復(fù)變函數(shù)映射

第三講復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)2021/5/911.復(fù)變函數(shù)的定義

2.映射的概念

3.反函數(shù)或逆映射§3復(fù)變函數(shù)2021/5/921.復(fù)變函數(shù)的定義—與實(shí)變函數(shù)定義相類似定義

2021/5/932021/5/94例1例22021/5/95oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數(shù)值集合2.映射的概念——復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w2021/5/96

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對(duì)變量u，v

與x，y

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）2021/5/97例3解—關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射見圖1-1~1-2—旋轉(zhuǎn)變換(映射)見圖2例4解2021/5/98oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o2021/5/99例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=42021/5/9103.反函數(shù)或逆映射例設(shè)z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.2021/5/911例已知映射w=z3

，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象。例2021/5/9121.函數(shù)的極限

2.運(yùn)算性質(zhì)

3.函數(shù)的連續(xù)性§4復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性2021/5/9131.函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0

的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的ε鄰域中2021/5/914

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是復(fù)數(shù).2.運(yùn)算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.2021/5/915定理2

以上定理用極限定義證!2021/5/916例1例2例32021/5/9173.函數(shù)的連續(xù)性定義定理32021/5/918例4證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozz2021/5/919

定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續(xù)函數(shù);

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。有界性：2021/5/920第二章解析函數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件第三節(jié)初等函數(shù)2021/5/9211.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義

2.解析函數(shù)的概念§2.1解析函數(shù)的概念2021/5/922

一.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。2021/5/923

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例12021/5/924(2)求導(dǎo)公式與法則①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c

=(a+ib)

=0.②(zn)

=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有----實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣2021/5/925③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)]

=f

(z)±g

(z)，

[f(z)g(z)]

=f

(z)g(z)+f(z)g

(z)2021/5/926④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g

(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=

(w)互為單值的反函數(shù)，且

(w)

0。思考題2021/5/927例3問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？例2解解2021/5/928例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。證明2021/5/929(1)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因?yàn)棣→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故。(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的,

但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。2021/5/930(3)可導(dǎo)與連續(xù)若w=f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)w=f(z)點(diǎn)z0處連續(xù).?2021/5/931二.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點(diǎn)z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點(diǎn)。

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo)。

(2)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析。2021/5/932例如(1)w=z2在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；

(3)w=zRez在整個(gè)復(fù)平