河南省鄭州市中原區(qū)第七十三中學2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷

河南省鄭州七十三中2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷(解析版)一、選擇題（每小題3分，共30分）1．將一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化為一般形式，正確的是（）A．x2﹣x＝2 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣x﹣2＝02．若（b+d≠0），則的值為（）A． B． C．1 D．3．矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊平行且相等 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直4．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程為（）A． B． C．（x﹣9）2＝62 D．（x+9）2＝625．如圖，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一個條件后，仍不能確定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．6．關于一元二次方程x2+kx﹣9＝0（k為常數(shù)）的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能確定根的情況7．如圖，四邊形ABCD和A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，若OB：OB'＝1：2，則四邊形ABCD與A'B'C'D'的周長比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：38．小明準備在2023年國慶期間去看電影，他想在《堅如磐石》《志愿軍一：雄兵出擊》《莫斯科行動》《好像也沒那么熱血沸騰》《我是哪吒2之英雄歸來》這五個電影中選取兩個去觀看，他選取背面完全相同的五張卡片，在正面分別寫上片名，然后背面向上，洗勻后隨機抽取兩張，則小明抽中《志愿軍一：雄兵出擊》和《我是哪吒2之英雄歸來》的概率是（）A． B． C． D．9．在正方形ABCD中，AC，BD交于點O，E是CD的中點，BE交OC于點P，若OP＝2，則AB的長為（）A． B． C． D．810．如圖，平面直角坐標系中，菱形ABCD的中心為原點O，頂點，B（0，1），以BC為邊在菱形ABCD外側作等邊三角形BCE，第一次操作：將△BCE在菱形ABCD的邊上順時針翻滾得到△B1C1E1，C1E1與CD重合，點E1與點D重合，點E1的坐標為（0，﹣1）；第二次操作：將△B1C1E1在菱形ABCD的邊上順時針翻滾得到△B2C2E2，B2E2與AD重合，點E2與點D重合，點E2的坐標為（0，﹣1）…按此規(guī)律，將△B2022C2022E2022在菱形ABCD的邊上順時針第2023次翻滾得到△B2023C2023E2023，則點E2023的坐標為（）A．（0，1） B． C． D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．構造一個一元二次方程，要求：①常數(shù)項不為0；②有一個根為﹣1．這個一元二次方程可以是（寫出一個即可）．12．不透明的口袋中裝有8個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，估計口袋中白球大約有個．13．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，若AB＝3，BC＝6，DF＝6，則DE的長等于．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，點E，F(xiàn)分別為AB，BC上一個動點，且EF＝6，點P為EF的中點，過點P作PM⊥AD，垂足為點M，過點P作PN⊥CD，垂足為點N，連接MN，則DP的最小值為．15．如圖，菱形ABCD中，，∠BCD＝30°，點P為射線AE上一個動點，連接DP，點A'為點A關于直線DP的對稱點，連接A′P，A′D，當A′P⊥BC時，AP的長為．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．解方程：（1）x2﹣3x＝2（公式法）；（2）2x2+1＝4x（配方法）．17．已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+3m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當m取正整數(shù)時，求此時方程的根．18．不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種除顏色外其余都相同的小球，其中白球有2個．黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個球是白球的概率為．（1）試求袋中藍球的個數(shù)；（2）若任意摸出兩個球，請用畫樹狀圖或列表法表示摸到球的所有可能結果，并求摸到的球都是白球的概率．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．（1）在BC上求作一點D，使得DA＝DB；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若AB＝2，求BD的長．20．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且，連接CE．（1）求證：四邊形OCED為矩形；（2）連接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的長．21．鄭州黃河風景名勝區(qū)，又稱鄭州黃河水利風景區(qū)，位于河南省省會鄭州市西北20千米處黃河之濱，南依岳山，北鄰黃河，歷經(jīng)四十年的開發(fā)建設，現(xiàn)已開放面積20多平方千米，形成了融觀光旅游、休閑度假、科普教育、尋根祭祖、弘揚華夏文明為一體的大型風景名勝區(qū)，吸引大批市民前來游玩休閑，2020年受新冠疫情的影響，游玩市民在逐年下降．據(jù)統(tǒng)計，該風景區(qū)游玩人數(shù)從2019年的每周1.44萬下降到2021年的每周0.81萬．（1）求2019年到2021年鄭州黃河水利風景區(qū)游玩人數(shù)平均每年降低的百分率；（2）為吸引客流，風景區(qū)今年準備在如圖的墻AB，BC周圍用籬笆圍成一個跑馬場，墻AB長為36米，BC無限長，籬笆MN，NQ，PB把跑馬場隔成跑馬區(qū)（矩形MNPB）和飼養(yǎng)區(qū)（等腰直角三角形PBQ）兩個區(qū)域，并在三處各留2米寬的大門．已知籬笆總長為84米．設MN的長為x米．當x為多少時，跑馬區(qū)的面積為600平方米？22．如圖，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝20，點M以每秒1個單位長度的速度沿AB從點A向點B運動，點N以每秒4個單位長度的速度沿BC從點B向點C運動，點P以每秒2個單位長度的速度沿CD從點C向點D運動，三動點同時出發(fā)，設運動時間為t秒，當點N到達點C時，三點同時停止運動．點B關于MN的對稱點為點Q，連接MN，NP，MQ，NQ．（1）當t為何值時，四邊形MBNQ為正方形？并說明理由；（2）若以點M，N，B為頂點的三角形與以點N，P，C為頂點的三角形相似，求t的值．23．特殊：（1）如圖1，正方形ABCD中，點P為CD的中點，BA⊥AD于點A，連接PA，PB．思考：若延長BP交射線AD于點F，可得出∠DAP與∠APB的數(shù)量關系為；一般：（2）如圖2，將（1）中的正方形改為平行四邊形，點P為CD的中點，BQ⊥AD于點Q，連接PQ，PB，BQ，請指出∠DQP與∠QPB的數(shù)量關系，并說明理由；特殊：（3）如圖3，將（2）中的平行四邊形改為菱形，且AB＝2，∠A＝60°，其他條件不變，將△BPQ繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當直線PQ經(jīng)過點A時，直接寫出AP的長．

參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．將一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化為一般形式，正確的是（）A．x2﹣x＝2 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣x﹣2＝0【分析】先去括號，再合并同類項，即可答案．解：x（x+1）﹣2x＝2，x2+x﹣2x＝2，x2+x﹣2x﹣2＝0，x2﹣x﹣2＝0，故選：D．【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0）．2．若（b+d≠0），則的值為（）A． B． C．1 D．【分析】根據(jù)合比的性質(zhì)進行解答即可．解：∵若（b+d≠0），∴＝．故選：A．【點評】此題考查了比例線段，熟練掌握合比的性質(zhì)是解題的關鍵，是一道基礎題．3．矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊平行且相等 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)解答即可．解：矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是對角線相等，故選：B．【點評】此題考查矩形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等解答．4．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程為（）A． B． C．（x﹣9）2＝62 D．（x+9）2＝62【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可．解：∵x2﹣9x+19＝0，∴x2﹣9x＝﹣19，∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，故選：A．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．5．如圖，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一個條件后，仍不能確定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴選項A，C根據(jù)兩角對應相等判定△ABC∽△ADE，選項D根據(jù)兩邊成比例夾角相等判定△ABC∽△ADE，選項B中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，故選：B．【點評】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．6．關于一元二次方程x2+kx﹣9＝0（k為常數(shù)）的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能確定根的情況【分析】計算出方程的根的判別式，只要得到根的判別式的符號，即可作出判斷．解：∵a＝1，b＝k，c＝﹣9，∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+36＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點評】此題考查了根的判別式，總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．7．如圖，四邊形ABCD和A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，若OB：OB'＝1：2，則四邊形ABCD與A'B'C'D'的周長比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：3【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)得到四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'的相似比為1：2，然后根據(jù)相似多邊形的周長之比等于相似比求解即可．解：∵四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，OB：OB'＝1：2，∴四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'的相似比為1：2，∴四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的周長比為1：2．故選：A．【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關系、相似多邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．8．小明準備在2023年國慶期間去看電影，他想在《堅如磐石》《志愿軍一：雄兵出擊》《莫斯科行動》《好像也沒那么熱血沸騰》《我是哪吒2之英雄歸來》這五個電影中選取兩個去觀看，他選取背面完全相同的五張卡片，在正面分別寫上片名，然后背面向上，洗勻后隨機抽取兩張，則小明抽中《志愿軍一：雄兵出擊》和《我是哪吒2之英雄歸來》的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，其中小明抽中《志愿軍一：雄兵出擊》和《我是哪吒2之英雄歸來》的結果有2種，再由概率公式求解即可．解：把《堅如磐石》《志愿軍一：雄兵出擊》《莫斯科行動》《好像也沒那么熱血沸騰》《我是哪吒2之英雄歸來》這五個電影卡片分別記為A、B、C、D、E，畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結果，其中小明抽中《志愿軍一：雄兵出擊》和《我是哪吒2之英雄歸來》的結果有2種，∴小明抽中《志愿軍一：雄兵出擊》和《我是哪吒2之英雄歸來》的概率是＝，故選：C．【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．在正方形ABCD中，AC，BD交于點O，E是CD的中點，BE交OC于點P，若OP＝2，則AB的長為（）A． B． C． D．8【分析】過點E作EF⊥AC，易得EF∥BD，由E是中點可得EF是中位線，EF＝OD＝OB，再由△BOP∽△EFP即可求出PF，進而求出OC即可解答．解：過點E作EF⊥AC，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，OB＝OD，∴EF∥BD，∵E是DC的中點，∴EF＝OD＝OB，∵∠BOP＝∠EFP，∠BPO＝∠EPF，∴△BOP∽△EFP，∴，∵OP＝2，∴PF＝1，∴OF＝CF＝3，∴OC＝6，∴AB＝BC＝6．故選：C．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關鍵．10．如圖，平面直角坐標系中，菱形ABCD的中心為原點O，頂點，B（0，1），以BC為邊在菱形ABCD外側作等邊三角形BCE，第一次操作：將△BCE在菱形ABCD的邊上順時針翻滾得到△B1C1E1，C1E1與CD重合，點E1與點D重合，點E1的坐標為（0，﹣1）；第二次操作：將△B1C1E1在菱形ABCD的邊上順時針翻滾得到△B2C2E2，B2E2與AD重合，點E2與點D重合，點E2的坐標為（0，﹣1）…按此規(guī)律，將△B2022C2022E2022在菱形ABCD的邊上順時針第2023次翻滾得到△B2023C2023E2023，則點E2023的坐標為（）A．（0，1） B． C． D．【分析】數(shù)形結合找出規(guī)律即可解答．解：根據(jù)題意得E1（0，﹣1），E2（0，﹣1），E3（﹣，2），E4（，0），E5（，0），E6（﹣，﹣2），E7（0，1），E8（0，1），E9（，﹣2），E10（﹣，0），E11（﹣，0），E12（，2），E13（0，﹣1）……，∴E的對應點的坐標12次一循環(huán)，∵168×12+7＝2023，∴點E2023的坐標為（0，1）．故選：A．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點的坐標規(guī)律，找出規(guī)律是解題關鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．構造一個一元二次方程，要求：①常數(shù)項不為0；②有一個根為﹣1．這個一元二次方程可以是x2﹣1＝0（寫出一個即可）．【分析】直接利用一元二次方程的一般形式進而得出答案．解：由題意可得，方程可以為：（x+1）（x﹣1）＝0，即x2﹣1＝0．故答案為：x2﹣1＝0．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確掌握相關定義是解題關鍵．12．不透明的口袋中裝有8個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，估計口袋中白球大約有12個．【分析】設口袋中白球大約有x個，根據(jù)概率公式列出算式，再進行計算即可得出答案．解：設口袋中白球大約有x個，∵摸到白色球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，∴＝0.6，解得：x＝12，經(jīng)檢驗x＝12是原方程的解，估計口袋中白球大約有12個，故答案為：12．【點評】本題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關鍵．13．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，若AB＝3，BC＝6，DF＝6，則DE的長等于2．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算，得到答案．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝3，BC＝6，DF＝6，∴＝，解得：DE＝2，故答案為：2．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，點E，F(xiàn)分別為AB，BC上一個動點，且EF＝6，點P為EF的中點，過點P作PM⊥AD，垂足為點M，過點P作PN⊥CD，垂足為點N，連接MN，則DP的最小值為10．【分析】根據(jù)題意可知，點P在點B為圓心，3為半徑的圓上，點B、P、D三點共線時DP取得最小值為10．解：如圖：連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDA＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∵AB＝5，BC＝12，∴CD＝5，∴BD＝＝13，∵點E，F(xiàn)分別為AB，BC上一個動點，且EF＝6，點P為EF的中點，∴點P在點B為圓心，3為半徑的圓上，∴點B、P、D三點共線時DP取得最小值為13﹣3＝10．故答案為：10．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、三角形的三邊關系及圓的性質(zhì)，確定出DP最小時點P的位置是解題關鍵，也是本題的難點．15．如圖，菱形ABCD中，，∠BCD＝30°，點P為射線AE上一個動點，連接DP，點A'為點A關于直線DP的對稱點，連接A′P，A′D，當A′P⊥BC時，AP的長為2．【分析】設A′D交AB于G，延長CB交A′P于H，連接AA′，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB∥CB，CD＝AD＝2，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到∠DA′P＝∠DAP＝30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AA′＝AD，于是得到結論．解：設A′D交AB于G，延長CB交A′P于H，連接AA′，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CB，CD＝AD＝2，∵∠BCD＝30°，∴∠ABH＝30°，∵A′P⊥BC，∴∠BHP＝60°，∵點A'為點A關于直線DP的對稱點，∴∠DA′P＝∠DAP＝30°，∴∠A′GP＝90°，∴A′D⊥AE，∴A′D⊥CD，∴∠CDA′＝90°，∵∠CDA＝180°﹣∠DCB＝150°，∴∠ADA′＝60°，∵DA′＝DA＝2，∴△AA′D的等邊三角形，∴AA′＝AD，∴，∴＝sin60°＝，∴A′P＝2，∴PA＝PA′＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．解方程：（1）x2﹣3x＝2（公式法）；（2）2x2+1＝4x（配方法）．【分析】（1）先把方程化為一般形式，再計算Δ＝b2﹣4ac＝17，再利用公式解方程即可；（2）先把方程化為，再在方程兩邊都加上1，可得，再解方程即可．解：（1）∵x2﹣3x＝2，∴x2﹣3x﹣2＝0，則a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17，∴，∴，；（2）∵2x2+1＝4x，∴2x2﹣4x＝﹣1，∴，∴，∴，∴或，解得：，．【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用公式法與配方法解一元二次方程是解本題的關鍵．17．已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+3m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當m取正整數(shù)時，求此時方程的根．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）由（1）的結論結合m為正整數(shù)，即可得出m＝1，將其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣4x+3m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×3m＞0，解得：m＜，∴m的取值范圍為m＜；（2）∵m為正整數(shù)，∴m＝1，∴原方程為x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝3，x2＝1，∴當m取正整數(shù)時，此時方程的根為3和1．【點評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的兩個根．18．不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種除顏色外其余都相同的小球，其中白球有2個．黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個球是白球的概率為．（1）試求袋中藍球的個數(shù)；（2）若任意摸出兩個球，請用畫樹狀圖或列表法表示摸到球的所有可能結果，并求摸到的球都是白球的概率．【分析】（1）首先設袋中藍球的個數(shù)為x個，根據(jù)從中任意摸出一個球是白球的概率為．列出分式方程，解方程即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中摸到的球都是白球的結果有2種，再利用概率公式求解即可．解：（1）設袋中藍球的個數(shù)為x個，由題意得：＝，解得：x＝1，經(jīng)檢驗，x＝1是原方程的解，且符合題意，答：袋中藍球的個數(shù)為1個；（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中摸到的球都是白球的結果有2種，∴摸到的球都是白球的概率為＝．【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．（1）在BC上求作一點D，使得DA＝DB；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若AB＝2，求BD的長．【分析】（1）作線段AB的垂直平分線交BC于點D，連接AD，點D即為所求作．（2）首先證明AC＝CD＝AB＝2，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．解：（1）如圖，點D即為所求作．（2）由作圖可知，AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝36°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°，∴∠CAB＝180°﹣72°＝108°，∴∠CAD＝108°﹣36°＝72°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝72°，∴∠CAD＝∠CDA，∴CA＝CD＝AB＝2，∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△BCA，∴AB：CB＝DB：AB，∴4＝BD（BD+2），∴BD2+2BD﹣4＝0，解得BD＝﹣1（負根已經(jīng)舍棄）．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．20．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且，連接CE．（1）求證：四邊形OCED為矩形；（2）連接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的長．【分析】（1）先證四邊形OCED是平行四邊形，再由∠DOC＝90°，即可得出結論；（2）由（1）知OD＝CE＝BD＝3，然后由矩形的性質(zhì)得∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝OC，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，DO＝OB＝BD＝3，由（1）得：四邊形OCED為矩形，∴CE＝OD＝3，∠OCE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝，即AE的長為．【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明四邊形OCED為矩形是解題的關鍵．21．鄭州黃河風景名勝區(qū)，又稱鄭州黃河水利風景區(qū)，位于河南省省會鄭州市西北20千米處黃河之濱，南依岳山，北鄰黃河，歷經(jīng)四十年的開發(fā)建設，現(xiàn)已開放面積20多平方千米，形成了融觀光旅游、休閑度假、科普教育、尋根祭祖、弘揚華夏文明為一體的大型風景名勝區(qū)，吸引大批市民前來游玩休閑，2020年受新冠疫情的影響，游玩市民在逐年下降．據(jù)統(tǒng)計，該風景區(qū)游玩人數(shù)從2019年的每周1.44萬下降到2021年的每周0.81萬．（1）求2019年到2021年鄭州黃河水利風景區(qū)游玩人數(shù)平均每年降低的百分率；（2）為吸引客流，風景區(qū)今年準備在如圖的墻AB，BC周圍用籬笆圍成一個跑馬場，墻AB長為36米，BC無限長，籬笆MN，NQ，PB把跑馬場隔成跑馬區(qū)（矩形MNPB）和飼養(yǎng)區(qū)（等腰直角三角形PBQ）兩個區(qū)域，并在三處各留2米寬的大門．已知籬笆總長為84米．設MN的長為x米．當x為多少時，跑馬區(qū)的面積為600平方米？【分析】（1）設2019年到2021年鄭州黃河水利風景區(qū)游玩人數(shù)平均每年降低的百分率為y，利用2021年鄭州黃河水利風景區(qū)游玩人數(shù)＝2019年鄭州黃河水利風景區(qū)游玩人數(shù)×（1﹣2019年到2021年鄭州黃河水利風景區(qū)游玩人數(shù)平均每年降低的百分率）2，可列出關于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；（2）根據(jù)各邊之間的關系，可得出MB＝（90﹣3x）米，結合跑馬區(qū)的面積為600平方米，可列出關于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結合墻AB長為36米，即可確定結論．解：（1）設2019年到2021年鄭州黃河水利風景區(qū)游玩人數(shù)平均每年降低的百分率為y，根據(jù)題意得：1.44（1﹣y）2＝0.81，解得：y1＝0.25＝25%，y2＝1.75（不符合題意，舍去）．答：2019年到2021年鄭州黃河水利風景區(qū)游玩人數(shù)平均每年降低的百分率為25%；（2）∵籬笆總長為84米，且MN＝x米，四邊形MNPB為矩形，△PBQ為等腰直角三角形，∴PB＝PQ＝MN，∴MB＝84+2×3﹣3x＝（90﹣3x）米．根據(jù)題意得：x（90﹣3x）＝600，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，當x＝10時，90﹣3x＝90﹣3×10＝60＞36，不符合題意，舍去；當x＝20時，90﹣3x＝90﹣3×20＝30＜36，符合題意．答：當x為20米時，跑馬區(qū)的面積為600平方米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．22．如圖，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝20，點M以每秒1個單位長度的速度沿AB從點A向點B運動，點N以每秒4個單位長度的速度沿BC從點B向點C運動，點P以每秒2個單位長度的速度沿CD從點C向點D運動，三動點同時出發(fā)，設運動時間為t秒，當點N到達點C時，三點同時停止運動．點B關于MN的對稱點為點Q，連接MN，NP，MQ，NQ．（1）當t為何值時，四邊形MBNQ為正方形？并說明理由；（2）若以點M，N，B為頂點的三角形與以點N，P，C為頂點的三角形相似，求t的值．【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)得到MQ＝MB，NQ＝NB，由矩形的性質(zhì)得到∠B＝90°，當MB＝BN時，四邊形ABCD是正方形，得到10﹣t＝4t，即可求出t的值；（2）分兩種情況，由相似三角形的性質(zhì)，即可解決問題．解：（1）當t＝2時，四邊形MBNQ為正方形，理由如下：∵點B關于MN的對稱點為點Q，∴MQ＝MB，NQ＝NB，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴當MB＝BN時，四邊形ABCD是正方形，∴10﹣t＝4t，∴t＝2，∴當t＝2時，四邊形MBNQ為正方形．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C，當△MBN∽△NCP時，得到BM：NC＝NB：PC，∴（10﹣t）：（20﹣4t）＝4t：2t，∴t＝，當△MBN∽△PCN時，得到BM：PC＝NB：NC，∴（10﹣t）：2t＝4t：（20﹣4t），∴t＝（舍去負值），∴t的值是或．【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，正方形的判定，軸對稱的性質(zhì)，關鍵是掌握正方形的判定方法；要分兩種情況討論．23．特殊：（1）如圖1，正方形ABCD中，點P為CD的中點，BA⊥AD于點A，連接PA，PB．思考：若延長BP交射線AD于點F，可得出∠DAP與∠APB的數(shù)量關系為∠DAP＝∠APB；一般：（2）如圖2，將（1）中的正方形改為平行四邊形，點P為CD的中點，BQ⊥AD于點Q，連接PQ，PB，BQ，請指出∠DQP與∠QPB的數(shù)量關系，并說明理由；特殊：（3）如圖3，將（2）中的平行四邊形改為菱形，且AB＝2，∠A＝60°，其他條件不變，將△BPQ繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當直線PQ經(jīng)過點A時，直接寫出AP的長．【分析】（1）