數(shù)學(xué)史全套課件

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的科學(xué)

歷史使人明智數(shù)學(xué)使人周密數(shù)學(xué)是“模式”的科學(xué)打開數(shù)學(xué)科學(xué)的歷史畫卷展示數(shù)學(xué)世界的風(fēng)土人情第一章國外數(shù)學(xué)歷史發(fā)展概況國外數(shù)學(xué)史的五個發(fā)展時期：數(shù)學(xué)的萌芽時期初等數(shù)學(xué)時期變量數(shù)學(xué)時期近代數(shù)學(xué)時期現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期民族的特點影響數(shù)學(xué)發(fā)展的社會、人文的諸多因素數(shù)學(xué)家的人格特征、歷史的作用1.1數(shù)學(xué)的萌芽時期（至公元前六、五世紀）1.1.1巴比倫(至公元前二世紀）的數(shù)學(xué)兩河流域的“美索布達米亞”

19世紀40年代考古學(xué)家發(fā)掘出巴比倫的古城在算術(shù)和代數(shù)的成就“楔形”文字泥版書（如圖1.1）

圖1.1古巴比倫帶有四邊形和數(shù)字符號30；1，24，51，10；42，25，35的泥版書

1.1.2古埃及的數(shù)學(xué)（至公元前332年）紙草書：莫斯科紙草書（約公元前1900年）萊因德紙草書（約公元前1700年）幾何學(xué):金字塔，尼羅河與幾何的測量

古印度是指南亞次大陸及其鄰近的島嶼文字大部分是寫在棕櫚樹的葉子上或樹皮上數(shù)學(xué)伴隨著占星術(shù)和宗教活動古印度的祭壇264－1粒：棋盤上的麥粒，繞地球7000圈！“河內(nèi)塔”游戲，5萬億年以上，世界的末日！1.1.3古印度的數(shù)學(xué)1.2.初等數(shù)學(xué)時期

1.2.1古希臘數(shù)學(xué)（公元前6世紀至公元6世紀）特殊的地理位置與文化.社會制度（公元前6世紀至公元17世紀）哲學(xué)與數(shù)學(xué)：

泰勒斯（約公元前624-前547）

“幾何論證之父”

畢德哥拉斯（約公元前580-前460）

學(xué)派“萬物皆數(shù)”，“第一次數(shù)學(xué)危機”德謨克利特（約公元前460-前370）

“原子論”圓錐的體積公式，17世紀“不

可分量理論”芝諾（約公元前490-前425）

“阿基里斯追不上烏龜”的悖論,極限、

連續(xù)和無窮集合的概念柏拉圖（公元前427-前347）把數(shù)學(xué)概念和現(xiàn)實中相應(yīng)的實體分開，柏拉圖立體；

亞里士多德（公元前384-前322）的演繹推理的思想和方法，形式邏輯規(guī)則；

阿基米德（約公元前287-前212力學(xué)研究與數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，浮力原理“如果給我一個支點，我將移動地球”墓碑上刻著球內(nèi)切于圓柱的圖形

亞歷山大前期

歐幾里得（約公元前330-前275）的《幾何原本》科學(xué)史上第一門演繹科學(xué)“猶如初戀一般的迷人”“如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那么他是不會成為一個科學(xué)家的”

亞歷山大后期厄拉托塞（約公元前276-前194）厄拉托塞篩法丟番圖（約210-290）“代數(shù)學(xué)的開山鼻祖”墓志銘：“上帝給予的童年是六分之一，又過十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補，又過四年，他也走完人生的旅途”1.2.2阿拉伯數(shù)學(xué)（公元9世紀至13世紀）

在阿拉伯帝國統(tǒng)治下、各民族人民共同創(chuàng)造承前啟后，繼往開來的作用。1.2.3中世紀印度數(shù)學(xué)（公元5世紀至12世紀）

推進了算術(shù)和代數(shù)的進展

制定了現(xiàn)在世界上通用的數(shù)碼及記數(shù)方法婆什迦羅（1114-1185）的《麗羅娃提》黑暗的中世紀

吸收東方文化——十字軍遠征文藝復(fù)興運動科學(xué)方法：演繹與實驗（F·培根561-1626）代數(shù)的符號化：塔塔利亞（1499-1557）三次方程的求解卡當（1501-1576）的《大術(shù)》

韋達（1540-1603）使代數(shù)學(xué)成為符號數(shù)學(xué)1.2.4西歐數(shù)學(xué)的復(fù)蘇（公元十一世紀至十六世紀）1.3.變量數(shù)學(xué)時期(17世紀上半葉至19世紀20年代)

產(chǎn)生標志：

解析幾何和微積分學(xué)

科學(xué)技術(shù)蓬勃發(fā)展的推動下應(yīng)運而生1.3.1變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的十七世紀解析幾何的創(chuàng)立費馬（1601-1665）“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，研究阿波羅尼茲的圓錐曲線通過坐標建立了代數(shù)方程和曲線聯(lián)系，并利用方程來研究曲線的性質(zhì)。笛卡爾（1596-1650）獨特的讀書方式利用代數(shù)方法改變《原本》的證明方法“梅森科學(xué)院”的討論《方法論》的“附錄”《幾何學(xué)》（1637）通過哲學(xué)、自然科學(xué)的途徑來研究數(shù)學(xué)引出了變量和函數(shù)的概念。微積分的創(chuàng)立：為自然科學(xué)研究提供必要的數(shù)學(xué)工具

伽利略（1564-1642）銅燈擺動周期與擺動的弧的大小無關(guān)兩塊金屬同時落地開普勒（1571-1630）行星運動的三條定律粗糙形式的積分學(xué)，函數(shù)的研究瓦里士等人的工作微積分成為獨立的學(xué)科牛頓（1643-1727）萬有引力的思想，廣義二項式定理微分和積分的思想哈雷彗星讓普通平凡的人們因為在他們中間出現(xiàn)過一個人杰而感到高興吧！萊布尼茲（1646-1716）外交官的生涯，系統(tǒng)的研究結(jié)果1.3.2高等數(shù)學(xué)迅速發(fā)展的18世紀

研究領(lǐng)域主要在數(shù)學(xué)分析方面，一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家為此做出了重大的貢獻伯努利家族

約翰·伯努利（1667-1748）多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，好的老師，生性好斗：對牛頓進行了多次攻訐，對哥哥雅各布的挑戰(zhàn)，懸鏈線，最速降線（旋輪線），等周問題

歐拉（1707-1783）著作方面驚人的多產(chǎn)。雙目失明，某些書和四百篇研究文章是在他完全失明后寫的，得益于他非凡的記憶力和心算能力。熱愛生活，歐拉停止了生命，也停止了計算。1.4近代數(shù)學(xué)時期（19世紀20年代至20世紀40年代）1.4.1非歐幾何與近代幾何思想

擺脫實際問題的制約，完全利用演繹的方法研究數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾和規(guī)律，發(fā)展成為純粹的數(shù)學(xué)科學(xué)《幾何原本》中第五公設(shè)的研究等價命題，羅巴切夫斯基幾何學(xué)羅巴切夫斯基（1792-1856）非歐幾何的研究是在教學(xué)過程中進行的系統(tǒng)闡述非歐幾何的思想和方法為新的幾何學(xué)吶喊了一生高斯（1777-1855）非歐幾何最早的發(fā)現(xiàn)者企圖用實踐檢驗它的正確性傳統(tǒng)的觀念面前缺乏羅巴切夫斯基那樣的勇氣。天性聰穎，家境貧寒“數(shù)學(xué)之王”著稱，治學(xué)嚴謹鮑耶（1802-1860）注意新的幾何學(xué)內(nèi)部的相容性問題，更具有數(shù)學(xué)理論研究意識21歲發(fā)現(xiàn)非歐幾何，對高斯的怨恨父子糾紛貧困中仍為“不能證明他的幾何學(xué)的無矛盾性而感到十分苦惱?！?/p>

近代幾何思想，稱作愛爾蘭根綱領(lǐng)。

1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊因在射影幾何中用變換群的觀點統(tǒng)一了四種度量幾何1.4.2代數(shù)學(xué)的解放四元數(shù)（不滿足乘法交換率的數(shù)系）群概念的出現(xiàn)“求解高次方程根”的問題哈密頓（1805-1865）進大學(xué)之前沒有受過學(xué)校教育，22歲大學(xué)生被授予天文學(xué)教授“布爾罕橋”上發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，數(shù)域的擴張人生的坎坷

阿貝爾（1802-1829）完成了魯菲尼的證明（交高斯審閱，未受到重視）一生貧窮，顛沛流離的生活，未滿27歲因肺炎病逝

伽羅華（1811-1831）18歲開始先后三次將方程求解的論文呈送法國科學(xué)院，未受重視臨死前將思路記錄下來，并托付給了朋友在他去世40年后，他的思想方法很快形成了代數(shù)結(jié)構(gòu)的一般理論。

1.4.3分析學(xué)基礎(chǔ)的嚴密化死去量的幽靈？“無窮小量”的第二次危機微積分的理論基礎(chǔ)應(yīng)該是極限論

柯西（1789-1857）是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家人生的另一側(cè)面：與周圍的人很不融洽，對剛踏上科學(xué)道路的年輕人的冷漠，使他成為最不可愛的科學(xué)家?！八恼n講的非?；靵y?！薄皩τ谀贻p學(xué)生，他令人厭倦”1.4.4分析學(xué)基礎(chǔ)的算術(shù)化

柯西極限理論建立在實數(shù)系的簡單直覺觀念上病態(tài)函數(shù)的出現(xiàn)告誡人們不能過分依賴直觀實數(shù)系本身首先應(yīng)該嚴格化，ε—δ方法給出極限的定量化的定義（1856年）。實現(xiàn)這個目標就稱作分析的算術(shù)化

維爾斯特拉斯（1815-1897年）

曲折的就學(xué)之路，多年的鄉(xiāng)村教師大器晚成的數(shù)學(xué)家1.4.5公理化方法

19世紀，為克服微積分基礎(chǔ)概念的理論缺陷，非歐幾何、四元數(shù)系的發(fā)現(xiàn)，重新喚起對公理化方法的認識。

20世紀的公理化方法滲透到幾乎所有的純數(shù)學(xué)和某些物理學(xué)的領(lǐng)域。利用公理化方法建立了許多核心數(shù)學(xué)分支的邏輯基礎(chǔ)，希爾伯特寫道：通過突進到公理的更深層次，我們能夠獲得科學(xué)思維的更深入的洞察力，弄清楚知識的統(tǒng)一性希爾伯特（1862-1943）著名講演“數(shù)學(xué)問題”，縱覽數(shù)學(xué)發(fā)展全貌“在日復(fù)一日無數(shù)的散步時刻，我們漫游了數(shù)學(xué)科學(xué)的每一個角落”，“天才就是勤奮”“他就像一位穿雜色衣服的風(fēng)笛手，用甜蜜的笛聲引誘一大群老鼠跟著他走進數(shù)學(xué)的深河”。1.4.6康托與集合論康托（1845-1918）關(guān)于實無窮的深奧理論，引起了激烈的爭論和譴責(zé)與某些數(shù)學(xué)家的關(guān)系相當緊張，經(jīng)濟生活拮據(jù)高度形式化領(lǐng)域的艱苦跋涉，雙重狂郁性精神病“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”問題，康托未能走出的路，的確有著不可逾越的障礙。

羅素悖論，理發(fā)師悖論，對整個數(shù)學(xué)可靠性的懷疑數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派邏輯主義學(xué)派

形式主義學(xué)派

直覺主義學(xué)派各派均未能對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題做出完美的答案這場論爭極大的推動了純粹數(shù)學(xué)研究的發(fā)展1.4.7數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

社會歷史背景條件相對封閉的疆域大河背景下的農(nóng)耕文化集中的王權(quán)

中國數(shù)學(xué)的特點形成了以計算為核心的算法理論具有濃郁應(yīng)用色彩中國數(shù)學(xué)的成就

第一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》（大約公元前二百年左右）公元3世紀至13世紀，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的眾多數(shù)學(xué)成果,形成國家數(shù)學(xué)教育的體制

2.1《周易》與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)

《周易》是我國古代專講卜筮的書，約成書于殷商時期

,在古代中國眾多的儒、道典籍中，《周易》是包含數(shù)學(xué)內(nèi)容最豐富的著作。

“卜”是使用一定的工具弄出來、以決定事情吉兇的兆象。中國人常用龜甲和獸骨為占卜工具。“筮”是按一定規(guī)則得到特定的數(shù)字，并用它來預(yù)測事情的吉兇

,“筮”字由“竹”字和“巫”字構(gòu)成。后來改用蓍草,“天子之蓍九尺，諸侯七尺，大夫五尺，士三尺。”

《周易》由《易經(jīng)》和《易傳》兩部分組成。自漢代開始，許多算學(xué)家都熱衷于將算法與《周易》相聯(lián)系。劉徽在《九章算術(shù)注》的序中就寫道：“昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之術(shù)，以合六爻之變?！?/p>

《易經(jīng)》中利用爻卦的變化預(yù)測吉兇，分別用“—”與“－－”表示陽爻和陰爻。構(gòu)成八卦、六十四別卦

研究認為，《周易》中爻的符號“—”、“－－”是由數(shù)字或數(shù)表演進而來的。理由是：其一，卦辭中，當對卦畫進行解釋時，總是用數(shù)“九”和“六”分別表示陽爻和陰爻。其二，考古發(fā)現(xiàn)商代甲骨文或陶器上有不少由六組數(shù)（每組三個數(shù)字）組成的數(shù)表，所用的數(shù)字逐漸增加一、六的使用頻率，別的數(shù)字似乎有不用的趨勢。大約在周初（約公元前1066），就只有一和六這兩個數(shù)字了。

學(xué)者認為：用數(shù)字表示占卜的結(jié)果，數(shù)“一”表示奇數(shù)，讀數(shù)九的音；數(shù)“六”仍讀六，表示偶數(shù)。由于古代六字的符號是“∧”，這樣數(shù)“一”與“∧”就具有爻的形象了。以后“∧”字形逐漸變平，最后一分為二，成為陰爻“－－”的表示形式。

2.1.1從數(shù)(表)演進為爻四盤磨卜骨上的字符

太極八卦圖2.1.2《周易》揲法——大衍演算

《周易》中占筮確定取爻的方法稱為“揲法”，所謂“一十八變得一卦”。朱熹（1130~1200）對揲法的解說如下：

（1）蓍策總數(shù)是50根，去其一（象征太一，即太極），實際用于占算的是49根；（2）把它們?nèi)我夥殖蓛刹糠郑ㄏ笳魈斓亍皟蓛x”），從第一部分里取出一根不參與計算，（叫“掛一”，配上“兩儀”，象征天地人“三才”）；（3）對于第一部分的蓍策，每4根一組數(shù)出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四時）；（4）將所余的“奇數(shù)”（為1，2，3，4四數(shù)之一）根蓍策，夾在左手指間，（叫“歸奇于扐”，象征閏年）；（5）將第二部分蓍策也照（3）、（4）辦理。于是兩部分“歸奇”的蓍數(shù)非4即8，加上“掛一”的一根，共5或9根，完成了“第一變”。

將“歸奇”的蓍數(shù)（5或9根）不用，用余下44或40蓍參與第二變的計算，操作方法仿上述（2）~（5），此時“歸奇”的蓍數(shù)仍然是非4即8。第三變揲法仿第二變，用蓍32或36，或40根，三變后余下蓍策的根數(shù)或36，或32，或28，或24根，均為4的倍數(shù)。最后，將第三變的余蓍除以4則得九、八、七、六。并稱九為老陽，六為老陰，七為少陽，八為少陰。揲蓍的目的，就是為了取到這四個數(shù)中的一個。讓陽數(shù)對應(yīng)陰卦，陰數(shù)對應(yīng)陰卦，于是數(shù)字變成了爻象。從中國古代的占筮工具和方法中，不難發(fā)現(xiàn)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的歷史淵源

“數(shù)學(xué)”一詞相當于我國古代的“算術(shù)”

數(shù)學(xué)一詞，在中國最早出現(xiàn)在12世紀宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之源者，是數(shù)學(xué)”。

算籌中國古人稱數(shù)學(xué)為算學(xué)

2.1.3組合數(shù)學(xué)的思想——洛書與河圖宋代的九宮格明代的洛書河圖的解釋，在歷史上有多種說法。其中《尚書》中解釋說：“河圖，八卦；伏羲王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦，謂之河圖?！眻D中每個陽、陰爻分別代表數(shù)9與數(shù)6，其中數(shù)字的配置依照“九六”說，是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為45。它與洛書中1至9的數(shù)字之和相同

“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”

明代邵雍的易圖數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)儒家以“九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以《周易》象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托；墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨經(jīng)》的邏輯學(xué)為其論說的工具?？鬃樱ㄇ?51~前479）的“六藝”中的“周官九數(shù)”（方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要）是《九章算術(shù)》的雛形墨子（前468~前376）的抽象概念和邏輯知識：三個邏輯方法:“以名舉實，以辭抒意，以說出故。以類取，以類予”，具有比較明確的邏輯思維形式，非常類似演繹數(shù)學(xué)中的定義、定理和證明。對幾何中的幾何形狀、幾何性質(zhì)、空間關(guān)系提出了明確的定義。論述了推理（說）的各種形式?；菔s前370~前318）對無窮性質(zhì)的認識：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；“鏇矢之疾有不行不止之時”。

2.2先秦顯學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

公元1世紀至8世紀初，改變了先前只追求算法、不研究算理的學(xué)風(fēng)，開始給出概念的定義，進行推理論證，取得了許多世界領(lǐng)先的成果，同時涌現(xiàn)出一批杰出數(shù)學(xué)家

2.3.1劉徽與《九章算術(shù)注》西漢年間，中國有了專門的數(shù)學(xué)著作：《許商算術(shù)》、《杜忠算術(shù)》、《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》，其中前兩部著作早已失傳。

《算數(shù)書》，1984年從湖北張家山古墓中發(fā)掘出土的。據(jù)考證，算數(shù)書》是公元前206年－前179年的一部數(shù)學(xué)著作，它以實際應(yīng)用問題的形式編纂。2.3中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論的研究

《九章算術(shù)》是中國古代的一本傳世數(shù)學(xué)名著，一直作為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表作，現(xiàn)在傳世的是三國時代劉徽于263年完成的注釋本。劉徽布衣出身，生平不詳。從他的《九章算術(shù)注》自序中可以知道：他早年系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過《九章算術(shù)》，并以“注”的形式將其研究成果記載下來，完成了《九章算術(shù)注》。

《九章算術(shù)》成書的確切起始年代無法確定，只知在漢代就曾經(jīng)過北漢平侯張蒼（約前200年）和大司農(nóng)中丞耿壽昌（約前50年）的整理。第一章方田（分數(shù)四則運算和平面圖形求面積）第二章粟米（糧食交易的計算方法）第三章衰分（比例分配）第四章少廣（開平方與開立方）第五章商功（體積計算）第六章均輸（運輸中的均勻負擔）第七章盈不足（盈虧類問題計算）第八章方程（一次方程組解法與正負數(shù)）第九章勾股（勾股定理的應(yīng)用）全書的編排方法是：先舉出問題，再給出答案，通過對一類問題解法的考察，最后給出“術(shù)”。全書共有202個“術(shù)”。術(shù)，是一類問題的一般算法描述，它是研究中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成果的主要依據(jù)

《九章算術(shù)》是以應(yīng)用問題集的形式表述，一共收入246個問題?！毒耪滤阈g(shù)》把246個問題分為九章：

明代刊印的《九章算術(shù)注》

《九章算術(shù)》標志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識體系已初步形成。代表了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點：注重實際問題的數(shù)值計算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨有的計算工具和程序化計算方法《九章算術(shù)》的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來的。劉徽稱：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”。

《九章算術(shù)注》對數(shù)學(xué)方法的貢獻開始了其獨特的推理論證的嘗試。“析理以辭，解體用圖。”創(chuàng)立了“出入相補”的方法，提出了“割圓術(shù)”，上首次將極限概念用于近似計算；引入十進制小數(shù)的記法和負整數(shù)的知識；他試圖建立球體積公式，雖然沒有成功，但為后人提供了科學(xué)的方法；他對勾股測量問題的深入研究，在幾何研究中，從少數(shù)幾個原理出發(fā)，運用邏輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法。提出“審辨名分”，不但對自己提出的每一個新概念都給出界定《九章算術(shù)注》豐富了《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)成果，主要表現(xiàn)在算術(shù)、代數(shù)和幾何諸方面。諸如，割圓術(shù)與徽率“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！?/p>

設(shè)圓面積為S0、半徑為r、圓內(nèi)接正n邊形邊長為ln

、周長為Ln、面積為Sn

。將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形，其邊長、周長、面積分別記為l2n,L2n,S2n。劉徽首先指出，由ln

及勾股定理可求出l2n

其次知道了圓內(nèi)接正n邊形的周長Ln，又可求得正2n邊形的面積，如果在圓內(nèi)接n邊形的每邊上作一高為CD的矩形，就可以證明劉徽不等式：S2n<S0<S2n

+(S2n－Sn

).割圓術(shù)的基本原理

從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，取半徑r為1尺，一直計算到192邊形，得出圓周率的近似值π≈3.14，化成分數(shù)為157/50，這就是有名的“徽率”2.3.2祖率與祖暅原理祖沖之（429~500）與祖率據(jù)《隨書·律歷志》記載，祖沖之求得的π值的取值范圍為3.141592<π<3.1415927.（并稱為朒、盈數(shù)）如果利用劉徽的割圓術(shù)得到上述結(jié)果，需要從正六邊形起，連續(xù)的倍增正多邊形的邊數(shù)，至24576邊形

用水平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為π：4，于是由劉徽原理立即得到V球:V牟=π：4即

V球=（π/4）V牟。祖暅原理（冪勢既同，則積不容異）與球體積公式劉徽原理與“牟合方蓋”

“小方蓋差”與球體積公式左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設(shè)為a，UQ是球半徑r，UP是高h。根據(jù)勾股定理得a2=r2–h2;這正是截平面PQRS的面積

中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于r2－a2

=h2，

右圖，底邊為r，高也是r的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是h2

根據(jù)祖暅原理可知：小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。

內(nèi)插法：已知f(x)在xi∈[a,b]（i=1,2,…,n）的值為，那么通過及適當公式，計算y=f(x)在[a,b]內(nèi)其他一些點的函數(shù)值。如果xi+1－xi為定數(shù)，這時的內(nèi)插法稱為等間距內(nèi)插法；反之，稱為不等間距內(nèi)插法。

歷法編制中的內(nèi)插法最早求影長的一次內(nèi)插公式（約公元前2世紀）：

f(n)=f(a)+n△，其中，

f(n)是夏至之后的第ｎ個節(jié)氣的影長，f(a)=160分，f(b)=1350分分別是夏至、冬至的中午八尺桿子的影長，2.3.3內(nèi)插法與天文歷法《乾象歷》（206年），已發(fā)現(xiàn)了月亮不均勻運動及其規(guī)律。公元570年，北齊朝的天文學(xué)家張子信發(fā)現(xiàn)：自春分到秋分所需的時間要比秋分到春分的時間長，進而證明了太陽“視運動”的速度是不均勻的隋朝劉焯（544~610）的《皇極歷》提出了等間距二次內(nèi)插法公式：f(nl+s)=f(nl)++(△1－△2)－

(△1－△2)張遂(683~727)的《大衍歷》創(chuàng)造了不等間距二次內(nèi)插法公式：

f(t+s)=f(t)+s+s－其中，l1、l2分別為不同節(jié)氣的時間長度，張遂假定它們不相等

“算經(jīng)十書”記載的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成就《周髀算經(jīng)》（約公元前240年至公元前156年）與商高（陳子）定理“周髀”是測量日影的工具—八尺長竿全書由三部分組成：第一部分共264個字，記述了周公與大夫商高的問答記錄。提到：“勾廣三，股修四，徑隅五”。說明，周代初期人們已經(jīng)知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。第二部分是榮方與陳子的對話。對話中包含了勾股定理的一般陳述形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。”第三部分是講計算問題的，有“術(shù)”13條，書寫形式和內(nèi)容與《九章算術(shù)》基本一致。2.3.4明算學(xué)與“算經(jīng)十書”

隋唐時期的數(shù)學(xué)教育制度

—明算學(xué)

“孫子問題”：“今物不知其數(shù)，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，問物幾何？”孫子問題相當于求解一次同余式組

N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）這個問題源于歷法編算中的求上元積年問題

其解法寫作“孫子歌”：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。.

計算過程為：N=70×2+21×3+15×2－2×105.顯然，這里的70、21、15是求解的關(guān)鍵。其求法：

70=2×5×7≡1(mod3)≡0(mod5)≡0(mod7),21=3×7≡0(mod3)≡1(mod5)≡0(mod7),15=3×5≡0(mod3)≡0(mod5)≡1(mod7).由題設(shè)，用3、5、7分別除以N所得的余數(shù)為2、3、2，故用2、3、2分別去乘70、21和15，再相加即得

233≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）

求出這個同余組的最小整數(shù)解N=23，

《孫子算經(jīng)》（約公元4世紀）與“孫子問題”

《張邱建算經(jīng)》（約公元五世紀）與“百雞問題”

“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞百只。問雞翁、母、雛各幾何?！?/p>

給出三組答案：

（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）

《張邱建算經(jīng)》的應(yīng)用領(lǐng)域較《九章算術(shù)》有了新的發(fā)展，其主要數(shù)學(xué)成果包括求最小公倍數(shù)，等差數(shù)列及不定方程等內(nèi)容

《緝古算經(jīng)》（公元600多年）與“帶從開方法”

對當時的土木工程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題的研究和總結(jié)，在一些體積計算中隱含了求解三次方程的“帶從開方法”。雖然由于解法過程空缺，因而沒能清楚地呈現(xiàn)這一方法的具體操作過程和原理。該書在理論上的貢獻是陳述了籌算的運算方法，這在中國數(shù)學(xué)史上尚屬首次。2.4.1楊輝三角與增乘開方法

楊輝（約13世紀后期）在《詳解九章算法》中記載了北宋人賈憲的一張“開方作法本源圖”（1050）現(xiàn)今稱為楊輝三角的“賈憲三角”。在西方它被又稱為帕斯卡三角（1655年）2.4中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰（900年到1368年）

創(chuàng)造出許多具有世界

歷史意義的成就

數(shù)學(xué)家輩出

數(shù)學(xué)著作涌現(xiàn)

若A開平方的首商、次商分別為a,b,則有A=a2+B=a2+2ab+b2

則B=A－a2=2ab+b2=(2a+b)b

繼而用2a+b試除B,且若B－(2ab+b2)=0,則開方完成；否則再繼續(xù)試第三位商，……。這個方法用于籌算，就形成了增乘開方法，其過程簡述如下:

借助賈憲三角，給出一種開高次方的方法：增乘開方法

a

*

a

aab*bb商實法AAB=A－a2*

BBBB－b(2a+b)*a*a*2a*2a2a+b*2a+b

借算

1111111①②③④⑤⑥⑦將上圖轉(zhuǎn)換適當角度，就變?yōu)橘Z憲三角：左邊斜行由1組成，稱為“積數(shù)”，它們是借算；右斜行也都是1，稱為偶算，它們是a的各次冪的系數(shù)。賈憲利用賈憲三角得到了開高次方的一般方法

增乘開方法，是一個和高度機械化的和非常有效的算法，與現(xiàn)代通用的“霍納算法”（1819）已基本一致。增乘開方法，可適用于開任意高次方。但賈憲本人沒有認識到這一點。另外直到賈憲時，中國數(shù)學(xué)家們所處理的方程系數(shù)都是正數(shù)。12世紀北宋學(xué)者劉益首先突破了系數(shù)必須為正的限制，并且也不再像以往那樣要求首項系數(shù)為1。“大衍求一術(shù)”為求得滿足條件的乘率ki，秦九韶把奇數(shù)gi與定數(shù)ai輾轉(zhuǎn)相除，相繼得商數(shù)qi和余數(shù)ri，即

ai=q1gi

+r1,并可得到：c1=q1

gi=q2r1+r2,c2=q2c1+1

r1=q3r2+r3,c3=q3c2+c1…………

rn-2=qnrn-1+rn

秦九韶指出：當rn=1且n為偶數(shù)時，則最后所得cn

就是乘率ki；當rn=1，且n為奇數(shù)時，可將rn-1與rn相除后，形式上取qn+1=rn-1－1，那么余數(shù)rn+1仍為1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，這時n+1為偶數(shù)，則cn+1就是所求ki，總之，當輾轉(zhuǎn)相除得到余數(shù)1時，整個計算結(jié)束

2.4.2秦九韶與中國剩余定理

秦九韶（1202~1261）與《數(shù)書九章》

高次方程數(shù)值解法—“正負開方術(shù)”（開10次方的問題）

一次同余組解法—“大衍總數(shù)術(shù)”（“衍”同“演”）元代初期，開始用文字表示方程中的未知量，并形成了相應(yīng)的算法——天元術(shù)（李冶）與四元術(shù)（朱世杰）高階等差級數(shù)和公式沈括（約1031~1095）“隙積術(shù)”與二階等差數(shù)列求和公式

數(shù)列：22，32，42，52，62，（1）該數(shù)列相鄰項之差依次為

5，7，9，11，……（2）顯然（2）是一個公差為2的等差數(shù)列。今天（1）式被稱為一個二階等差數(shù)列

楊輝的“垛積術(shù)”與“三角垛公式”：1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…（1＋2＋3＋…＋n）

=n（n＋1）（n＋2）/62.4.3方程與級數(shù)的研究

廉數(shù)是斜行上數(shù)的和上一斜行各數(shù)之和，等于下行短線所指的一個數(shù)

左邊第二斜行為1，2，3，4，5，6，7，8，是公差為1一階等差數(shù)列，它的前n項和（“茭草垛”公式）左邊第三斜行為1，3，6，10，15，21，28，是二階等差數(shù)列，它的前n項和為（“三角垛”公式）

左邊第四斜行為1，4，10，20，34，56，是三階等差數(shù)列，它的前n項和為（“撤星形垛”公式）

朱世杰得到了p階等差數(shù)列求和的一般公式，

=朱世杰的一般高階等差級數(shù)公式及其應(yīng)用

賈憲三角與等差級數(shù)公式

“設(shè)日數(shù)為n，每日招兵數(shù)為(n+2)3,問第15日招兵多少？”解答中用到了四次內(nèi)插公式：f(n)=n△1+n(n－1)△2+n(n－1)(n－2)△3

+n(n－1)(n－2)(n－3)△4

其中f(n)表示第n日總共的招兵數(shù)，且其“四次差”分別為△1=27，△2=37，△3=24，△4=6。恰好是“古法七乘方圖”中的各級數(shù)之和。朱世杰的發(fā)現(xiàn)表明，借助于高階等差級數(shù)的研究結(jié)果，完全可以寫出任意高次的招差公式。在歐洲，1670年英國天文學(xué)家格烈高里最先對招差法作了說明，牛頓在1676—1678年的著作中才出現(xiàn)了招差法的一般公式，比朱世杰等人的研究成果晚了近四百年。

招差術(shù)與等差級數(shù)和的關(guān)系

2.5.1算法化特征“算術(shù)”與算法化成果算籌為中國數(shù)學(xué)發(fā)展提供了了技術(shù)工具，使中國在世界上最早采用了十進位值制記數(shù)法；使計算程序化和自動化

長期堅持走算法化的發(fā)展道路，限制了數(shù)學(xué)方法的流傳和改進。影響了邏輯體系的發(fā)展，很難達到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展水平2.5.2實用性思想數(shù)學(xué)著作都以社會生產(chǎn)和生活實踐中的問題為綱，這些問題基本按社會、生活領(lǐng)域進行分類，過分重實用，不利于抽象概念和命題的形成

2.5.3政府控制的特征中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)始終置于政府控制之下，直接受制于統(tǒng)治階級的意識形態(tài)和社會的需求

2.5中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點較早的形成國家數(shù)學(xué)教育體制明代封建統(tǒng)治者的政策不利于數(shù)學(xué)發(fā)展2.5.4連續(xù)性特征主要表現(xiàn)在以下幾個方面：歷代數(shù)學(xué)典籍體例的一致性數(shù)學(xué)的各分支發(fā)展的繼承性計算工具使用的一貫性

不受外來數(shù)學(xué)文化的影響

英國現(xiàn)代著名學(xué)者李約瑟這樣評述外域文化對中國的影響：“中國和它的西方鄰國以及南方鄰國之間的交往和反映，要比一向所認為的多得多，盡管如此，中國思想和文化模式的基本格調(diào)，卻保持著明顯的、從未間斷的自發(fā)性。這是中國‘與世隔絕’的真正涵義。過去，中國和外界是有接觸的，但是，這種接觸從來沒有多到足以影響它所特有文化以及科學(xué)的格調(diào)?！钡谌聰?shù)與數(shù)系的發(fā)展主要內(nèi)容原始人類的數(shù)感（NumberSence）數(shù)的抽象概念與數(shù)的符號數(shù)域擴張（簡稱“擴域”）形成五大數(shù)系公理化的方法創(chuàng)造超復(fù)數(shù)四元數(shù)一一對應(yīng)的計數(shù)方法超限數(shù)的連續(xù)假設(shè)3.1數(shù)的起源

“數(shù)和形的概念不是從其它任何地方，而是從現(xiàn)實世界中得來的?！睂?shù)的起源的進程歸結(jié)為：依賴于本能感覺，形成一一對應(yīng)的計數(shù)方法，建立集合的等價關(guān)系并給出其一個標準（或代表集合）規(guī)定符號。3.1.1數(shù)感

數(shù)感，即感知事物多少的心理能力。原始人類較早的“有”與“無”、“多”與“少”的認識某些鳥類和黃蜂具有數(shù)感，例如，烏鴉的數(shù)感3.1.2一一對應(yīng)計數(shù)法與進位制

一一對應(yīng)的計數(shù)方法例如，是用手指計數(shù)物體的個數(shù)荷馬（約公元前9~8世紀）的詩史中，獨眼巨人波呂斐摩斯用石子計數(shù)羊只澳洲土著人用身體的各部分來對應(yīng)自然數(shù)一一對應(yīng)的計數(shù)方法很容易形成自然數(shù)的概念,它是數(shù)概念發(fā)展的重要途徑。進位制當計數(shù)較多的實物時，人類學(xué)會了一次用更大的單位計數(shù)的方法。如，五進制：一五，一十，十五，二十，……

十進制，這時從1到10的十個數(shù)都有自己的特殊名稱，而從11開始，就用10的進位表示了。在英語中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，……；twenty意指“兩個10”，而hundred則指“10個10”。古代巴比倫人的六十進位制瑪雅數(shù)系中的二十進位制計算機技術(shù)中的二進位制進位制的轉(zhuǎn)化例如，四進制數(shù)（3021）4轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的方法為：（3021）4=3·43+0·42+1·4+2=1983.1.3度量的數(shù)

使用具有確定標準的容器、長度（稱為單位）等去度量，度量出的次數(shù)之大小就產(chǎn)生量的概念。人類的度量活動是產(chǎn)生數(shù)概念的途徑之一。度量數(shù)可以發(fā)展非整數(shù)性的小數(shù)和分數(shù)的概念如，畢德哥拉斯學(xué)派從音調(diào)的不同高度中抽象出數(shù)的理念，在古代中國的“黃鐘起度”的傳說圖3.1是西漢末年王莽律嘉量斛的結(jié)構(gòu)示意圖；中間大的圓柱為斛量，中間底部圓柱形為斗，左右兩邊各有一耳，都呈圓柱形，左耳為升量，右耳上為合量、下為龠量。3.1.4抽象的數(shù)數(shù)與被計算的東西分離開來了，出現(xiàn)了1，2，3，…這些無名數(shù)，無名數(shù)的出現(xiàn)標志著抽象的數(shù)概念的產(chǎn)生，懷特海（1861~1947）：“首先注意到七條魚和七天的共同點的人畢竟使思想史前進了一大步。他是第一個具有純數(shù)學(xué)觀念的人”。教育的啟示學(xué)會1、2、3，…的概念，并不意味著就可以脫離具體事物進行抽象的數(shù)的思維。相反，當人們接觸到數(shù)的符號或名稱時，仍然與那些需要計算對象的某些具體表象聯(lián)系在一起。3.1.5神秘的數(shù)神秘數(shù)廣泛存在于古代人類社會，數(shù)字在這里不表示什么同類的序列，也不用于最簡單的數(shù)學(xué)運算，而是利用數(shù)本身的神秘性來預(yù)卜事物的未來。數(shù)被想象成具有神秘屬性的代表物，它便通過宗教、神話來影響人類的生活。原始人類對自然的認識是有限的，往往借助數(shù)——這個思維的抽象物，來解釋世界上無法理解或控制的各種現(xiàn)象。于是神秘數(shù)就被不斷用于卜筮、祈禱或其它宗教活動之中。甚至成為治國的工具。如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，籌有《九疇》”的治國方針。夏王朝將天分為“九天”；地為“九州”，并將州的官員稱為“牧”。九州牧貢銅，鑄造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己為九州之主。春秋時期，用于籌算的“九九”表在中國也普遍使用。這或許可以看出，神秘數(shù)與運算中的數(shù)在歷史發(fā)展中的先后順序。3.2數(shù)的表示方法3.2.1結(jié)繩與書契結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖3.2臺灣高山族的結(jié)繩（現(xiàn)藏中央民族大學(xué)）中國古籍上記有伏羲“結(jié)繩而治”。

結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖3.3日本琉球群島的結(jié)繩“書契”，就是刻劃。“書”是劃痕，“契”是刻痕如，在青海，1974年至1978年出土一批帶刻口的骨片，是新石器時代末期用于記事、記數(shù)的實物。3.2.2文字記數(shù)

新石器時代中晚期的遺址（西安半坡、山東城子崖等都出現(xiàn)了數(shù)字符號。如，在西安半坡人的遺址（距今約5000~6000年）中，發(fā)現(xiàn)陶器上刻的符號中有數(shù)字符號：“”（五）、“”（六）、“”（七）、“”（八）、“”（十）、“”（二十）

商代的甲骨文“金文”（“鐘鼎文”或“彝銘”）的十進制。個、十、百、千、萬五個十進制的數(shù)字（盡管表達形式尚不統(tǒng)一）都能準確無誤的給以表達。商代對于數(shù)字的表述尚未形成位值制，但在沿襲前人數(shù)字符號表示法的基礎(chǔ)上，又創(chuàng)造了百、千、萬等數(shù)字名稱。表示數(shù)的符號在人類歷史上經(jīng)歷了漫長的演變過程，一直到1522年所謂阿拉伯數(shù)碼（叫印度數(shù)碼更確切些）才被世界各國所接受。中國到1892年才開始采用阿拉伯數(shù)碼，但數(shù)的寫法還是豎寫，直到20世紀才采用現(xiàn)代寫法。3.2.3位值制記數(shù)法十進制的位值記數(shù)法，它不僅采用十進制，而且在不同位置上的數(shù)碼，表示這個數(shù)碼與10的某個冪次的乘積。即用位置來表示數(shù)。中國古代的籌算中的位值制記數(shù)法?；I式的數(shù)碼有縱、橫兩種形式：

123456789縱式橫式籌式數(shù)字擺放的方法規(guī)定：個位、百位、萬位以上的數(shù)用縱式，十位、千位、十萬位上的數(shù)用橫式，縱橫相間，以免發(fā)生誤會；又規(guī)定用空位來表示零。例如197和1907的籌式分別表示為和不完全的定位制――“累加制”，它是同一單位用同一符號累加，達到較高單位時才換一個新符號。如羅馬數(shù)字采用五進累加制，它用大寫拉丁字母表示數(shù)的單位：I（1）,V（5）,X（10）,L（50）,C（100）,D（500）,M（1000）。在表示其它數(shù)時，大單位在左，小單位在右，表示累加，如VⅡ(7);若大單位在右、小單位在左，表示減法，如IV(4)。巴比倫人發(fā)展了應(yīng)用定位不完全的60進位制的數(shù)系一方面，60以上的數(shù)目依定位原則寫出；另一方面，60以內(nèi)的數(shù)則按照以十進制的簡單分群數(shù)系寫出，如524,551=2×603+25×602+42×60+31=其中分別代表1和10。

埃及象形文字數(shù)系是以10進位制為基礎(chǔ)的。用來表示1和10的頭幾次方的稱號是：任何數(shù)現(xiàn)在都可以用這些符號相加的方法給以表示了，其中每一個符號重復(fù)必要的次數(shù)。于是，13015=1×104+3×103+1×10+5=另外，埃及人比較習(xí)慣于從右往左寫，而我們寫這個數(shù)，還是從左往右。古代瑪雅人的數(shù)系是16世紀在墨西哥發(fā)現(xiàn)的。研究認為，法定的瑪雅年是360天，因此其數(shù)系本質(zhì)上是二十進制。但從第二次數(shù)群的冪次不是202，而是18×20，對于更高次的數(shù)群亦采用18×20n的形式。如：

43，480=6×18×202+0×18×20+14×20。當然，古代瑪雅人沒有計算符號，其數(shù)字是由表示6、0、14的符號自上而下排列的。3.2.4干支記數(shù)法干支記數(shù)法是一種特有的60進制的記數(shù)方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥六十甲子

干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥圖3.4甲骨文中的干支表拓片如圖3.4。這些干支表盡管都有些殘損，但從排列上看，全是由上到下豎行排列，而且都是甲起頭，10對一行，排列整齊，說明商代人已有了序數(shù)的概念。

甲骨文中的干支表中國早在商代就使用干支紀日法。干支紀年，始于東漢初年如，殷商的帝王們也大多用其出生的那一天的干支名來命名。據(jù)考證，中國古代自春秋時期魯隱公三年（公元前720年）二月己巳日（這天發(fā)生一次全日食）起，就開始連續(xù)使用干支紀日，直至清末，2600年從未間斷，這是世界上使用時間最長的紀日法。干支紀年，我們今天仍用在農(nóng)歷紀年上，近代史上許多重大事件，也常以該事件發(fā)生的干支年號來命名，如“辛亥革命”、“甲午戰(zhàn)爭”、“辛丑條約”、“庚子賠款”等。3.3數(shù)系在計算中發(fā)展3.3.1負數(shù)在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，較早形成負數(shù)和相關(guān)運算法則。

《九章算術(shù)》方程章中提出了負數(shù)的概念以及它們的運算法則：“異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之”。在古代演算使用算籌進行的。為了區(qū)分正負數(shù)，劉徽在注文中說“正算赤，負算黑，否則以斜正為異。”如表示+6，表示—6。西方數(shù)學(xué)家更多地是研究負數(shù)存在的合理性如，16、17世紀的帕斯卡認為從0減去4是純粹的胡說帕斯卡的朋友阿潤德提出一種有趣的說法來反對負數(shù)，他說如果(－1)：1=1：(－1)，那么較小數(shù)與較大數(shù)的比怎么等于較大數(shù)與較小數(shù)的比呢？英國數(shù)學(xué)家瓦里士認為負數(shù)小于零而大于無窮大（1655）。他對此解釋道：因為時，。而負數(shù)故。英國著名代數(shù)學(xué)家德·摩根在1831年仍認為負數(shù)是虛構(gòu)的。他用以下的例子說明這一點：“父親56歲，其子29歲。問何時父親的年齡將是兒子的2倍？”他列方程56+x=2（29+x），開解得x=－2。他稱此解是荒唐的。當然，歐洲在18世紀排斥負數(shù)的人已經(jīng)不多了。隨著19世紀整數(shù)的理論基礎(chǔ)的建立，負數(shù)在邏輯上的合理性才真正確立。3.3.2無理數(shù)公元前5世紀，圖3.5黃金比的幾何作圖法(一)畢德哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示的事實圖3.6黃金比的幾何作圖法(二)在古希臘幾何學(xué)家試圖作正五邊形時,就曾遇到過一個有趣的無理數(shù)。為了作正五邊形，只要能作出360的角即可，因為這個角的二倍（即720的角）是圓內(nèi)接正五邊形一邊所對的圓心角。于是問題轉(zhuǎn)化為作頂角為360的等腰三角形。為此，如圖3.5中，設(shè)AC平分底角OAB。這時，OC=AC=AB，且△BAC與△AOB相似。取OA=1，設(shè)AB=x，于是有AB/BC=OA/AB，x/（1－x）=1/x，即x2+x－1=0。由此得到x=（－1）/2。運用古希臘尺規(guī)作圖的方法，不難作出這樣的x：如圖3.6所示，其中OA=1，MO=1/2，因而AM=/2，以及AB=AN=AM－MN=（－1）/2=x。這里的無理數(shù)x被稱為“黃金比”（有的資料上把它的倒數(shù)（+1）/2≈1.618稱為“黃金比”），它在自然界中，以及在科學(xué)和藝術(shù)中，處處都會出現(xiàn)。它是早期被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)之一。第一次數(shù)學(xué)危機與古希臘數(shù)學(xué)家歐道克索斯的“量”理論無理數(shù)最早出現(xiàn)在中國《九章算術(shù)》中時，絲毫沒有引起人們的異議?！毒耪滤阈g(shù)》的開方術(shù)中說：“若開不盡者，為不可開，當以面命之?！庇欣頂?shù)和無理數(shù)的小數(shù)表達式任何有理數(shù)都具有一個有限的或循環(huán)的小數(shù)表達式，反之，任何有限的或循環(huán)的小數(shù)表達式都表示一個有理數(shù)。而無理數(shù)的小數(shù)表達式是無限不循環(huán)的；反之，任何無限不循環(huán)小數(shù)表達式都表示一個無理數(shù)。重要的性質(zhì)：在任何兩個不同的正無理數(shù)之間都存在一個有理數(shù)。事實上，如果a和b（o＜a＜b）表示兩個無理數(shù)，且它們的小數(shù)表達式為a=a0.a1a2…和b=b0。b1b2…，設(shè)i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一個n值。于是，c=b0。b1b2…bi就是a和b之間的一個有理數(shù)。3.3.3復(fù)數(shù)虛數(shù)是負數(shù)開平方的產(chǎn)物，它是在代數(shù)方程求解過程中逐步為人們所發(fā)現(xiàn)的公元三世紀的丟番圖只接受正有理根而忽略所有其它根，當方程兩個負根或虛根時，他就稱它是不可解的。十二世紀印度的婆什伽羅指出：“負數(shù)沒有平方根，因為負數(shù)不可能是平方數(shù)”卡當（1545）解方程得到根和。這使卡當迷惑不解，并稱負數(shù)的平方根是“虛構(gòu)的”、“超詭辯的力量”。

17世紀，盡管用公式法解方程時經(jīng)常產(chǎn)生虛數(shù)，但是對它的性質(zhì)，當時仍沒有認識。萊布尼茲說：“那個我們稱之為虛的－1的平方根，是圣靈在分析奇觀中的超凡顯示，是介于存在與不存在之間的兩棲物，是理想世界的瑞兆?！庇脦缀蔚闹庇^來認識復(fù)數(shù)英國數(shù)學(xué)家瓦里士（1685）用幾何直觀表示實數(shù)系二次方程復(fù)根的方法：畫一條數(shù)軸，將根的實部在數(shù)軸上表示為一點，在此點處做一線段垂直于數(shù)軸，其長度等于的系數(shù)，即表示根的虛部。丹麥數(shù)學(xué)家韋塞爾（1788年）做了改進：在已有數(shù)軸上，做與之垂直的虛軸，并以為單位，這樣就建立了復(fù)平面，對于每個復(fù)數(shù)a+bi，都對應(yīng)著一個由坐標原點出發(fā)的向量。韋塞爾用幾何方法的向量運算規(guī)定了復(fù)數(shù)的四則運算，這些定義在現(xiàn)今的教材中也仍保留著。高斯在（1811年）提出a+bi可用點（a,b）表示，并于1831年闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。同時他指出，在這個幾何表示中人們可以看到復(fù)數(shù)的直觀意義已完全建立起來。復(fù)數(shù)的幾何表示促使人們改變了對虛數(shù)的神秘印象，成為直觀上可以接受的數(shù)學(xué)對象。復(fù)數(shù)的公理化定義

1837年英國數(shù)學(xué)家哈密頓指出，復(fù)數(shù)a+bi實數(shù)的有序偶（a,b），i在復(fù)平面上可表示為（0，1），用有序偶給出四則運算的定義，在這種定義下，通常的結(jié)合律、交換律及分配律，都能用實數(shù)的有序偶推導(dǎo)出來3.3.4四元數(shù)利用“域擴張”的方法，尋找新的數(shù)域――超復(fù)數(shù)域。哈密頓的嘗試――從三元數(shù)到四元數(shù)“模法則”：兩個數(shù)(a+bi+cj)、（x+yi

+zj）相乘得到一個新數(shù)，它所對應(yīng)的（三維空間）向量的長，恰好是原先兩數(shù)所對應(yīng)的向量的長的積。即對于(a2+b2+c2)與(x2+y2+z2)，是否可以找到(u,v,w),使得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=u2+v2+w2。此前，勒讓德就舉例說明模法則在三元數(shù)域中不可能成立：3=1+1+1及21=16+4+1都可以表示為三個平方數(shù)的和，可是3×21=63卻不能表示為三個平方數(shù)的和。理由是：凡是形如8n+7的整數(shù)都不能表示為三個平方數(shù)的和。布爾罕橋上的頓悟——i2=j2=k2=ijk=－1。

哈密頓經(jīng)歷了十五年鍥而不舍的努力，終于使一個新的超復(fù)數(shù)域誕生了。這種四元數(shù)也像實數(shù)和復(fù)數(shù)那樣可以施行加、減、乘、除的運算，但是卻不能滿足乘法交換律。正如我們已經(jīng)看到的，ij≠ji。超復(fù)數(shù)域的發(fā)展

“八元數(shù)”，這是一種包含四元數(shù)的新數(shù)，不能滿足乘法結(jié)合律。利用公理化方法構(gòu)造數(shù)系“2n元數(shù)”，并且證明了：

n=4且滿足“模法則”的數(shù)是不存在的（1848年）能保持普通代數(shù)所有基本性質(zhì)不變，而比復(fù)數(shù)域更大的數(shù)系是不具備這些基本性質(zhì)的。（維爾斯特拉斯，1861年）能滿足除乘法交換律之外的一切代數(shù)基本性質(zhì)的超復(fù)數(shù)域，只有四元數(shù)一種（弗羅賓紐斯，1878年）能施行加、減、乘、除的數(shù)系只有四種，他們分別是一維的實數(shù)域、二維的復(fù)數(shù)域、四維的四元數(shù)域及八維的八元數(shù)域（1958年）3.4數(shù)系的公理化復(fù)數(shù)、微積分、幾何學(xué)的理論的邏輯基礎(chǔ)都建立在實數(shù)系上。人們用公理化方法建立實數(shù)的邏輯基礎(chǔ)，即實數(shù)系自身的嚴密化——“分析的算術(shù)化”過程。在三個方面取得了進展：（1）運用公理化的方法，使實數(shù)建立在自然數(shù)系的基礎(chǔ)之上；（2）康托的基數(shù)序數(shù)理論，將自然數(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)之上；（3）邏輯學(xué)家力圖從邏輯命題演算的基礎(chǔ)上導(dǎo)出集合論，將數(shù)學(xué)建立在純邏輯的基礎(chǔ)之上。這種方法尚未取得完美的結(jié)果。3.4.1戴德金分割無理數(shù)的邏輯定義（戴德金1872年）：將有理數(shù)集合劃分成兩個非空集合A和，使得A中的任意的數(shù)都小于中的任一數(shù)。A和的分割記為。這樣的分割可能產(chǎn)生三種情況，（1）在A中沒有最大的數(shù)，而中有最小的數(shù)r；（2）在A中有最大的數(shù)r，而在中沒有最小的數(shù)；（3）在A中沒有最大的數(shù)，在中也沒有最小的數(shù)。在前面兩種情況中，分割產(chǎn)生有理數(shù)，或者說分割界定了有理數(shù)。在第三種情況中，界數(shù)不存在，分割不能界定任何有理數(shù)。這時規(guī)定：任何屬于第三種情況的分割就界定了一個無理數(shù)。3.4.2自然數(shù)公理“皮亞諾公理”：（1）1是一個自然數(shù)。（2）每一個確定的自然數(shù)a，都有一個確定的后繼數(shù)，而也是一個自然數(shù)。（3）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)，即1≠。（4）一個數(shù)只能是某一個數(shù)的后繼數(shù)，或者根本不是后繼數(shù)，即由=，一定能推得a=b。（5）任何一個自然數(shù)的集合，如果包含1，并且假設(shè)包含a，也一定包含a的后繼數(shù)，那么這個集合就包含所有的自然數(shù)?！系蹌?chuàng)造自然數(shù)；其余一切都是人為的。’（克羅內(nèi)克）3.5超限基數(shù)無限是整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。無限是許多怪事和悖論棲身之處如，芝諾悖論，表述第五公設(shè)的表述，無窮小量（第二次數(shù)學(xué)危機）希爾伯特說：“自古以來，沒有別的問題象無限這樣深深地激動過人的情緒，沒有別的想法象它這樣富有成效地?zé)òl(fā)過人的精神。同時，沒有別的概念象它這樣迫切需要澄清?！?.5.1一一對應(yīng)方法與可列集定義：如果能根據(jù)某一法則使集合M與集合N中的元素建立一一對應(yīng)，那么M與N等價（按現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的語言：稱M與N“等勢”或具有“相同基數(shù)”）。例如，偶數(shù)集E與自然數(shù)集N、整數(shù)集Z與自然數(shù)集N的一一對應(yīng)可以定義為：當n∈N，有E中元2n與之對應(yīng)；當n∈N，有Z中與之對應(yīng)。定義：能與自然數(shù)集N構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系的集合，就稱為可列集或可數(shù)集。記為。如，。證明有理數(shù)集Q也是可列集（采用對角線的對應(yīng)方法）

定理：如果有可數(shù)個可列集A1,A2,A3,…，則它們的并集仍舊是可列集。事實上，不妨假定對于任何i、j，Ai和Aj沒有共同元素。我們現(xiàn)在對A1,A2,A3,…的元素編號如下：A1：a11①，a12②，a13④，a14⑦，…A2：a21③，a22⑤，a23⑧…A3：a31⑥，a32⑨…A4：a41⑩，………對于固定k,Ak的元素形如：ak1,ak2,ak3,…。我們定義一一對應(yīng)F：{1，2，3，…}其中F(1)=a11,F(2)=a12,F(3)=a21,F(4)

=a13,F(5)=a22,F(6)=a31,F(7)=a14,…,

從上圖可以直觀看出這個映射是一一對應(yīng)。因此，仍舊是可數(shù)集。

由以上的性質(zhì)可以知道Q一定是可數(shù)集。定義：有限集合不能通過一一對應(yīng)映射到自己的真子集合上，而無窮集合卻可以通過一一對應(yīng)映射到自己的真子集合上。例如上面講到的，整數(shù)集合可以映入偶數(shù)集合。而偶數(shù)集合顯然是整數(shù)集合的真子集合。3.5.2實數(shù)集R是不可列的證明（0，1）是不可列的。將（0，1）上的實數(shù)用小數(shù)表示，若它們是可列的，

a1=0.a11a12a13…，a2=0.a21a22a23…，ak=0.ak1ak2…。選實數(shù)Z=0.b1b2…，定義bk

=由于至少對于第k位，bk≠akk，則Z≠ak

(k∈N)。所以(0,1)是不可列的。于是，康托把（0，1）區(qū)間作為一個新的、更大超限基數(shù)的標準，其基數(shù)用C（英文“連續(xù)統(tǒng)”一詞第一個字母）表示。

R與（0，1）的一一對應(yīng)關(guān)系可表示為yx∈(0,1)

所以R與（0，1）的基數(shù)均為C，證明，無理數(shù)集合也是不可列集。事實上，R是由實數(shù)集與無理數(shù)集的并集構(gòu)成的。如果無理數(shù)集是可列集，那么由上節(jié)康托定理可得，R是可列的。這顯然矛盾。3.5.3超限基數(shù)比大小定義若集合A與B的某一子集間存在一一對應(yīng)關(guān)系，則。設(shè)，若A與B間無一一對應(yīng)關(guān)系，則定理：若且則。奇異的命題如，二維平面上點的個數(shù)與一維直線上點的個數(shù)一樣多平面上全部點，以及三維立方體中的點，都只有基數(shù)C3.6發(fā)展數(shù)感“發(fā)展數(shù)感”的課程目標。在《標準》中對數(shù)感的學(xué)習(xí)的目標規(guī)定為：“理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體情景中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當?shù)乃惴?；能估計運算結(jié)果；并對結(jié)果的合理性做出解釋?！庇《冉鷶?shù)學(xué)家拉馬努金（1887—1920）具有對數(shù)字敏銳的洞察能力

1729是能用兩種方法表示成兩個整數(shù)立方和的最小整數(shù)。它等于13+123和93+103。把數(shù)感與數(shù)量關(guān)系的理解與運用結(jié)合起來，培養(yǎng)符號感和初步的數(shù)學(xué)建模的能力，逐步使學(xué)生形成抽象的數(shù)及數(shù)量關(guān)系的認識。第四章方程求解與代數(shù)符號化方程求解問題的研究是代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的重要源泉。代數(shù)學(xué)的基本方法：用符號表示研究對象以及這些對象間的關(guān)系。代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，就是代數(shù)學(xué)符號化的歷史：文字表示、縮記代數(shù)、符號代數(shù)學(xué)4.1早期的方程求解方法4.1.1配方法與數(shù)表法古巴比倫的第13901號泥版，記述了這樣一個問題：“把正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得35/60①，求該正方形的邊長?！眻D4.1普林頓322號泥版這個問題相當于求解方程x2+（2/3）x=35/60。古巴比倫人的解法則相當于將方程x2+px

=q的系數(shù)代入公式古巴比倫人還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法，這些解法則記錄在一些數(shù)表上。圖4。1普林頓第322號泥版——勾股數(shù)表4.1.2《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”

《九章算術(shù)》中的“方程章”，是世界上最早的系統(tǒng)研究代數(shù)方程的專門論著。它在世界數(shù)學(xué)歷史上，最早創(chuàng)立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種求解方法。

《九章算術(shù)》把這些線性方程組的解法稱為“方程術(shù)”，其實質(zhì)相當于現(xiàn)今的矩陣變形方法。方程術(shù)是通過對方程的系數(shù)矩陣實施遍乘、直除的變換（即連續(xù)相減）實現(xiàn)減元、獲取方程解的過程。在“方程章”問題的解法中還可以發(fā)現(xiàn)下述方程變形的性質(zhì)：如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一個不等于零的數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。

劉徽：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程。”法。4.1.3開方法解方程中國古代把解二次方程x2+bx=c的方法稱作“帶從開方”；把解三次方程x3+

bx2+cx=d的方法稱作“帶從開立方”。北宋數(shù)學(xué)家劉益（公元11~12世紀人）使用“增乘開方法”求解一元高次方程。如，使用“增乘開方法”解－x2+60x=864.列三行橫式－160864補零（前移一位，－100600864（2說明商為二位數(shù)），首商得2，增乘一次－200－800—10040064

－200再增乘一次，－10020064去零（后移一位），－12064（4次商得4，增乘一次

4_－64

－1160恰好減盡。故得方程根x=24。4.1.4幾何方法解方程開平方口訣（“開平方不用慌，20倍前商加后商”）的幾何推導(dǎo)方法圖4.4面積法開平方由于面積55225值是一個萬位數(shù)，可以估計出它的邊長是個三位數(shù)，令其邊長是三位數(shù)。(100a+10b+c)2=55225.為此，先估計a=2，如圖4.4，于是在AB上截取AE=200,以A為一邊做正放形AEFG,從正方形ABCD中減去它，得“曲尺形”EBCDGF的面積：

55225—40000=15225。為估計b，用EF的2倍（定法）去試除這個余數(shù)，得b=3。在EB

上截取EH=30，以AH為一邊再作正方形AHIJ。從圖上可知：矩形FH的面積=矩形FJ的面積=30×EF=300×200.正方形的

FI的面積=302。因此，從正方形ABCD減去正方形AHIJ所余的更細的“曲尺形”的面積為15225—（2×30×200+302）=2325。最后估計個位數(shù)，用HI＝230的2倍去試除這個余數(shù)，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK為一邊做正方形AKLM，從正方形ABCD減去它，得2325—（2×5×230+52）=0。即K與B重合，AB之長恰好為235，此即所求的平方根：2352=55225。古希臘尺規(guī)作圖方法求解一次和二次方程一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例項：a∶b=1∶x，因而可以用尺規(guī)作圖的方法求得x圖4.5解方程x2－px+q2=0的幾何方法假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的兩個根，其中p和q是正整數(shù)，且q≤p/2（這后一個條件，保證r和s都為正數(shù)）。用幾何方法求解這個方程的根，就等價于由給定線段P和q求出線段r和s。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的韋達定理可知r+s=p，rs=q2。于是相應(yīng)的幾何方法可以是：作一個正方形，使它的面積等于給定的正方形，而它的相鄰兩邊的乘積等于給定的一個線段長。為此，可由圖4.5得到上述的