V13

13131313

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面枳和差關(guān)系可求口43。的面積，由三角形的面積法求高即可.

【詳解】解：由勾股定理得：AC=&+32=岳，

1,c1,c1cc7

?S^ABC=3x3--x1x2—x1x3—x2x3——，

2222

：.~ACBD^~,AV13BD=7.故選：D.

2213

【點睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

、亨點沖關(guān)充

1.（2020?貴州銅仁市?中考真題）已知m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m、n是關(guān)

于x的一元二次方程爐-6X+k+2=0的兩個根，則k的值等于（）

A.7B.7或6C.6或-7D.6

【答案】B

【分析】當(dāng)，”=4或〃=4時，即x=4,代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)，片"時，即△=（-6）2-4x（k+2）=0,解方程

即可得到結(jié)論.

【詳解】當(dāng)m=4或n=4時,即x=4,方程為4?-6x4+k+2=0,解得：k=6；

當(dāng)01^時，/―6x+k+2=0：。=1,。=-6，c=k+2,

/=〃_4ac=（-6）2-4xIx（女+2）=0,解得：k=7,

綜上所述，k的值等于6或7,故選：B.

【點睛】本題主要考查了一元：次方程的根、根的判別式以及等腰三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得

出方程有?個實數(shù)根為2或方程有兩個相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣西中考真題）如圖，在口至。中，BA=BC,ZB=80°,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則NDCE

的度數(shù)為（）

A.60°B.65。C.70°D.75°

【答案】B

【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出/BCA,進(jìn)而求得/ACD,由作圖痕跡可知CE

為/ACD的平分線，利用角平分線定義求解即可.

【詳解】?.?在CIABC中，BA=BC,ZB=SO°,：.ZACB=180~ZB=180~8°=50°,

22

/.ZACD=180°-ZACB=180°-50°=130°,由作圖痕跡可知CE為/ACD的平分線，

/.ZDCE^-ZACD=65°,故選：B.

2

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義和作法，熟練掌握等腰三

角形的性質(zhì)以及角平分線的尺規(guī)作圖法是解答的關(guān)鍵.

3.（2020?四川中考真題）已知：等腰直角三角形ABC的腰長為4,點M在斜邊AB上，點P為該平面內(nèi)一

動點，且滿足尸。=2,則PM的最小值為（）

A.2B.272-2C.2及+2D.272

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊AB=4應(yīng)，由已知條件得到點尸在以C為圓心，PC為半徑

的圓上，當(dāng)點尸在斜邊A8的中線上時，PM的值最小，于是得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?等腰直角三角形A8C的腰長為4,.,.斜邊AB=4&,

???點P為該平面內(nèi)一動點，且滿足PC=2,...點P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，

當(dāng)點P在斜邊A3的中線上時，尸M的值最小，???△A8C是等腰直角三角形，應(yīng)，

;PC=2,：.PM=CM-CP=242-2,故選：B.

【點睛】本題考查線段最小值問題，涉及等腰三角形的性質(zhì)和點到圓的距離，解題的關(guān)犍是能夠畫出圖形

找到取最小值的狀態(tài)然后求解.

4.（2020?山東濟(jì)寧市?中考真題）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北航行，2小時后到達(dá)海

島B處.燈塔C在海島在海島A的北偏西42。方向上，在海島B的北偏西84。方向上.則海島B到燈塔C

的距離是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NC=NCAB=42。，根據(jù)等角對等邊得出BC=AB,求

出AB即可.

【詳解】解：：根據(jù)題意得：/CBD=84。，ZCAB=42°,AZC=ZCBD-ZCAB=42°=ZCAB,；.BC=AB,

???人8=15海里/時乂2時=30海里，二1^=3（）海里，即海島B到燈塔C的距離是30海里.故選C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定和三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是求出NC=NCAB,題目比較典

型，難度不大.

5.（2020?湖南張家界市?中考真題）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程/一6x+8=O的兩根,

則該等腰三角形的底邊長為（）

A.2B.4C.8D.2或4

【答案】A

【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論邊長，即可得

出答案.

【詳解】解：x2-6x+8=0（x-4）（x-2）=0解得：x=4或x=2,

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,2,4時，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,4,4時，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時能組成三角形，

所以三角形的底邊長為2,故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，能求出方程的解并