Roughsets理論的快速入門方法

8.1Roughsets的快速入門方法認(rèn)真研讀RoughSetsTheory的創(chuàng)始人、波蘭數(shù)學(xué)家Z.Pawlak于1982年發(fā)表的第一篇論文“RoughSets”?！咀ⅰ浚鹤詈弥苯娱喿x英文論文原文。

研讀王玨等人1996年在《模式識(shí)別與人工智能》上發(fā)表的關(guān)于RoughSets理論及其應(yīng)用的綜述性文章。參考史忠植編著的《高級(jí)人工智能》、《知識(shí)發(fā)現(xiàn)》等教材中討論粗糙集的有關(guān)章節(jié)?！咀ⅰ浚簢?guó)內(nèi)王國(guó)胤、劉清、張文修、曾黃麟等人先后出版了關(guān)于RoughSets的教材，也可適當(dāng)參考。

8.2粗糙集理論的發(fā)展概述

8.2.1粗糙集理論的提出

自然界中大部分事物所呈現(xiàn)的信息都是：

◆

不完整的、不確定的、模糊的和含糊的

◆經(jīng)典邏輯無(wú)法準(zhǔn)確、圓滿地描述和解決

粗糙集理論主要是為了描述并處理“含糊”信息。粗糙集理論的提出（續(xù)1）“含糊”（Vague）1904年謂詞邏輯創(chuàng)始人G.Frege(弗雷格)首次提出將含糊性歸結(jié)到“邊界線區(qū)域”(Boundaryregion)在全域上存在一些個(gè)體，它既不能被分類到某一個(gè)子集上，也不能被分類到該子集的補(bǔ)集上……“模糊集”（FuzzySets）1965年美國(guó)數(shù)學(xué)家L.A.Zadeh首次提出無(wú)法解決G.Frege提出的“含糊”問(wèn)題未給出計(jì)算含糊元素?cái)?shù)目的數(shù)學(xué)公式……粗糙集理論的提出（續(xù)2）“粗糙集”（RoughSets）1982年波蘭數(shù)學(xué)家Z.Pawlak首次提出將邊界線區(qū)域定義為“上近似集”與“下近似集”的差集指出在“真”、“假”二值之間的“含糊度”是可計(jì)算的給出計(jì)算含糊元素?cái)?shù)目的計(jì)算公式借鑒了集合論中的“等價(jià)關(guān)系”（不可區(qū)分關(guān)系）求取大量數(shù)據(jù)中的最小不變集合（稱為“核”）求解最小規(guī)則集（稱為“約簡(jiǎn)”）……粗糙集理論的提出（續(xù)3）粗糙集理論中的一些基本觀點(diǎn)“概念”就是對(duì)象的集合“知識(shí)”就是將對(duì)象進(jìn)行分類的能力(“各從其類”)“知識(shí)”是關(guān)于對(duì)象的屬性、特征或描述的刻劃不可區(qū)分關(guān)系表明兩個(gè)對(duì)象具有相同的信息提出上近似集、下近似集、分類質(zhì)量等概念……8.2.2粗糙集理論的發(fā)展歷程1970s，Pawlak和波蘭科學(xué)院、華沙大學(xué)的一些邏輯學(xué)家，在研究信息系統(tǒng)邏輯特性的基礎(chǔ)上，提出了粗糙集理論的思想。在最初的幾年里，由于大多數(shù)研究論文是用波蘭文發(fā)表的，所以未引起國(guó)際計(jì)算機(jī)界的重視，研究地域僅限于東歐各國(guó)。1982年，Pawlak發(fā)表經(jīng)典論文《Roughsets》，標(biāo)志著該理論正式誕生。粗糙集理論的發(fā)展歷程（續(xù)1）1991年，Pawlak的第一本關(guān)于粗糙集理論的專著《Roughsets:theoreticalaspectsofreasoningaboutdata》；1992年，Slowinski主編的《Intelligencedecisionsupport:handbookofapplicationsandadvancesofroughsetstheory》的出版，奠定了粗糙集理論的基礎(chǔ)，有力地推動(dòng)了國(guó)際粗糙集理論與應(yīng)用的深入研究。1992年，在波蘭召開(kāi)了第一屆國(guó)際粗糙集理論研討會(huì)，有15篇論文發(fā)表在1993年第18卷的《Foundationofcomputinganddecisionsciences》上。粗糙集理論的發(fā)展歷程（續(xù)2）1993和1994年，分別在加拿大、美國(guó)召開(kāi)第二、三屆國(guó)際粗糙集與知識(shí)發(fā)現(xiàn)（或軟計(jì)算）研討會(huì)。1995年，Pawlak等人在《ACMCommunications》上發(fā)表“Roughsets”，極大地?cái)U(kuò)大了該理論的國(guó)際影響。1996～1999年，分別在日本、美國(guó)、美國(guó)、日本召開(kāi)了第4-7屆粗糙集理論國(guó)際研討會(huì)。2000年，在加拿大召開(kāi)了第二屆粗糙集與計(jì)算趨勢(shì)國(guó)際會(huì)議。粗糙集理論的發(fā)展歷程（續(xù)3）2001～2002，中國(guó)分別在重慶、蘇州召開(kāi)第一、二屆粗糙集與軟計(jì)算學(xué)術(shù)會(huì)議。2003年，在重慶召開(kāi)粗糙集與軟計(jì)算國(guó)際研討會(huì)。2004年，在瑞典召開(kāi)RSCTC國(guó)際會(huì)議（年會(huì)）。2005年，在加拿大召開(kāi)RSFDGrC國(guó)際會(huì)議（年會(huì)）。……8.2.3粗糙集理論的優(yōu)點(diǎn)及局限性主要優(yōu)點(diǎn)除數(shù)據(jù)集之外，無(wú)需任何先驗(yàn)知識(shí)（或信息）對(duì)不確定性的描述與處理相對(duì)客觀……【說(shuō)明】：Bayes理論、模糊集理論、證據(jù)理論等都需要先驗(yàn)知識(shí)，具有很大的主觀性。粗糙集理論的優(yōu)點(diǎn)及局限性（續(xù)）局限性缺乏處理不精確或不確定原始數(shù)據(jù)的機(jī)制對(duì)含糊概念的刻劃過(guò)于簡(jiǎn)單無(wú)法解決所有含糊的、模糊的不確定性問(wèn)題需要其它方法的補(bǔ)充……解決辦法與模糊集理論相結(jié)合與Dempster-Shafer證據(jù)理論相結(jié)合……8.2.4粗糙集理論在知識(shí)發(fā)現(xiàn)中的作用在數(shù)據(jù)預(yù)處理過(guò)程中，粗糙集理論可以用于對(duì)遺失數(shù)據(jù)的填補(bǔ)。在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備過(guò)程中，利用粗糙集理論的數(shù)據(jù)約簡(jiǎn)特性，對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行降維操作。在數(shù)據(jù)挖掘階段，可將粗糙集理論用于分類規(guī)則的發(fā)現(xiàn)。粗糙集理論在知識(shí)發(fā)現(xiàn)中的作用（續(xù)）在數(shù)據(jù)挖掘階段的主要作用通過(guò)布爾推理挖掘出約簡(jiǎn)的規(guī)則來(lái)解釋決策通過(guò)熵理論將規(guī)則的復(fù)雜性和預(yù)測(cè)的誤差分析溶入到無(wú)條件的度量中與模糊集理論、證據(jù)理論構(gòu)成復(fù)合分析方法搜尋隱含在數(shù)據(jù)中的確定性或非確定性的規(guī)則……在解釋與評(píng)估過(guò)程中，粗糙集理論可用于對(duì)所得到的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)評(píng)估。8.2.5粗糙集理論的研究現(xiàn)狀在理論研究方面數(shù)學(xué)性質(zhì)：研究其代數(shù)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、收斂性等粗糙集拓廣：廣義粗糙集模型、連續(xù)屬性離散化與其它不確定性處理方法的關(guān)系和互補(bǔ)：與模糊集理論、Dempster-Shafer證據(jù)理論的關(guān)系和互補(bǔ)粒度計(jì)算：粗糙集理論是其重要組成之一高效算法：導(dǎo)出規(guī)則的增量式算法、簡(jiǎn)約的啟發(fā)式算法、并行算法、現(xiàn)有算法的改進(jìn)……粗糙集理論的研究現(xiàn)狀（續(xù)）在數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域的應(yīng)用發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間（精確或近似）的依賴關(guān)系評(píng)價(jià)某一分類（屬性）的重要性剔除冗余屬性數(shù)據(jù)集的降維發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)模式挖掘決策規(guī)則在其它領(lǐng)域的應(yīng)用金融商業(yè)……8.3粗糙集理論的基本原理“知識(shí)”的定義使用等價(jià)關(guān)系集R對(duì)離散表示的空間U進(jìn)行劃分，知識(shí)就是R對(duì)U劃分的結(jié)果。“知識(shí)庫(kù)”的形式化定義等價(jià)關(guān)系集R中所有可能的關(guān)系對(duì)U的劃分表示為：K=(U,R)8.3.1基本概念基本概念（續(xù)1）“信息系統(tǒng)”的形式化定義S={U,Q,V,f}，U：對(duì)象的有限集Q：屬性的有限集，Q=C

D，C是條件屬性子集，D是決策屬性子集V：，Vp是屬性P的域f：U×A→

V是總函數(shù)，使得

對(duì)每個(gè)xi

U,q

A,有f(xi,q)

Vq一個(gè)關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)可看作一個(gè)信息系統(tǒng)，其“列”為“屬性”，“行”為“對(duì)象”。基本概念（續(xù)2）基本集合（Elementaryset）/原子(Atom)關(guān)系R的等價(jià)類(Equivalenceclasses)U/R表示近似空間A上所有的基本集合（原子）不可區(qū)分（等價(jià)、不分明）關(guān)系U為論域，R是U

U上的等價(jià)(Equivalence)關(guān)系（即滿足自反、對(duì)稱、傳遞性質(zhì)）A={U,R}稱為近似空間，R為不分明關(guān)系(indiscernibility，或不可區(qū)分關(guān)系、等價(jià)關(guān)系)若x,y

U，(x,y)

R，則x,y在A中是不分明的（不可區(qū)分的）基本概念（續(xù)3）不可區(qū)分（等價(jià)、不分明）關(guān)系（續(xù)）設(shè)P

Q，xi,xj

U,定義二元關(guān)系IND

P

稱為不分明關(guān)系為：稱xi,xj在S中關(guān)于屬性集P是不分明的，當(dāng)且僅當(dāng)p(xi)=p(xj)對(duì)所有的p

P成立，即xi,xj不能用P中的屬性加以區(qū)別。若x,y

U，(x,y)

R，則x,y在A中是不分明的（不可區(qū)分的）對(duì)所有的p

P，IND

P

是U上一種的等價(jià)關(guān)系factweatherroadtimeaccident1mistyicydayyes2foggyicynightyes3mistynoticynightyes4sunnyicydayno5foggynoticyduskyes6mistynoticynightno不可區(qū)分關(guān)系（等價(jià)關(guān)系）示例可知，U={1,2,3,4,5,6}R=2{weather,road,time,accident}若P={weather,road}，則[x]IND(p)=[x]IND{weather}

[x]INP{road}={{1,3,6},{2,5},{4}}

{{1,2,4},{3,5,6}}={{1},{2},{4},{3,6},{5}}不可區(qū)分關(guān)系（等價(jià)關(guān)系）示例（續(xù)）8.3.2集合的上近似&下近似

在信息系統(tǒng)S={U,Q,V,f}中，設(shè)X

U是個(gè)體全域上的子集，P

Q則X的下和上近似集及邊界區(qū)域分別為：

PX是X

U上必然被分類的那些元素的集合，即包含在X內(nèi)的最大可定義集；

X是U上可能被分類的那些元素的集合，即包含X的最小可定義集。

Bnd(X)是既不能在X

U上被分類，又不能在U-X上被分類的那些元素的集合。

圖8.1集合的上、下近似概念示意X上、下近似關(guān)系舉例：

X1={u|Flu(u)=yes}={u2,u3,u6,u7}

RX1={u2,u3}

={u2,u3,u6,u7,u5,u8}X2={u|Flu(u)=no}={u1,u4,u5,u8}

RX2={u1,u4}

={u1,u4,u5,u8,

u6,u7}TheindiscernibilityclassesdefinedbyR={Headache,Temp.}are:{u1},{u2},{u3},{u4},{u5,u7},{u6,u8}.上、下近似集的圖示：R={Headache,Temp.}U/R={{u1},{u2},{u3},{u4},{u5,u7},{u6,X1={u|Flu(u)=yes}={u2,u3,u6,u7}X2={u|Flu(u)=no}={u1,u4,u5,u8}RX1={u2,u3}

={u2,u3,u6,u7,u5,u8}RX2={u1,u4}={u1,u4,u5,u8,u6,u7}u1u4u3X1X2u5u7u2u6u88.3.3近似精度&分類質(zhì)量

設(shè)S={U,Q,V,f}為一信息系統(tǒng)，且X

U，P

Q，則S上X的近似精度為：設(shè)S為一信息系統(tǒng)，P

Q，且令

={X1,X2,…,Xn}是U的一個(gè)分類（子集族），其中Xi

U，則

的P-下近似和P-上近似分別表示為：分類

的近似精度為：

由屬性子集P

Q確定的分類

的分類質(zhì)量為：分類質(zhì)量表示通過(guò)屬性子集P正確分類的對(duì)象數(shù)與信息系統(tǒng)中所有對(duì)象數(shù)的比值。這是評(píng)價(jià)屬性子集P的重要性的關(guān)鍵指標(biāo)之一。

一個(gè)申請(qǐng)信用卡的訓(xùn)練集：申請(qǐng)人編號(hào)條件屬性決策屬性dc1賬號(hào)c2余額c3職業(yè)c4月消費(fèi)1銀行中(700)有低接受2銀行低(300)有高拒絕3無(wú)低(0)有中拒絕4其它機(jī)構(gòu)高(1200)有高接受5其它機(jī)構(gòu)中(800)有高拒絕6其它機(jī)構(gòu)高(1600)有低接受7銀行高(3000)無(wú)中接受8無(wú)低(0)無(wú)低拒絕

原始屬性集A={c1,c2,c3,c4}的分類質(zhì)量：令R={c2,c4}，重新計(jì)算分類質(zhì)量，得

8.3.4屬性約簡(jiǎn)&“核”

屬性約簡(jiǎn)(AttributeReduction)：在一個(gè)信息系統(tǒng)S中，設(shè)

是S上的一個(gè)分類，經(jīng)約簡(jiǎn)后的最小屬性子集具有同原始屬性集相同的分類質(zhì)量，即存在R

P

Q，使得

R()=P()，稱之為屬性集P的

-約簡(jiǎn)，記作REDU

(P)。所有

-約簡(jiǎn)的交集稱為

-核，即CORE

(P)=

REDU

(P)，核是信息系統(tǒng)中一系列最重要的屬性。

【說(shuō)明】：在大多數(shù)情況下，分類是由幾個(gè)甚至一個(gè)屬性來(lái)決定的，而不是由關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)中的所有屬性的微小差異來(lái)決定。屬性約簡(jiǎn)及核的概念為提取系統(tǒng)中重要屬性及其值提供了有力的數(shù)學(xué)工具，而且這種約簡(jiǎn)是本著不破壞原始數(shù)據(jù)集的分類質(zhì)量的，通俗地說(shuō)，它是完全“保真”的。

關(guān)于核的計(jì)算，有人提出了差別矩陣（discernibilitymatrix，也譯作可辨識(shí)矩陣）。在信息系統(tǒng)S=(U,C

D,V,f)中，C為條件屬性，D為決策屬性，設(shè)為對(duì)象全集U按決策屬性D被分成不相交的類族，即={X1,X2,…,Xm}，則S中C的差別矩陣M(C)={mi,j}nxn定義為其中，1

i

j

n。

差別矩陣與信息系統(tǒng)的核有如下關(guān)系：對(duì)所有的c

C,c

CORE(C,D)的充要條件是，存在i,j(1

i

j

n)，使得mi,j={c}?！昂笔侵阜謩e屬于兩個(gè)不同類的對(duì)象具有完全相同的條件屬性，在差別矩陣中，xi,xj是含糊的充要條件是存在i,j(1

i

j

n)，使得mi,j={-1}。

申請(qǐng)人編號(hào)條件屬性

決策屬性dc1賬號(hào)c2余額c3職業(yè)c4月消費(fèi)1銀行中(700)有低接受2銀行低(300)有高拒絕3無(wú)低(0)有中拒絕4其它機(jī)構(gòu)高(1200)有高接受5其它機(jī)構(gòu)中(800)有高拒絕6其它機(jī)構(gòu)高(1600)有低接受7銀行高(3000)無(wú)中接受8無(wú)低(0)無(wú)低拒絕

因決策d={接受，拒絕}，故上表按決策屬性d可分為兩個(gè)等價(jià)類：{x1,x4,x6,x7}和{x2,x3,x5,x8}。根據(jù)差別矩陣的計(jì)算公式可得：

差別矩陣與“核”有如下關(guān)系：屬性c是條件屬性C和決策屬性D的“核”的充要條件是，存在i,j(1<i<j<n)，使得mij

={c}。由上述矩陣可知，存在i=4,j=5，使得m4,5={c2}，故表1的“核”為{c2}。

實(shí)例：考慮下面的決策表，條件屬性為a,b,c,d，決策屬性為e。U/Aabcdeu110210u200121u320210u400222u511210uu1u2u3u4u5u1

u2a,c,d

u3

a,c,d

u4a,dca,d

u5

a,b,c,d

a,b,d

由上述差別矩陣很容易得到核為：{c}差別函數(shù)fM(S)為：c∧(a∨d)，即(a∧c)∨(c∧d)得到兩個(gè)約簡(jiǎn){a,c}和{c,d}根據(jù)得到的兩個(gè)約簡(jiǎn)，可得兩個(gè)約簡(jiǎn)后的新決策表U\Aaceu1120u2011u3220u4022u5120U\Acdeu1210u2121u3210u4222U5210例如：下表是醫(yī)學(xué)診斷的一個(gè)信息系統(tǒng)I=(U,A) 。其中，U={e1,e2,...,e7},A={A,T}

{F}。為方便表達(dá)，用1表示“是”，0表示“否”；2表示體溫“很高”，1表示體溫“高”，0表示體溫“正常”，則表1.1的簡(jiǎn)化形式如表所示。表醫(yī)學(xué)診斷信息系統(tǒng)的描述實(shí)例頭痛A體溫T流感Fe1是正常否e2是高是e3是很高是e4否正常否e5否高否e6否很高是表簡(jiǎn)化后的決策系統(tǒng)UATFe1100e2111e3121e4000e5010e6021e1e4e5e2(T,1)(A,1)

(T,1)(A,1)e3(T,2)(A,1)

(T,2)(A,1)

(T,2)e6(A,0)

(T,2)(T,2)(T,2)表對(duì)應(yīng)決策為1的決策矩陣

將決策矩陣中的每行的元素進(jìn)行合取，然后進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到相應(yīng)的必然規(guī)則：

(T,1)((A,1)(T,1))(A,1)(F,1)得(T,1)(A,1)(F,1) (1)

(T,2)((A,1)(T,2))((A,1)(T,2))(F,1)得(T,2)(A,1)(F,1) (2)

((A,0)(T,2))(T,2)(T,2)(F,1)得(T,2)(A,0)(F,1) (3)又由（2）和（3）式可知，不管屬性A（頭痛）是否發(fā)生，只要屬性T（體溫）“很高”（值為2）時(shí)，則決策屬性F（流感）一定為1，即表明一定是得了“流感”，故有

(T,2)(F,1) (4)8.3.5屬性之間的相關(guān)程度

在信息系統(tǒng)S=(U,C

D,V,f)中，設(shè)D*={X1,X2,…,Xm}，屬性子集P

C關(guān)于決策屬性D的“正區(qū)域”定義為：

P關(guān)于D的正區(qū)域表示那些根據(jù)屬性子集P就能正確分入的所有對(duì)象。條件屬性子集P

C與決策屬性D的相關(guān)程度（也稱依賴程度）定義為：顯然，0

k(P,D)

1。k(P,D)為計(jì)算條件屬性子集P與決策屬性D之間的相關(guān)程度提供了非常有力的手段。一個(gè)屬性p

P

C的有效值(significantvalue)定義為：【說(shuō)明】：屬性p的有效值越大，說(shuō)明其對(duì)條件屬性與決策屬性之間的影響越大，即其重要性也越大。8.3.6屬性的有效值（重要性）

申請(qǐng)人編號(hào)條件屬性

決策屬性dc1賬號(hào)c2余額c3職業(yè)c4月消費(fèi)1銀行中(700)有低接受2銀行低(300)有高拒絕3無(wú)低(0)有中拒絕4其它機(jī)構(gòu)高(1200)有高接受5其它機(jī)構(gòu)中(800)有高拒絕6其它機(jī)構(gòu)高(1600)有低接受7銀行高(3000)無(wú)中接受8無(wú)低(0)無(wú)低拒絕已知上表的“核”CORE(C,D)={c2}，設(shè)R=CORE(C,D)={c2}，計(jì)算屬性A的重要性程度：屬性的重要性計(jì)算舉例屬性的重要性計(jì)算舉例（續(xù)）屬性值約簡(jiǎn)(AttributeValueReduction)也稱最小復(fù)合(MinimalComplex)。設(shè)B是一個(gè)由決策值對(duì)(d,w)表示的所有對(duì)象（概念）的下或上近似，集合B依賴于一個(gè)屬性值對(duì)的集合T，當(dāng)且僅當(dāng)集合T是B的最小復(fù)合，當(dāng)且僅當(dāng)B依賴于T，且無(wú)S

T，使得B依賴于S。8.3.7屬性值約簡(jiǎn)No.Age年齡Pregnancies妊娠

body-fatCholesterol膽固醇

Breast-cancer129..411..418..28188..197no242..561..418..28198..320no342..56029..37198..320yes429..41029..37198..320yes557..641..418..28198..320no642..561..418..28188..197yes729..411..418..28188..197no842..561..429..37198..320yes957..641..429..37198..320yes1057..641..418..28188..197no

設(shè)a=Age，b=pregnancies，c=body-fat，d=Cholesterol，條件屬性C={a,b,c,d}，決策屬性D={Breast-cancer}，得如下差別矩陣：得“核”CORE(C,D)={a,c,d}。經(jīng)屬性約簡(jiǎn)后，刪除多余屬性c，即pregnancies，故得如下表所示的簡(jiǎn)化決策表。No.Agebody-fatCholesterolBreast-cancer129..4118..28188..197no242..5618..28198..320no342..5629..37198..320yes429..4129..37198..320yes557..6418..28198..320no642..5618..28188..197yes729..4118..28188..197no842..5629..37198..320yes957..6429..37198..320yes1057..6418..28188..197no由上表可知，該表存在兩個(gè)決策值對(duì)：(Breast-cancer,no)和(Breast-cancer,yes)，且

D1=(Breast-cancer,no)={x1,x2,x5,x7,x10} D2=(Breast-cancer,yes)={x3,x4,x6,x8,x9}

此外，有如下屬性值對(duì)：A1=(Age,29..41)={x1,x4,x7}A2=(Age,42..56)={x2,x3,x6,x8}A3=(Age,57..64)={x5,x9,x10}B1=(body-fat,18..28)={x1,x2,x5,x6,x7,x10}B2=(body-fat,29..37)={x3,x4,x8,x9}

C1=(Cholesterol,188..197)={x1,x6,x7,x10}C2=(Cholesterol,198..320)={x2,x3,x4,x5,x8,x9}(1)因B2=(body-fat,29..37)={x3,x4,x8,x9}

D2=(Breast-cancer)={x3,x4,x6,x8,x9}，令T=B2，T即為B的最小復(fù)合，故可得規(guī)則：(body-fat,29..37)

(Breast-cancer,yes) (1)

同時(shí)，根據(jù)最小復(fù)合的定義可知，任何與B2一起構(gòu)成集合T的情況，均非最小復(fù)合。

(2)由于A1

D1且A1

D2，B1

D1且B1

D2，令T={A1,B1}，即T={A1,B1}={{x1,x4,x7},{x1,x2,x5,x6,x7,x10}}，有且不存在T’

T，使得B依賴于T’，故可得規(guī)則(Age,29..41)&(%body-fat,18..28)

(Breast-cancer,no) (2)(3)同理，令T={A1,C1}，得【說(shuō)明】：

雖然T={A1,C1}也是一個(gè)最小復(fù)合，但由于交集{x1,x7}與(2)中相同，說(shuō)明兩者實(shí)際上是同一條規(guī)則，故應(yīng)略去。

要略去哪一條規(guī)則（或者說(shuō)要保留哪一條規(guī)則），則還需考慮哪些屬性更重要，即應(yīng)取最關(guān)鍵的屬性所組成的規(guī)則。

在該例中，由差別矩陣的計(jì)算結(jié)果可知，屬性body-fat的重要性大于屬性Cholesterol，因此略去A1與C1組成的規(guī)則。屬性值約簡(jiǎn)舉例（續(xù)）

(4)令T={A1,C2}，得A1

C2={x4}

B2，故此種情況已被B2所包含，故不必單獨(dú)生成一條規(guī)則。(5)令T={A2,B1}，得A2

B1={x2,x6}

D1，且

D2，故不能生成一條規(guī)則。(6)令T={A2,C1}，得A2

C1={x6}

D2={x3,x4,x6,x8,x9}，故有(Age,42..56)&(Cholesterol,188..197)

(Breast-cancer,yes)(3)

(7)令T={A2,C2}，得A2

C2={x2,x3,x8}

D1，且

D2，故不能生成一條規(guī)則。(8)令T={A3,B1}，得A3

B1={x5,x10}

D1={x1,x2,x5,x7,x10}，故有(Age,57..64)&(body-fat,18..28)

(Breast-cancer,no)(4)

(9)令T={A3,C1}，得A3

C1={x10}

A3

B1={x5,x10}，故已被規(guī)則(4)所包含，無(wú)需生成一條規(guī)則。(10)令T={A3,C2}，得A3

C2={x5,x9}

D1，且

D2，故不能生成一條規(guī)則。(11)令T={B1,C1}，得B1

C1=C1={x1,x6,x7,x10}

D1，且

D2，故不能生成一條規(guī)則。(12)令T={B1,C2}，得B1

C2={x2,x5}

D1={x1,x2,x5,x7,x10}，有(body-fat,18..28)&(Cholesterol,198..320)

(Breast-cancer,no) (5)屬性值約簡(jiǎn)舉例（續(xù)）因此，共得5條規(guī)則：(body-fat,29..37)

(Breast-cancer,yes) (1)(Age,29..41)&(body-fat,18..28)

(Breast-cancer,no)(2)(Age,42..56)&(Cholesterol,188..197)

(Breast-cancer,yes)(3)(Age,57..64)&(body-fat,18..28)

(Breast-cancer,no) (4)(body-fat,18..28)&(Cholesterol,198..320)

(Breast-cancer,no)(5)【注意】：若取T={A1,B1,C1}，則必然存在T的真子集T’，如T’={A1,B1}

T，或{A1,C1}，使得即為上述步驟(2)和(3)兩種情況，表明T={A1,B1,C1}不是最小復(fù)合。其余情況類似，故不贅述。8.4計(jì)算實(shí)例長(zhǎng)期以來(lái)，中東局勢(shì)一直動(dòng)蕩不安且變幻莫測(cè)，有人對(duì)該地區(qū)的局勢(shì)進(jìn)行了較深入的研究，并總結(jié)出中東局勢(shì)所牽涉的主要國(guó)家/地區(qū)及其關(guān)心的主要問(wèn)題，如下表所示。主要問(wèn)題國(guó)家地區(qū)建立自治的巴勒斯坦國(guó)(a)以色列沿著約旦河部署軍隊(duì)（b）以占領(lǐng)東耶路撒冷(c)以軍駐守在戈蘭高地(d)承認(rèn)巴勒斯坦人國(guó)籍(e)UN大會(huì)的決議(f)1：以色列反對(duì)贊同贊同贊同贊同Reject2:埃及贊同中立反對(duì)反對(duì)反對(duì)Accept3：巴勒斯坦贊同反對(duì)反對(duì)反對(duì)中立Accept4：約旦中立反對(duì)反對(duì)中立反對(duì)Reject5：敘利亞贊同反對(duì)反對(duì)反對(duì)反對(duì)Reject6：沙特阿拉伯中立贊同反對(duì)中立贊同Reject其中，聯(lián)合國(guó)（UN）大會(huì)的決議(f)為決策屬性，其它均為條件屬性。