河南省漯河2023-2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期摸底考試試題

河南省漯河2023—2024高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.開考前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需要改動，用橡皮檫干凈后，再涂選其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在試卷上無效。3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下面四個命題正確的是()A.10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是B.0與表示同一個集合C.方程的解集是D.由1，2，3組成的集合可表示為或2.若復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點在第四象限，且滿足，則()A. B. C. D.3.已知四面體的所有棱長都等于2，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱CD上靠近點C的四等分點，則等于()A. B. C. D.4.我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”章中有一道“兩鼠穿墻”問題：有厚墻5尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半。問兩鼠在第幾天相遇？()A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐側(cè)面積的一半，那么其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A. B. C. D.6.設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n.若，則直線l與平面所成的角為()A. B. C. D.7.若對任意正實數(shù)x，y都有，則實數(shù)m的取值范圍為()A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象大致是()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知集合有且僅有兩個子集，則下列結(jié)論正確的是()A.B.C.若不等式的解集為，則D.若不等式的解集為，且，則10.雙曲線C的中心在原點，對稱軸為坐標軸，漸近線方程為，則C的離心率為()A. B. C. D.11.下列說法正確的是()A.點斜式適用于不垂直于x軸的任何直線B.斜截式適用于不垂直于x軸的任何直線C.兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的任何直線D.截距式適用于不過原點的任何直線12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是()A.函數(shù)在處取得極大值B.方程有兩個不同的實數(shù)根C.D.若不等式在上恒成立，則三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.14.已知函數(shù)在上是增函數(shù),則a的取值范圍是__________.15.如圖，某空間幾何體由一個直三棱柱和一個長方體組成，若，，P，Q，M，N分別是棱，，，的中點，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是___________.16.在等差數(shù)列中，，公差為d，前n項和為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，則d的取值范圍為_________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求的前n項和.18.（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點，直線.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.（1）若圓心C也在直線上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點M，使，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.19.（12分）已知函數(shù)，且，.（1）求的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明.20.（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.21.（12分）已知橢圓C的中心為坐標原點，對稱軸為x軸，y軸，且過，兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得直線l與圓相切，與橢圓C交于A，B兩點，且滿足(O為坐標原點)?若存在，請求出直線l的方程，若不存在，請說明理由.22.（12分）某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進行配套綠化.如圖，已知空地的一邊是直路AB，余下的外圍是拋物線的一段，AB的中垂線恰是該拋物線的對稱軸，O是AB的中點.擬在這塊地上劃出一個等腰梯形ABCD區(qū)域種植草坪，其中A，B，C，D均在該拋物線上.經(jīng)測量，直路AB段長為60米，拋物線的頂點P到直路AB的距離為40米.以O(shè)為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系.（1）求該段拋物線的方程；（2）當(dāng)CD長為多少米時，等腰梯形草坪ABCD的面積最大？

高三數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.答案：D解析：10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，故A錯誤；0是集合中的一個元素，故B錯誤；由集合元素的互異性可知錯誤，故C錯誤；由集合元素的無序性可知D正確.故選D.2.答案：C解析：根據(jù)已知有：因為復(fù)數(shù)z滿足：，即，故或，因為復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點在第四象限，故復(fù)數(shù)，所以.故選C.3.答案：D解析：因為E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱CD上靠近點C的四等分點，所以，所以.因為，，，所以.故選D.4.答案：B解析：第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇5.答案：D解析：設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a，側(cè)面三角形底邊上的高為，則由題意可知，，因此有，即，解得，因為，所以.所以側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為.故選：D.6.答案：A解析：由題意，設(shè)直線l與平面所成的角為，則.由，得.故選A.7.答案：A解析：因為，所以，設(shè)，，則，，令恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故所以，得到.8.答案：C解析：由，得.

令，則，

所以在上單調(diào)遞減.

又，，

所以存在，使得，

所以當(dāng)時，，；

當(dāng)時，，.

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.答案：ABD解析：由于集合有且僅有兩個子集，所以，.因為，所以.，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故A正確.，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故B正確.不等式的解集為，則，故C錯誤.不等式的解集為，即不等式的解集為，且，又因為，，所以，所以，故D正確.選ABD.10.答案：AB解析：當(dāng)雙曲線C的焦點在x軸上時，漸近線為，可設(shè)，，則，離心率；當(dāng)雙曲線C的焦點在y軸上時，漸近線為，可設(shè)，，則，離心率，故選AB.11.答案：ABC解析：A，B，C均正確，D中，與坐標軸平行的直線也不能用截距式表示.12.答案：AC解析：易知函數(shù)的定義域為，，令，則，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值，選項A正確；因為，且當(dāng)時，，當(dāng)時，所以方程不可能有兩個不同的實數(shù)根，選項B錯誤；因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，選項C正確；不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令，則，令，則，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，，所以，選項D錯誤.故選AC.三、填空題：每小題5分，共4小題，共20分.13.答案：解析：求導(dǎo)函數(shù)，可得，，，，在上單調(diào)遞增，，對任意的，，都有成立，，，故答案為：.14.答案：解析：函數(shù)在上是增函數(shù)，可得解得，所以a的取值范圍函數(shù)，可得為.15.答案：解析：以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.因為，，所以為等腰直角三角形，所以也為等腰直角三角形.又平面與平面均與x軸垂直，所以，.又P，Q，M，N分別是，，，的中點，所以，，，，所以，，所以，所以直線PQ與直線MN所成角的余弦值為.16.答案：解析：由題意知當(dāng)且僅當(dāng)時有最大值，可得即解得.四、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）答案：（1）（2）解析：（1），，，解得，；（2）由題可知，，，

18.（12分）答案：（1）或，即或（2）解析：（1）由得則圓心.又圓C的半徑為1，圓C的方程為.顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓C的切線方程為，即.，，，或.所求圓C的切線方程為或，即或.（2）設(shè)，則由，得，即，故點M的軌跡方程為，記為圓D.根據(jù)題意只要保證圓D與圓C有公共點即可.設(shè)，則，即，解得.圓心C的橫坐標a的取值范圍為.19.（12分）答案：（1）（2）單調(diào)遞增，證明見解析解析：（1）由題意，得，即，解得：，.故.（2）方法一：在上單調(diào)遞增.證明：，且，則.由，得，，，所以，即.故在上單調(diào)遞增.方法二：在上單調(diào)遞增.證明：，且，則.由，得，，所以.故在上單調(diào)遞增.20.（12分）答案：（1）概率的估計值為0.6（2）概率的估計值為0.8解析：（1）這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為.所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.（2）當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫低于20，則；若最高氣溫位于區(qū)間，則；若最高氣溫不低于25，測，所以，利潤Y的所有可能值為-100，300，900.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為.因此Y大于零的90概率的估計值為0.8.21.（12分）答案：（1）（2）不存在直線l滿足題意，理由見解析解析：（1）設(shè)橢圓C的方程為.因為過，兩點，故解得，所以橢圓C的方程為.（2）假設(shè)存在直線l滿足題意.(i)當(dāng)直線l的斜率不存在時，此時l的方程為.當(dāng)時，，，，同理可得，當(dāng)時，.(ii)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為，設(shè)，，因為直線l與圓O相切，所以，即①，聯(lián)立方程組整理得，，由根