第08講 二次函數(shù)的實際應用（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第08講二次函數(shù)的實際應用（六大類型）1.能運用二次函數(shù)分析和解決簡單的實際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應用數(shù)學的意識．2.經(jīng)歷探索實際問題與二次函數(shù)的關系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．知識點1：運動類（1）落地模型最值模型知識點2：經(jīng)濟類銷售問題常用等量關系：利潤=收入-成本；利潤=單件利潤×銷量；知識點13：面積類知識點4：拱橋類一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)將已知條件轉化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數(shù)關系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關系式；(5)利用關系式求解問題．【題型1運動類（1）落地模型】【典例1】（2023?原平市一模）在2023年中考體育考試前，小康對自己某次實心球的訓練錄像進行了分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數(shù)關系y＝﹣x2+x+，則小康這次實心球訓練的成績?yōu)椋ǎ〢．14米 B．12米 C．11米 D．10米【答案】B【解答】解：當y＝0時，則﹣x2+x+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．故選：B．【變式1-1】（2022秋?羅山縣期末）如圖，一位運動員推鉛球，鉛球運行高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系式是y＝﹣．問：此運動員能把鉛球推出多遠？（）A．12m B．10m C．3m D．4m【答案】B【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2+x+得：﹣x2+x+＝0，解之得：x1＝10，x2＝﹣2．又x＞0，解得x＝10．故選：B．【變式1-2】（2022秋?西崗區(qū)校級期末）小強在一次訓練中，擲出的實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系大致滿足二次函數(shù)，則小強此次成績?yōu)椋ǎ〢．8米 B．9米 C．10米 D．12米【答案】B【解答】解：在函數(shù)中，當y＝0時，﹣x2+x+3＝0，解得x1＝﹣1（舍去），x2＝9，即小強此次成績?yōu)?米，故選：B．【題型2運動類（2）最值模型】【典例2】（2022秋?任城區(qū)校級期末）飛機著陸后滑行的距離s（米）關于滑行的時間t（秒）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，則飛機著陸后滑行到停止下來，滑行的距離為（）A．500米 B．700米 C．600米 D．800米【答案】C【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，∴當t＝20時，s取得最大值，此時s＝600，即飛機著陸后滑行到停止下來的滑行距離為600米．故選：C．【變式2-1】（2023?鄲城縣一模）某市公園欲修建一個圓型噴泉池，在水池中垂直于地面安裝一個柱子OP，安置在柱子頂端P處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，在過OP的任一平面上，建立平面直角坐標系（如圖所示），水平距離x（m）與水流噴出的高度y（m）之間的關系式為，則水流噴出的最大高度是（）A．5.5m B．5m C．4.5m D．4m【答案】D【解答】解：y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣3）2+4，∵﹣＜0，∴當x＝3時，y有最大值，最大值為4，故選：D．【變式2-2】（2023?泰興市二模）某學校航模組設計制作的火箭升空高度h（m）與飛行時間t（s）滿足函數(shù)關系式為h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在點火升空到最高點時打開降落傘，那么降落傘將在離地面37m處打開．【答案】37．【解答】解：h＝﹣t2+12t+1＝﹣（t﹣6）2+37，∵a＝﹣1＜0，∴點火升空的最高點距地面37m，故答案為：37．【變式2-3】（2023春?二道區(qū)校級月考）向空中發(fā)射一枚信號彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的關系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此信號彈在第8秒與第14秒時的高度相等，則在11秒時信號彈所在高度最高的．【答案】11．【解答】解：∵此炮彈在第8秒與第14秒時的高度相等，∴拋物線的對稱軸是直線，∴炮彈位置達到最高時，時間是第11秒．故答案為：11．【題型3經(jīng)濟類-二次函數(shù)與一次函數(shù)初步綜合】【典例3】（2023?寶應縣二模）某商家經(jīng)營某種商品，該商品的進價為30元/件，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（單位：件）與銷售價x（單位：元/件）（x為正整數(shù)）之間的關系繪制成函數(shù)圖象如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關系式（不求自變量的取值范圍）；（2）若某周該商品的銷售量不少于800件，求這周該商家銷售這種商品獲得的最大利潤；（3）規(guī)定這種商品的銷售價不超過進價的2倍，若商品的進價每件提高m元（m＞0）時，該商家每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，請求出m的取值范圍．【答案】（1）y與x的函數(shù)關系式為：y＝﹣10x+1500；（2）最大利潤為32000元；（3）0＜m≤20．【解答】解：（1）設y與x的函數(shù)關系式為y＝kx+b（k≠0）則有：，解得：．∴設y與x的函數(shù)關系式為：y＝﹣10x+1500（2）∵商品該商品的銷售量不少于800件，由（1）得：y與x的函數(shù)關系式為：y＝﹣10x+1500，∴﹣10x+1500≥800，解得：0≤x≤70，設該商家銷售這神蔏品獲得的最大利潤w元，∴w＝（x﹣30）?y＝（x﹣30）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+1800x﹣45000＝﹣10（x﹣90）2+36000，∵a＝﹣10＜0，對稱軸為直線x＝90，∴當0≤x≤70時，由二次函數(shù)的性質可知，在對稱軸的左側w隨x的增大而增大，當x＝70時，w取得最大值，最大值為32000元；（3）∵商品的銷售價不超過進價的2倍，商品的進價每件提高m元（m＞0）時，∴x≤2（m+30），此時利潤w＝（x﹣30﹣m）?y＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+（1800+10m）x﹣（45000+1500m），∴對稱軸為，∵該商家每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，∴，∴m≤20，∵m＞0，∴0＜m≤20．【變式3-1】（2023?長陽縣一模）某批發(fā)商以24元/箱的進價購進某種蔬菜，銷往零售超市，已知這種蔬菜的標價為45元/箱，實際售價不低于標價的八折．批發(fā)商通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)這種蔬菜的銷售量y（箱）與當天的售價x（元/箱）滿足一次函數(shù)關系，如表是其中的兩組對應值．售價x（元/箱）…3538…銷售量y（箱）…130124…（1）若某天這種蔬菜的售價為42元/箱，則當天這種蔬菜的銷售最為116箱；（2）該批發(fā)商銷售這種蔬菜能否在某天獲利1320元？若能，請求出當天的銷售價；若不能，請說明理由．（3）批發(fā)商搞優(yōu)惠活動，購買一箱這種蔬菜，贈送成本為6元的土豆，這種蔬菜的售價定為多少時，可獲得日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少元？【答案】（1）116；（2）不能，理由見詳解；（3）這種蔬菜的售價為45元，可獲得最大日利潤為1650元．【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關系為y＝kx+b，根據(jù)題意得：，解得：，∴y＝﹣2x+200，∴當x＝42時，y＝﹣2×42+200＝116，∴當天這種蔬菜的銷售量為116箱；故答案為116；（2）根據(jù)題意得：（﹣2x+200）（x﹣24）＝1320，解得x1＝34，x2＝90，∵這種蔬菜售價不低于45×0.8＝36，且不高于45，∴36≤x≤45，∴34，90都不滿足題意，所以該批發(fā)商銷售這種蔬菜不能在某天獲利1320元；（3）設日獲得利潤為w元，則w＝（﹣2x+200）（x﹣24﹣6）＝﹣2（x﹣65）2+2450，∵a＝﹣2＜0，∴拋物線開口向下，∴當x＜65時，w的值隨x值的增大而增大，∵這種蔬菜售價不低于45×0.8＝36，∴36≤x≤45，∴當x＝45時，（元），答：這種蔬菜的售價為45元，可獲得最大日利潤為1650元．【變式3-2】（2023?太康縣一模）五一”黃金周期間，丹尼斯百貨計劃購進A、B兩種商品．已知購進3件A商品和2件B商品，需1200元；購進2件A商品和3件B商品，需1300元．（1）A、B兩種商品的進貨單價分別是多少？（2）設A商品的銷售單價為x（單位：元/件），在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當220≤x≤380時，A商品的日銷售量y（單位：件）與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關系，x、y之間的部分數(shù)值對應關系如表：銷售單價x（元/件）220380日銷售量y（件）18020請寫出當220≤x≤380時，y與x之間的函數(shù)關系式；（3）在（2）的條件下，設A商品的日銷售利潤為w元，當A商品的銷售單價x（元/件）定為多少時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）A、B兩種商品的進貨單價分別是200元/件、300元/件；（2）y＝﹣x+400（220≤x≤380）；（3）A商品的銷售單價定為300元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是10000元．【解答】解：（1）設A、B兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，由題意得：，解得：，∴A、B兩種商品的進貨單價分別是200元/件、300元/件；（2）設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝k1x+b1，將（220，180），（380，20）代入得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣x+400（220≤x≤380）；（3）由題意得：w＝（﹣x+400）（x﹣200）＝﹣x2+600x﹣80000＝﹣（x﹣300）2+10000（220≤x≤380），∴當x＝300時，w取得最大值10000，∴當A商品的銷售單價定為300元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是10000元．【變式3-3】（2023?岳麓區(qū)校級二模）從2020年開始，越來越多的商家向線上轉型發(fā)展，“直播帶貨”已經(jīng)成為商家的一種促銷的重要手段．某商家在直播間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足y＝﹣10x+400，設銷售這種商品每天的利潤為W（元）．（1）求W與x之間的函數(shù)關系式；（2）該商家每天想獲得1250元的利潤，又要減少庫存，應將銷售單價定為多少元？（3）若銷售單價不低于28元，且每天至少銷售50件時，求W的最大值．【答案】（1）W＝﹣10x2+500x﹣4000，0＜x≤40；（2）銷售單價應定為15元；（3）W的最大值為2160元．【解答】解：（1）根據(jù)題意，有：W＝y(tǒng)×（x﹣10）＝（﹣10x+400）×（x﹣10），化簡，得：W＝﹣10x2+500x﹣4000，根據(jù)，解得：x＞10，即函數(shù)關系為：W＝﹣10x2+500x﹣4000，x＞10；（2）令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，解得：x＝15，或者x＝35，當x＝15時，銷量：y＝﹣10x+400＝250（件）；當x＝35時，銷量：y＝﹣10x+400＝50（件）；銷量越高，越有利于減少庫存，即為了減少庫存，將銷售單價應定為15元；（3）根據(jù)題意有：，解得：28≤x≤35，將W＝﹣10x2+500x﹣4000化為頂點式為：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，∵﹣10＜0，∴當x＞25時，函數(shù)值隨著x的增大而減小，∵28≤x≤35，∴當x＝28時，函數(shù)值最大，最大為：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160．答：此時W的最大值為2160元．【題型4經(jīng)濟類-二次函數(shù)中的“每每問題”】【典例4】（2023?黃石一模）某商品的進價為每件40元，當售價為每件50元時，每個月可賣出210件，如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元），設每件商品的售價上漲x元，每個月的銷售量為y件．（1）則y與x的函數(shù)關系式為：y＝210﹣10x，自變量x的取值范圍是：0＜x≤15；（2）每件商品的售價定為多少元時（x為正整數(shù)），每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）若在銷售過程中每一件商品都有a（a＞0）元的其它費用，商家發(fā)現(xiàn)當售價每件不低于58元時，每月的銷售利潤隨x的增大而減小，請直接寫出a的取值范圍：3＜a≤5．【答案】（1）y＝210﹣10x，0＜x≤15；（2）當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元；（3）3＜a≤5．【解答】解：（1）由題意知，y與x的函數(shù)關系式為y＝210﹣10x，∵每件售價不能高于65元，∴50+x≤65，解得x≤15，∴0＜x≤15，故答案為：y＝210﹣10x，0＜x≤15；（2）設月利潤為w，w＝（210﹣10x）（50+x﹣40）＝﹣10x2+110x+2100＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，（0＜x≤15且x為正整數(shù)），∵a＝﹣10＜0，∴當x＝5.5時，w有最大值2402.5，∵0＜x≤15且x為正整數(shù)，當x＝5時，50+x＝55，w＝﹣10×（5﹣5.5）2+2402.5＝2400（元），當x＝6時，50+x＝56，w＝﹣10×（6﹣5.5）2+2402.5＝2400（元），∴當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元；（3）由題意得：w＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10（x﹣21）（x+10﹣a），∴函數(shù)圖象的對稱軸為：，售價每件不低于58元時，即x≥58﹣50＝8，又0＜x≤15且x為整數(shù)，∴8≤x≤15，且x為整數(shù)，w隨x的增大而減小，∴，解得3＜a≤5，∴a的取值范圍為3＜a≤5．故答案為：3＜a≤5．【變式4-1】（2023?南海區(qū)校級模擬）因粵港澳大灣區(qū)和中國特色社會主義先行示范區(qū)的雙重利好，深圳已成為國內(nèi)外游客最喜歡的旅游城市之一．深圳著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為5元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售300杯；若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售30杯．店家計劃在2023年春節(jié)期間進行降價促銷活動，設每杯奶茶降價為x元時，每天可銷售y杯．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）當x為多少時，能讓店家獲得最大利潤額？最大利潤額為多少？【答案】（1）y＝﹣30x+1050；（2）x＝20時，能讓店家獲得最大利潤額，最大利潤額為6750元．【解答】解：（1）由題意得：y＝300+30（25﹣x）＝﹣30x+1050；即y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣30x+1050；（2）設最大利潤額為W，由題意得：W＝（x﹣5）（﹣30x+1050）＝﹣30x2+1200x﹣5250＝﹣30（x﹣20）2+6750，∴x＝20時，能讓店家獲得最大利潤額，最大利潤額為6750元．答：x＝20時，能讓店家獲得最大利潤額，最大利潤額為6750元．【變式4-2】（2023?陽信縣二模）2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套32元的價格購進一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價提高2元，則每天少賣4套．（1）設冰墩墩和雪容融套件每套售價定為x元時，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關系式；（2）求每套售價定為多少元時，每天銷售套件所獲利潤W最大，最大利潤是多少元？（3）如果每天的利潤要達到6080元，并且盡可能的讓利于顧客，則每套的售價應該定為多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+296（2）當x＝90時，W最大值＝6728；（3）每套的售價應該定為72元．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得＝﹣2x+296，∴y與x之間的函數(shù)關系式：y＝﹣2x+296；（2）根據(jù)題意，得：W＝（x﹣32）（﹣2x+296）＝﹣2（x﹣90）2+6728，∵a＝﹣2＜0，∴拋物線開口向下，W有最大值，當x＝90時，W最大值＝6728；（3）﹣2（x﹣90）2+6728＝6080，x1＝108或x2＝72，因為要盡可能讓利于顧客，所以每套的售價應該定為72元．【變式4-3】（2023?建昌縣二模）某紀念品的進價為每件40元，售價為每件50元，每星期可賣出200個．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：以不低于現(xiàn)售價的價格銷售該商品，售價每上漲1元，則每星期少賣4個（每件售價不高于68元），設每件商品銷售單價為x（元），每星期銷售量為y（個）．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）將該紀念品的銷售單價定為多少元時，每星期銷售這種產(chǎn)品獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y＝﹣4x+400，50≤x≤68．（2）單價定為68元時，每星期銷售這種產(chǎn)品獲得的利潤最大，最大利潤是3584元．【解答】解：（1）由題意得：y＝200﹣4（x﹣50）＝﹣4x+400．自變量x的取值范圍為50≤x≤68．（2）設每星期銷售這種產(chǎn)品獲得的利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣40）（﹣4x+400）＝﹣4x2+560x﹣16000＝﹣4（x﹣70）2+3600，∵a＝﹣4＜0，50≤x≤68，∴當x＝68時，w取得最大值，最大值為：﹣4（68﹣70）2+3600＝3584，答：單價定為68元時，每星期銷售這種產(chǎn)品獲得的利潤最大，最大利潤是3584元．【變式4-4】（2023?東莞市校級三模）某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間的定價為每天180元時，房間會全部住滿．當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用．（1）若每個房間的定價為每天200元時，賓館的利潤是多少？（2）房價定為多少時，賓館利潤取得最大值？【答案】（1）每個房間的定價為每天200元時，賓館的利潤是8640元；（2）房價定為350元時，賓館利潤取得最大值．【解答】解：（1）依題意得：元，即每個房間的定價為每天200元時，賓館的利潤是8640元；（2）設每個房間定價增加x元，依題意得：所獲利潤＝，∴當x＝170元時，利潤最大，∴180+170＝350（元），即房價定為350元時，賓館利潤取得最大值．【題型5面積類】【典例5】（2023?越秀區(qū)校級一模）如圖，有長為12m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長度a為5m），設花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．（1）求S與x的函數(shù)關系式及x值的取值范圍；（2）要圍成面積為9m2的花圃，AB的長是多少米？（3）當AB的長是多少米時，圍成的花圃面積最大？【答案】（1）S＝﹣3x2+12x，；（2）3米；（3）m．【解答】解：（1）由題意，得：BC＝12﹣3x，∴S＝AB?BC＝x（12﹣3x）＝﹣3x2+12x；∵0＜BC≤5，即0＜12﹣3x≤5，解得：，∴x值的取值范圍為：；（2）當S＝9時，即﹣3x2+12x＝9，解得：x1＝1，x2＝3，∵，∴x＝3，即AB的長是3米；（3）S＝﹣3x2+12x＝﹣3（x﹣2）2+12，∵a＝﹣3＜0，拋物線開口向下，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，∵，∴當時，S取的最大值，∴當AB的長是m時，圍成的花圃面積最大．【變式5-1】（2023?錦江區(qū)校級模擬）用長為12米的鋁合金型材做一個形狀如圖所示的矩形窗框，設矩形窗框的寬為x米，窗框的透光面積為S平方米．（鋁合金型材寬度不計）（1）求S與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．（2）求S的最大值．【答案】（1）S＝﹣x2+6x（0＜x≤）；（2）S的最大值為6m2．【解答】解：（1）設窗框的寬為xm，則長為（12﹣3x）m，根據(jù)題意可得：S＝x××（12﹣3x）＝﹣x2+6x；∵0＜x≤（12﹣3x），∴0＜x≤．（2）∵S＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣2）2+6，∴當x＝2時，S的最大值為6；故S的最大值為6m2．【變式5-2】（2023?東莞市校級二模）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m．?（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求BD長度；（2）求矩形養(yǎng)殖場的總面積最大值為多少．【答案】（1）2；（2）m2．【解答】解：（1）設BD＝xm，根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6時，3x＝18＞13不符合題意，舍去，∴x＝2，答：此時BD的值為設BD長度為2m，（2）設矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，∵墻的長度為13m，∴0＜x≤，根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當x＝時，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：當x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【變式5-3】（2023?涼山州模擬）2022年5月，教育部頒布的《義務教育勞動課程標準》中，要求以豐富開放的勞動項目為載體，培養(yǎng)學生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質．某校為此規(guī)劃出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為12米），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為30﹣3x米（用含的代數(shù)式表示）；（2）若矩形ABCD的面積為63m2，求x的值；（3）當x為何值時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為多少平方米？【答案】（1）30﹣3x；（2）7；（3）當x＝6時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為72平方米．【解答】解：（1）∵修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案為：30﹣3x；（2）∵墻最大可用長度為12米，∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，解得：6≤x＜，根據(jù)圖形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，解得：x1＝3（舍），x2＝7，∴x的值為7；（3）設矩形的面積為S平方米，則S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，∵﹣3＜0，且6≤x＜，∴當x＝6時，S有最大值，最大值為72，答：當x＝6時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為72平方米．【題型6拱橋類】【典例6】（2023?武功縣模擬）在跳繩時，繩甩到最高處的形狀可近似看作拋物線，如圖，已知甲、乙兩名學生拿繩的手間距為6米，距地面均為1米，繩的最高點距離地面的高度為4米，以水平地面為x軸，垂直于地面且過繩子最高點的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）身高為1.57米的小明此時進入跳繩，他站直時繩子剛好通過他的頭頂，小明與甲的水平距離小于小明與乙的水平距離，求小明離甲的水平距離．【答案】（1）；（2）0.3m．【解答】解：（1）由題意知，拋物線經(jīng)過點，，（0，4），即（﹣3，1），（3，1），（0，4），設拋物線的函數(shù)表達式為y＝ax2+bx+c，則，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）將y＝1.57代入，得，解得x＝±2.7，∵小明與甲的水平距離小于小明與乙的水平距離，∴x＝﹣2.7，﹣2.7﹣（﹣3）＝0.3（m），∴小明離甲的水平距離為0.3m．【變式6-1】（2023?會昌縣模擬）卡塔爾世界杯完美落幕．在一場比賽中，球員甲在離對方球門30米處的O點起腳吊射（把球高高地挑過守門員的頭頂，射入球門），假如球飛行的路線是一條拋物線，在離球門14米時，足球達到最大高度8米．如圖所示，以球員甲所在位置O點為原點，球員甲與對方球門所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．（1）求滿足條件的拋物線的函數(shù)表達式；（2）如果葡萄牙球員C羅站在球員甲前3米處，C羅跳起后最高能達到2.88米，那么C羅能否在空中截住這次吊射？【答案】（1）y＝﹣（x﹣16）2+8；（2）能．【解答】解：（1）由題意可得，足球距離點O（30﹣14）＝16米時，足球達到最大高度8米，設拋物線解析式為：y＝a（x﹣16）2+8，把（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣16）2+8，解得：a＝﹣，故拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣16）2+8；（2）當x＝3時，y＝﹣（3﹣16）2+8＝2.71875＜2.88，故C羅能在空中截住這次吊射．【變式6-2】（2023?仁和區(qū)二模）擲實心球是攀枝花市高中階段學校招生體育考試的必考項目．如圖1是一名女生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系如圖2所示，擲出時起點處高度為m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處．（1）求y關于x的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)攀枝花市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于7.80m，此項考試得分為滿分15分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣3）2+3．（2）該女生在此項考試中沒有得滿分，理由見解答．【解答】解：（1）設y關于x的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入上式得，a（0﹣3）2+3＝，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣3）2+3．（2）該女生在此項考試中沒有得滿分．理由：令y＝0，即﹣（x﹣3）2+3＝0，解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∴實心球從起點到落地點的水平距離為7.5米，小于7.80米，∴該女生在此項考試中沒有得滿分．【變式6-3】（2023?碑林區(qū)校級模擬）為培養(yǎng)學生勞動實踐能力，某學校在校園內(nèi)開辟出一塊勞動實踐基地，搭建了一個橫截面為拋物線型的大棚，如圖建立平面直角坐標系，使拋物線對稱軸為y軸，AB＝6m，CO＝3m．（1）求該拋物線的解析式；（2）大棚的門是一個矩形EFGH，要求點E、F在拋物線上，門的高度FG與寬度EF的比為2：3，那么門的寬度EF應設計成多少米（不考慮材料厚度）？（結果保留根號）【答案】（2﹣4）m．【解答】解：（1）由圖可設拋物線的解析式為：y＝ax2+3，由圖知拋物線與x軸正半軸的交點為B（3，0），則：a?32+3＝0，∴a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3；（2）∵門的高度FG與寬度EF的比為2：3，E，F(xiàn)關于y軸對稱，∴＝，設FG＝4t，F(xiàn)M＝3t，則EF＝6t，∴F（3t，4t），∵點F在拋物線上，∴4t＝﹣×（3t）2+3，解得t＝（舍去負值），∴EF＝（2﹣4）（m）．答：門的寬度EF應設計成（2﹣4）m．1．（2022?新疆）如圖，用一段長為16m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個圍欄的最大面積為32m2．【答案】32．【解答】解：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（16﹣2x）m，∴矩形圍欄的面積為x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴當x＝4時，矩形有最大面積為32m2，故答案為：32．2．（2022?襄陽）在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運動路線是一條拋物線，設她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當她與跳臺邊緣的水平距離為8m時，豎直高度達到最大值．【答案】8．【解答】解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，∵﹣＜0，∴當x＝8時，y有最大值，最大值為4，∴當她與跳臺邊緣的水平距離為8m時，豎直高度達到最大值．故答案為：8．3．（2022?黔西南州）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是y＝﹣x2+x+，則鉛球推出的水平距離OA的長是10m．【答案】10．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴當y＝0時，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案為：10．4．（2022?聊城）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關系如圖所示，當10≤x≤20時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤為121元（利潤＝總銷售額﹣總成本）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當10≤x≤20時，設y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式為y＝﹣x+30，設該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的利潤為w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴當x＝19時，w有最大值為121，故答案為：121．5．（2022?連云港）如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y＝﹣0.2x2+x+2.25運行，然后準確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離OH是4m．【答案】4．【解答】解：當y＝3.05時，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距籃筐中心的水平距離OH是4m．故答案為：4．6．（2022?威海）某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．【答案】288m2．【解答】解：設矩形雞場與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（47﹣2x+1）m，由題意可得：y＝x（47﹣2x+1），即y＝﹣2（x﹣12）2+288，由題意，解得11.5≤x＜24，∵﹣2＜0，∴當x＝12時，y有最大值為288，當x＝12時，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合題意），∴雞場的最大面積為288m2．7．（2022?湘潭）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴當x＝時，總種植面積有最大值為m2，即BC應設計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．8．（2023?南充）某工廠計劃從A，B兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每日產(chǎn)銷x件．已知A產(chǎn)品成本價m元/件（m為常數(shù)，且4≤m≤6，售價8元/件，每日最多產(chǎn)銷500件，同時每日共支付專利費30元；B產(chǎn)品成本價12元/件，售價20元/件，每日最多產(chǎn)銷300件，同時每日支付專利費y元，y（元）與每日產(chǎn)銷x（件）滿足關系式y(tǒng)＝80+0.01x2．（1）若產(chǎn)銷A，B兩種產(chǎn)品的日利潤分別為w1元，w2元，請分別寫出w1，w2與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（2）分別求出產(chǎn)銷A，B兩種產(chǎn)品的最大日利潤．（A產(chǎn)品的最大日利潤用含m的代數(shù)式表示）（3）為獲得最大日利潤，該工廠應該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？并說明理由．【利潤＝（售價﹣成本）×產(chǎn)銷數(shù)量﹣專利費】【答案】（1）w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）；w2＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）A產(chǎn)品：（﹣500m+3970）元；B產(chǎn)品：1420元．（3）當m＝5.1時，選擇A，B產(chǎn)品產(chǎn)銷均可；當4≤m＜5.1時，選擇A種產(chǎn)品產(chǎn)銷；當5.1＜m≤6時，選擇B種產(chǎn)品產(chǎn)銷．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1隨x的增大而增大，又0≤x≤500，∴當x＝500時，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．對稱軸x＝400．∴當0≤x≤300時，w2隨x的增大而增大，∴當x＝300時，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，綜上可得，為獲得最大日利潤：當m＝5.1時，選擇A，B產(chǎn)品產(chǎn)銷均可；當4≤m＜5.1時，選擇A種產(chǎn)品產(chǎn)銷；當5.1＜m≤6時，選擇B種產(chǎn)品產(chǎn)銷．答：當A產(chǎn)品成本價為5.1元時，工廠選擇A或B產(chǎn)品產(chǎn)銷日利潤一樣大，當A產(chǎn)品4≤m＜5.1時，工廠選擇A產(chǎn)品產(chǎn)銷日利潤最大，當5.1＜m≤6時，工廠選擇B產(chǎn)品產(chǎn)銷日利潤最大．9．（2022?無錫）某水果店出售一種水果，每箱定價58元時，每周可賣出300箱．試銷發(fā)現(xiàn)：每箱水果每降價1元，每周可多賣出25箱；每漲價1元，每周將少賣出10箱．已知每箱水果的進價為35元，每周每箱水果的平均損耗費為3元．（1）若不進行價格調(diào)整，這種水果的每周銷售利潤為多少元？（2）根據(jù)以上信息，你認為應當如何定價才能使這種水果的每周銷售利潤最多？【答案】（1）若不進行價格調(diào)整，這種水果每周銷售利潤為6000元；（2）當每箱水果定價為54元時，這種水果的每周銷售利潤最大為6400元．【解答】解：（1）∵58﹣35﹣3＝20，20×300＝6000（元），∴若不進行價格調(diào)整，這種水果每周銷售利潤為6000元；（2）若每箱水果降價x元，這種水果的每周銷售利潤為y元，根據(jù)題意得：y＝（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，由二次函數(shù)性質可知，當x＝4時，y的最大值為6400元；若每箱水果漲價x'元，這種水果的每周銷售利潤為y'元，根據(jù)題意得：y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，由二次函數(shù)性質可知，當x'＝5時，y'的最大值為6250元；綜上所述，當每箱水果定價為54元時，這種水果的每周銷售利潤最大為6400元．10．（2022?朝陽）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式．（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？（3）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y與x之間的函數(shù)關系式為：y＝﹣5x+150；（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為13元；（3）每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．【解答】解：（1）設每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）函數(shù)關系式為：y＝kx+b，由題意可知：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關系式為：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為13元；（3）w＝y(tǒng)（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x為整數(shù)，當x＜19時，w隨x的增大而增大，∴當x＝15時，w有最大值，最大值為525．答：每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．11．（2022?鄂爾多斯）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】（1）第二批每個掛件的進價為40元．（2）當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．【解答】解：（1）設第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據(jù)題意可得，+50＝，解得x＝40．經(jīng)檢驗，x＝40是原分式方程的解，且符合實際意義，∴1.1x＝44．∴第二批每個掛件的進價為40元．（2）設每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，根據(jù)題意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＜0，∴當x≥52時，w隨y的增大而減小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴w≥55，∴當y＝55時，w取最大，此時w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．∴當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．12．（2022?蘭州）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名學生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系如圖2所示，擲出時起點處高度為m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處．（1）求y關于x的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準，投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學校招生體育考試規(guī)則與測試要求》【答案】（1）y關于x的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）該女生在此項考試中是得滿分，理由見解答．【解答】解：（1）根據(jù)題意設y關于x的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，解得：a＝﹣，∴y關于x的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）該生在此項考試中是得滿分，理由：令y＝0，則﹣（x﹣3）2+3＝0，解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴該生在此項考試中是得滿分．1．（2023?東莞市校級模擬）飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飛機著陸后滑行多長時間才能停下來（）A．10s B．20s C．30s D．40s【答案】B【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函數(shù)有最大值，當t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飛機著陸后滑行20秒能停下來，故選：B．2．（2022秋?潼南區(qū)期末）小明在體育訓練中擲出的實心球的運動路線呈如圖所示的拋物線形，若實心球運動的拋物線的表達式為，其中y是實心球飛行的高度，x是實心球飛行的水平距離，則小明此次擲球過程中，實心球的最大高度是（）A．3m B．m C．m D．m【答案】B【解答】解：在y＝﹣（x﹣3）2+中，當x＝3時，y有最大值，∴小明此次擲球過程中，實心球的最大高度是m，故選：B．3．（2022秋?牡丹區(qū)校級期末）校運動會上，某運動員擲鉛球時，他所擲的鉛球的高h（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系滿足h＝﹣x2+x+，則該運動員擲鉛球的成績是（）A．6m B．10m C．8m D．12m【答案】B【解答】解：由題意可知，把y＝0代入解析式得：﹣x2+x+＝0，解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即該運動員的成績是10米．故選：B．4．（2021秋?鄄城縣期末）河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數(shù)的關系式為y＝﹣x2，當水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時，這時水面寬度AB為（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m【答案】C【解答】解：根據(jù)題意B的縱坐標為﹣4，把y＝﹣4代入y＝﹣x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面寬度AB為20m．故選：C．5．（2022秋?紅橋區(qū)期末）如圖，計劃用總長為43m的籬笆（圖中虛線部分）圍成一個矩形雞舍ABCD，其中一邊AB是墻（可利用的墻的長度為21m），中間共留兩個1m的小門，設籬笆BC長為xm．（1）AB的長為45﹣3x（m）（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若矩形雞舍ABCD的面積為150m2，求籬笆BC的長；（3）求矩形雞舍ABCD面積的最大值及此時籬笆BC的長．【答案】（1）45﹣3x；（2）當矩形雞舍ABCD的面積為2150m2時，籬笆BC的長為10m；（3）矩形雞舍ABCD面積的最大值為168m2，此時籬笆BC的長為8m．【解答】解：（1）由題意可得，AB的長為：43﹣3x+2＝（45﹣3x）m，故答案為：45﹣3x；（2）由圖可得，矩形雞舍ABCD的面積為：AB?BC＝（45﹣3x）?x＝﹣3x2+45x，由題意得：﹣3x2+45x＝150，解得x1＝5，x2＝10，當x＝5時，AB＝45﹣3×5＝30＞21，不合題意，舍去；當x＝10時，AB＝45﹣3×10＝15＜21，符合題意；答：當矩形雞舍ABCD的面積為150m2時，籬笆BC的長為10m；（3）設矩形雞舍ABCD面積為Sm2，由題意可得：S＝﹣3x2+45x＝﹣3（x﹣）2+，，解得8≤x≤14，∴當x＝8時，S取得最大值，此時S＝168，即矩形雞舍ABCD面積的最大值為168m2，此時籬笆BC的長為8m．6．（2023?葫蘆島一模）某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量y（千克）隨銷售單價x