關(guān)于古典概型問題的解法

關(guān)于古典概型問題的解法

1數(shù)字概型問題參考書中描述了“在0、1、2、3、……9到10個(gè)數(shù)字中，選擇四個(gè)不同的數(shù)字，并將這四個(gè)數(shù)字表示為四個(gè)導(dǎo)數(shù)的概率”?！边@道題是典型的古典概型問題,初看平平,沒有什么特殊之處,但仔細(xì)挖掘,卻發(fā)現(xiàn)這道題大有文章可作,對(duì)活躍學(xué)生的思維,特別是對(duì)學(xué)生的分類處理以及反向思維的訓(xùn)練大有裨益。下面就該問題逐步展開探討,以不同的順序、不同的分類,給出如下八種解法。2核心計(jì)算機(jī)關(guān)總排法t為方便計(jì)算,設(shè)表示事件:“這4個(gè)數(shù)字能排成一個(gè)四位偶數(shù)”,顯然這是一個(gè)古典概型問題,要求P(T),只需要求出樣本空間Ω中的基本事件數(shù)與事件T中的基本事件數(shù)即可。而樣本空間Ω中的基本事件數(shù)為A410410,為求P(T),下面重點(diǎn)尋求T中包含的基本事件數(shù)nT,使得Ρ(Τ)=nΤA410.P(T)=nTA410.方法1以末位為0還是非0分為兩大類,則nT=A3939+C1414·C1818·A2828第一類:末位為0,其它三個(gè)位置可由除0外的其它9個(gè)數(shù)字任取3個(gè)填充,能夠排成的四位數(shù)共有A3939個(gè);第二類:末位非0,即末位為2,4,6,8中的某一個(gè),排好末位后,為保證得到的排列能夠構(gòu)成一個(gè)四位數(shù),需緊接著排首位,可從除0及末位占用的8個(gè)數(shù)字中任取一個(gè),而剩余的中間兩個(gè)位置可由剩余的8個(gè)數(shù)字任選2個(gè)填充,故總排法共有C1414·C1818·A28。又上述兩類情況互不相容,從而nT=A3939+C1414·C1818·A2828方法2以所排成的四位數(shù)含0還是不含0分為兩大類,則nT=A3939+C1212·C1414·A2828+C1414·A3838該方法是依據(jù)所排成的四位數(shù)字中含0與不含0,將所排成的四位數(shù)分成兩大類。第一類:所排成的四位數(shù)字中不含0,其所有的排法無非是從除0外的9個(gè)數(shù)字中取4個(gè)來排。具體的排法是,從2,4,6,8中任取1個(gè)放到末位,其它3個(gè)位置可從剩余的8個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)填充,故總數(shù)為C1414·A3838;第二類:所排成的四位數(shù)字中含有0,這又可據(jù)末位為0還是非0,類似方法一,再進(jìn)一步分為兩小類。第一小類:末位為0,共有A3939中排法;第二小類:末位非0,共有C1212·C1414·A2828排法。其具體排法是,先從2,4,6,8中任取1個(gè)放到末位(C1414),再將0安排到中間兩個(gè)位置中的某一個(gè)中去(C12),最后對(duì)兩個(gè)空置的位置,從剩余的8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)填充(A2828)。方法3以首位是奇數(shù)還是偶數(shù)分為兩大類,則nT=C1414·C14·A15+C15·C15·A28第一大類:首位是奇數(shù),共有C15·C15·A28個(gè)。具體排法是,首先從5個(gè)奇數(shù)中任取1個(gè),放到首位;其次,從5個(gè)偶數(shù)中任取1個(gè)放到末位;最后將空置的兩個(gè)位置從剩余的8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)填充。第二大類:首先從2,4,6,8四個(gè)偶數(shù)中任取1個(gè)放到首位;其次,從剩余的4個(gè)偶數(shù)中(含0)任取1個(gè)放到末位;最后再將空置的兩個(gè)位置從剩余的8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)填充。方法4nT=C15·A39-C14·A28該方法依然滲透著“分類”思想,其處理思路是:首先保證排成的“四位排列”的末位是偶數(shù)(而不保證一定排成一個(gè)四位數(shù)),然后在從中將不構(gòu)成四位數(shù)的“四位排列”去掉。具體排法是:首先,從5個(gè)偶數(shù)中任取1個(gè)放到“四位排列”的末位,空置的3個(gè)位置從剩余的9個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)填充;其次,將前面得到的“四位排列”中不能構(gòu)成四位數(shù)的排法找出來,而不能構(gòu)成四位數(shù)的排法就是0在首位,故首先將0放在首位,再從剩下的4個(gè)偶數(shù)中任取1個(gè)放到末位,最后將空置的兩個(gè)位置從剩余的8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)填充。3“四位數(shù)”不構(gòu)成知識(shí)分區(qū)t方法5將對(duì)立事件劃分為兩大類:“四位排列”不構(gòu)成四位數(shù)與構(gòu)成四位奇數(shù),則nT=A410-[A39+C15·C18·A28]第一大類:“四位排列”不構(gòu)成四位數(shù),共有A39個(gè)。此時(shí),將0放在首位,空置的3個(gè)位置從剩余的9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)填充。第二大類:“四位排列”構(gòu)成四位奇數(shù),共有C15·C18·A28個(gè)。具體排法是:首先從5個(gè)奇數(shù)中任取1個(gè)放到末位;其次,從除0外的剩余的8個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)放到首位;最后將空置的2個(gè)位置從剩余的8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)填充。方法6將對(duì)立事件劃分為兩大類:“四位排列”不構(gòu)成四位數(shù)與構(gòu)成四位奇數(shù),則nT=A410-[A39+C14·C15·A28+C15·C14·A28]第一大類:“四位排列”不構(gòu)成四位數(shù),首位為0,共A39個(gè);第二大類:排成四位奇數(shù)。又可分為兩小類。第一小類,首偶末奇,共C14·C15·A28個(gè)。具體排法是從2,4,6,8中任取1個(gè)放到首位,再從5個(gè)奇數(shù)中任取1個(gè)放到末位,其它兩個(gè)位置隨便填。第二小類,首奇末奇,共C15·C14·A28個(gè)。具體排法是,從5個(gè)奇數(shù)中任取1個(gè)放到首位,再從剩余的4個(gè)奇數(shù)中任取1個(gè)放到末位,其它兩個(gè)位置隨便填。方法7將對(duì)立事件劃分為末位為奇與末位為偶的非數(shù)兩大,則nT=A410-[C15·A39+C14·A28].第一大類:末位為奇,共有C15·A39個(gè),其具體排法是,從5個(gè)奇數(shù)中任取1個(gè)放到末位,其它3個(gè)位置隨便排(注意,此時(shí)末位為奇首位為0的情形)。第二大類:末位為偶(的非四位數(shù),即首位為0),共有C14·A28個(gè),具體排法是,0放首位,從2,4,6,8中任取1個(gè)放到末位,其它兩個(gè)位置隨便填。方法8將方法七中的第一大類再分為兩小類,則nT=A410-[C15·C15·A28+C15·C14·A28+C14·A28].將方法七中的第一大類再分為兩小類,首偶末奇與首奇末奇。第一小類,首偶末奇,共C15·C15·A28個(gè),具體排法是,從5個(gè)偶數(shù)任取1個(gè)放到首位,再從5個(gè)奇數(shù)中任取1個(gè)放到末位,其它兩個(gè)位置隨便填。注意,此時(shí)首位為0的情形;第二小類,首奇末奇,共C15·C14