第4.1講指數(shù)新高一數(shù)學(xué)寶典（人教A版2019）

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第4.1講指數(shù)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，重點(diǎn)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2．掌握根式的性質(zhì)及根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，并能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．二、重點(diǎn)難點(diǎn)1、根式的化簡(jiǎn)與求值2、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值3、有關(guān)指數(shù)冪的條件求值三、核心知識(shí)n次方根、算術(shù)根、根式1．類比a的二次方根和三次方根的意義，如何定義a的n次方根？提示：給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a，如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn＝a.那么x稱為a的n次方根．2．類比二次方根、三次方根，猜想：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，一個(gè)實(shí)數(shù)的n次方根有幾個(gè)？當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)呢？提示：(1)當(dāng)a為正數(shù)：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n為奇數(shù)，a的n次方程有一個(gè)，為\r(n,a)，,n為偶數(shù)，a的n次方根有兩個(gè)，為±\r(n,a)；))(2)當(dāng)a為負(fù)數(shù)：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n為奇數(shù)，a的n次方根只有一個(gè)，為\r(n,a)，,n為偶數(shù)，a的n次方根不存在；))零的n次方根為零，記為eq\r(n,0)＝0.1．n次方根的表示(1)0的任意正整數(shù)次方根均為0，記為eq\r(n,0)＝0．(2)正數(shù)a的偶數(shù)次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的方根稱為a的n次算術(shù)根，記為eq\r(n,a)，負(fù)的方根記為－eq\r(n,a)；負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在，即當(dāng)a＜0且n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,a)沒(méi)有意義．(3)任意實(shí)數(shù)的奇數(shù)次方根都有且只有一個(gè)，記為eq\r(n,a)．而且正數(shù)的奇數(shù)次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．2．根式的性質(zhì)(1)(eq\r(n,a))n＝a．(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|．eq\a\vs4\al([拓展])(eq\r(n,a))n與eq\r(n,an)的意義的理解(1)對(duì)(eq\r(n,a))n的理解：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n對(duì)任意a∈R都有意義，且(eq\r(n,a))n＝a，當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．(2)對(duì)eq\r(n,an)的理解：對(duì)任意a∈R都有意義，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))如eq\r(3,（－3）3)＝－3，eq\r(（－3）2)＝|－3|＝3.有理數(shù)指數(shù)冪如果n∈N*，那么當(dāng)eq\r(n,a)有意義且a≠0時(shí)，eq\r(n,a)如何用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示？eq\r(5,63)如何表示？提示：eq\r(n,a)＝aeq\s\up6(\f(1,n))；eq\r(5,63)＝6eq\s\up6(\f(3,5)).1．如果m、n∈N*，且n＞1，且eq\f(m,n)是既約分?jǐn)?shù)，那么當(dāng)eq\r(n,a)有意義時(shí)，規(guī)定：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)．2．若s是正分?jǐn)?shù)，as有意義且a≠0時(shí)，規(guī)定a－s＝eq\f(1,as)．3．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則．a(chǎn)sat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs．實(shí)數(shù)指數(shù)冪無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是一個(gè)無(wú)理數(shù))有何意義？有怎樣的運(yùn)算性質(zhì)？提示：無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義，是用有理數(shù)指數(shù)冪的不足近似值和過(guò)剩近似值無(wú)限地逼近以確定大?。话銇?lái)說(shuō)，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是一個(gè)無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．1．當(dāng)a＞0且t是無(wú)理數(shù)時(shí)，at都是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．即當(dāng)a＞0，t為任意實(shí)數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)指數(shù)冪at都有意義．2．對(duì)任意實(shí)數(shù)s和t，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則仍然成立．三、核心例題題型1根式的化簡(jiǎn)與求值1．化簡(jiǎn)：（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A.2．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，，即，所以.故選：B3．下列各式中成立的一項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：C4．化簡(jiǎn)（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】解：，故選：D．5．已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，，，，，..又，，，.故選：D題型2根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值6．下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：D.7．下列式子的值為的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，，故選:D.8．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】故選：C.9．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】=======故選：B10．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算可得：，故選：.題型3有關(guān)指數(shù)冪的條件求值11．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故選：D.12．已知，則的值是（

）A．15 B．12 C．16 D．25【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，又由立方差公式，，故選：A．13．已知，則的值等于（

）A． B．6 C． D．8【答案】C【詳解】，則，，，則，故選：C.14．已知，求的值．【答案】【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，即，兩邊平方得，即，又因?yàn)?，可得，所?15．已知，且，求的值.【答案】2【詳解】因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，又因?yàn)?，所以，?當(dāng)堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，.故選：D.2．化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C3．計(jì)算，結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B4．的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：故選：D.5．計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】由題意可得，原式.故選：B6．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：由，故該項(xiàng)等號(hào)兩側(cè)不相等，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)的等量關(guān)系不成立，所以D錯(cuò)誤.故選：C.7．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：D.8．若，則的值是（

）A．2 B．0 C． D．1【答案】D【詳解】解：由，得，即，解得．∴．故選：D二、多選題9．下列說(shuō)法不正確的為（）A． B．若，則C． D．【答案】ACD【詳解】A中，n為偶數(shù)時(shí)，，故不一定成立，故A錯(cuò)誤；B中，，∴，故B正確；C中，顯然不成立，如當(dāng)時(shí)不成立，故C錯(cuò)誤；D中，左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，不相等，故錯(cuò)誤．故選：ACD10．已知，則下列式子的值為整數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】因?yàn)樗?故選：BD.三、填空題11．已知，，則（填數(shù)值）【答案】2【詳解】.故答案為：212．化簡(jiǎn).【答案】1【詳解】.故答案為：1四、計(jì)算題13．計(jì)算：；【詳解】14．（1）計(jì)算；（2）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值．【詳解】（1）原式；（2）因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，由基本不等式知．當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4．15．計(jì)算題(1)(2)先化簡(jiǎn)，再求值：其中【詳解】（1）；（2）原式.將代入得原式．五、應(yīng)用題16．有一種樹(shù)木栽植五年后可成材．在栽植后五年內(nèi)，年增加20%，如果不砍