通信原理第2章

2.2.3平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質

對于平穩(wěn)隨機過程而言，它的自相關函數(shù)是特別重要的一個函數(shù)。原因如下:

其一，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過自相關函數(shù)來描述；

其二，自相關函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的頻譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。

因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質。設ξ(t)為實平穩(wěn)隨機過程，那么它的自相關函數(shù)為:

R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］

(2.2-8)那么具有如下性質:〔1〕R(0)=E［ξ2(t)］=S≥0［ξ(t)的平均功率］(2.2-9)1整理ppt

即:平穩(wěn)隨機過程的均方值就是自相關函數(shù)在τ=0時的非負值S。并且這個S代表了隨機過程的平均功率。〔2〕R(∞)=E2［ξ(t)］［ξ(t)的直流功率］(2.2-10〕

當τ→∞時，ξ(t)與ξ(t+τ)沒有依賴關系，即統(tǒng)計獨立，且認為ξ(t)中不含周期分量。

〔3〕R(τ)=R(-τ)［τ的偶函數(shù)］(2.2-11)〔4〕|R(τ)|≤R(0)(2.2-12)

即:自相關函數(shù)在τ=0時具有最大值?！?〕R(0)-R(∞)=σ2［方差，ξ(t)的交流功率］(2.2-13)

且當均值為0時，有R(0)=σ2?！?〕假設平穩(wěn)ξ(t)滿足ξ(t)=ξ(t+T)，那么稱其為周期平穩(wěn)隨機過程，其中T為過程的周期。并且其自相關函數(shù)R(τ)也為周期函數(shù)，并且周期也為T。2整理ppt〔7〕假設平穩(wěn)ξ(t)含有一個周期分量，那么其R(τ)也含有一個相同周期的周期分量。這里舉個例子說明：例1:設某接收機的輸入混合信號X(t)是隨機相位正弦信號S(t)和噪聲電壓N(t)的和，即：，并且是(0,2)上均勻分布的隨機變量。且N(t)為平穩(wěn)隨機過程，求X(t)的自相關函數(shù)。

解:既然N(t)為平穩(wěn)隨機過程，那么可以設其自相關函數(shù)為RN(τ)，那么X(t)的自相關函數(shù)為：其中：3整理ppt例2:平穩(wěn)隨機過程ξ(t)的自相關函數(shù)為：利用自相關函數(shù)的性質求ξ

(t)的均值與方差。解:根據(jù)性質2可得：R(∞)=E2［ξ(t)］=36那么有：E［ξ(t)］=±6再由性質1可得：R(0)=E［ξ2(t)］=40最后可由性質5得：R(0)-R(∞)=σ2=40-36=4因此求得，均值為36，方差為4。4整理ppt2.2.4平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度

隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。我們知道，隨機過程中的任一實現(xiàn)是一個確定的功率型信號。而對于任意確實定功率信號f(t)，它的功率譜密度為：式中，F(xiàn)T(ω)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)〔見圖2-2〕所對應的頻譜函數(shù)?！?.2-14〕圖2-2功率信號f(t)及其截短函數(shù)5整理ppt我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機過程ξ(t)中的任一實現(xiàn)，因而每一實現(xiàn)的功率譜密度也可用式〔2.2-14〕來表示。

但是由于ξ(t)是無窮多個實現(xiàn)的集合，哪一個實現(xiàn)出現(xiàn)是不能預知的，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。

這個時候可以把隨機過程的功率譜密度應看做是任一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均，即ξ(t)的平均功率S那么可表示成：〔2.2-15〕〔2.2-16〕6整理ppt

其傅里葉反變換為：雖然式〔2.2-15〕給出了平穩(wěn)隨機過程ξ(t)的功率譜密度Pξ(ω)，但我們很難直接用它來計算功率譜。那么，如何方便地求功率譜Pξ(ω)呢？

我們知道，確知的非周期功率信號的自相關函數(shù)與其頻譜密度函數(shù)是一對傅立葉變換關系。那么對于隨機過程，也有類似的關系，即：7整理ppt于是有：

因為R(0)表示隨機過程的平均功率，它應等于功率譜密度曲線下的面積。因此，Pξ(ω)必然是平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度Pξ(ω)與其自相關函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換關系,即〔2.2-17〕〔2.2-18〕8整理ppt

或

簡記為:

R(τ)Pξ(ω)關系式〔2.2-18〕稱為維納-辛欽定理，在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具。它是聯(lián)系隨機過程的頻域和時域兩種分析方法的根本關系式?！?.2-19〕9整理ppt2.2.5平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的性質功率譜密度是平穩(wěn)隨機過程在頻率域的重要統(tǒng)計參量,它具有以下重要性質:〔1〕功率譜密度是非負的，即：Pξ(ω)>0，可以根據(jù)其定義式：可以得到：，所以得到：Pξ(ω)>0〔2〕功率譜密度是ω的實函數(shù)，這里可以根據(jù)其定義式看出：是ω的實函數(shù)，所以Pξ(ω)必然為ω的實函數(shù)?！?〕對于實隨機過程來說，功率譜密度是ω的實函數(shù)，這里同樣可以根據(jù)定義式證明。10整理ppt因此有：Pξ(-ω)=Pξ(ω)并且，可定義單邊譜密度Pξ1(ω)為：0

Pξ1(ω)=〔4〕對于實隨機過程來說，功率譜密度可積，即：根據(jù)：可以說明功率譜密度函數(shù)曲線下的總面積〔即隨機過程的全部功率〕等于過程的均方值。由于平穩(wěn)隨機過程均方值是有限的，因此功率譜密度可積。11整理ppt例3：某隨機相位余弦波，其中A和ω0均為常數(shù)，是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機變量。求ξ(t)的自相關函數(shù)與功率譜密度。

解：(1)先考察ξ(t)是否廣義平穩(wěn)：12整理ppt可見ξ(t)的數(shù)學期望為常數(shù)，而自相關函數(shù)只與時間間隔τ有關，所以ξ(t)為廣義平穩(wěn)隨機過程。根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的相關函數(shù)與功率譜密度是一對傅里