平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角

（1）a·b＝b·a．其中，a、b、c是任意三個向量，λ∈R

．?dāng)?shù)量積的運算律：（2）(λa)·b＝λ

(

a·b)＝a·

(λb)

．（3）(

a＋b)·c＝a·c＝b·c．OxyabAB

探究：已知兩個非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，如何用a

和b

的坐標(biāo)來表示a·b呢？請嘗試給以推導(dǎo)：iji·i＝1j·j＝1i·j＝j(luò)·i＝0如圖，i

是x軸方向的單位向量，j

為y軸方向的單位向量，

探究：已知兩個非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，如何用a

和b

的坐標(biāo)來表示a·b呢？請嘗試給以推導(dǎo)：OxyabABij兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．∵a=x1i＋y1j，b=x2i＋y2j，∴a·b=(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)=x1x2i2＋x1y2i·j＋

x2y1i·j＋y1

y2j2=x1x2＋y1

y2a·b

探究：已知兩個非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，如何用a

和b

的坐標(biāo)來表示a·b呢？請嘗試給以推導(dǎo)：OxyabABij=x1x2＋y1

y2a·b

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積的運算可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算．若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2，或|a|＝x2＋y2．√(1)向量的模(2)兩點間的距離公式設(shè)A＝(x1，y1

)，B＝(x2，y2

)，√則|AB|＝(x1－x2

)2

＋(y1－y2

)2

．

a·a＝|a|2，或|a|＝a·a

．√(3)兩向量垂直(4)兩向量平行a⊥b

a·b

＝0x1x2＋y1

y2＝0a⊥b

設(shè)a＝(x1，y1

)，b＝(x2，y2

)，則x1y2＋x2

y1＝0a∥b

設(shè)a＝(x1，y1

)，b＝(x2，y2

)，則例5：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明．

AC＝(-2－1，5－2)＝(-3，3)．∵AB＝(2－1，3－2)＝(1，1)．∴AB·AC＝1×(-3)＋1×3＝0．∴AB⊥AC∴△ABC是直角三角形．解：在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出三點，即可發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形．A(1,2)B(2,3)C(-2,5)xOy設(shè)a與b的夾角為θ，(0°≤θ≤180°)，則(5)兩向量夾角公式的坐標(biāo)運算cosθ＝a·b|a||b|設(shè)a＝(x1，y1

)，b＝(x2，y2

)，設(shè)a與b的夾角為θ

，則cosθ＝x1x2＋y1

y2√

x12＋y12×

x22＋y22

√

例6：設(shè)a＝(5，-7)，b＝(-6，-4

)，求a·b及a、b間的夾角θ(精確到1°)．=5×(-6)＋(-7)×(-4)＝-2a·b

解：cosθ＝√52＋(-7)2×(-6)2＋(-4)2

√5×(-6)＋(-7)×(-4)≈0.0322413θ=arccos0.0322413≈88°（1）已知a=(4，3)，向量b是垂直于a的單位向量，求b.（2）已知|a|=

10，b=(1，3)，且a∥b，求a的坐標(biāo)

.√（3）已知a=(3，0)，b=(k，5)，且a

與b的夾角為135°，求k的值

.k＝－5b＝(，-

)或b＝(-

，)．45354535a＝(

2，2

2)或a＝(-

2，-2

2)．√√√√

2．以原點和A（5，2）為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，

B=90，求點B的坐標(biāo).yBAOxB的坐標(biāo)為(，)3272或為(，-

)3272參考答案：

3．已知OA＝(－3，1)，OB＝(0，5)，且AC∥OB，BC⊥AB，則點C的坐標(biāo)為__________．(-3，)293

4．已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，則四邊形ABCD的形狀是_________．矩形

5．已知a=(1，2)，b=(-3，2)，若ka＋2b與的2a－4b平行，則k＝________.-1設(shè)平面向量a

＝(

3，-1)，b＝(，)．若存在實數(shù)m(m≠0)和角θ(θ∈(-，