數(shù)學(xué)九年級(jí)下湘教版三角形的內(nèi)切圓2

切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。APO。BECD∵PA、PB分別切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB三角形的內(nèi)切圓1、確定圓的條件是什么？1.圓心與半徑2、敘述角平線的性質(zhì)與判定性質(zhì)：角平線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。判定：到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。3、下圖中△ABC與圓O的關(guān)系？△ABC是圓O的內(nèi)接三角形；圓O是△ABC的外接圓圓心O點(diǎn)叫△ABC的外心知識(shí)回顧ACBO2.不在同一直線上的三點(diǎn)

李明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大。下圖是他的幾種設(shè)計(jì)，請(qǐng)同學(xué)們幫他確定一下。思考ABC三角形的內(nèi)切圓CBADFEOr課題思考下列問(wèn)題：1．如圖，若⊙O與∠ABC的兩邊相切，那么圓心O的位置有什么特點(diǎn)？圓心0在∠ABC的平分線上。

2．如圖2，如果⊙O與△ABC的夾內(nèi)角∠ABC的兩邊相切，且與夾內(nèi)角∠ACB的兩邊也相切，那么此⊙O的圓心在什么位置？圓心0在∠BAC,∠ABC與∠ACB的三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)上。OMABCNO圖2ABC探究：三角形內(nèi)切圓的作法3．如何確定一個(gè)與三角形的三邊都相切的圓心的位置與半徑的長(zhǎng)？

4．你能作出幾個(gè)與一個(gè)三角形的三邊都相切的圓么？

作出三個(gè)內(nèi)角的平分線，三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是符合條件的圓心，過(guò)圓心作一邊的垂線，垂線段的長(zhǎng)是符合條件的半徑。

只能作一個(gè)，因?yàn)槿切蔚娜龡l內(nèi)角平分線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。IFCABED探究：三角形內(nèi)切圓的作法作法：

ABC1、作∠B、∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為I。I2．過(guò)點(diǎn)I作ID⊥BC，垂足為D。3．以I為圓心，ID為半徑作⊙I.⊙I就是所求的圓。DMN探究：三角形內(nèi)切圓的作法1、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。識(shí)記2、性質(zhì):內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；內(nèi)心與頂點(diǎn)連線平分內(nèi)角。3、和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形。O圖2ABC三角形的外心與內(nèi)心對(duì)照畫出的圖形，討論解決下列問(wèn)題：1、什么是三角形的外心與內(nèi)心?2、試比較三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別，并填表：實(shí)質(zhì)

性質(zhì)三角形的外心三角形的內(nèi)心外心是指三角形外接圓的圓心內(nèi)心是指三角形內(nèi)切圓的圓心三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離相等三角形各內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)三角形各內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)例題1：如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，點(diǎn)O是內(nèi)心，求∠BOC的度數(shù)。分析：

∠O=?

∠1+∠3=?

O為△ABC的內(nèi)心

BO是∠ABC的角平分線

CO是∠ACB的角平分線

OA243BC1三角形內(nèi)心性質(zhì)的應(yīng)用解：

∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心∴∠1＝∠2＝

∴∠BOC=1800-(∠1+∠2)=1800-(250+37.50)=117.50∴∠BOC=117.50C1O243BA三角形內(nèi)心性質(zhì)的應(yīng)用延伸與拓展如圖，在△ABC中，∠A=n°，點(diǎn)I是內(nèi)心，求∠BIC的度數(shù)。解：∠BIC=1800－(∠IBC+∠ICB)

=1800－=1800－=1800－900+＝900+一般地：△ABC的內(nèi)心為Ｉ，∠A=n0則∠BIC＝900+CABRrOD例2、求等邊三角形的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R的比。解：由等腰三角形底邊上的中垂線與頂角平分線重合的性質(zhì)知，等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓是兩個(gè)同心圓設(shè)內(nèi)切圓切BC于D，連接OB，OD于是就有sin∠OBD=sin30°=知識(shí)的應(yīng)用已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點(diǎn)D、E、F，求AF、BD和CE的長(zhǎng)。CBAEDFOr引例解：因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點(diǎn)D、E、F，由切線長(zhǎng)定理知AE=AF,CE=CD,BD=BF∴AF+BD+CE=(AB+AC+BC)∵BD+CE=∴AF=13-9=4BD+CD=BC=9=13例3、如圖，設(shè)△ABC的邊BC=a，CA=b,AB=c,s=(a+b+c),內(nèi)切圓I和各邊分別相切于D,E,F求證：AE=AF=s-aBF=BD=s-bCD=CE=s-cCBAEDFOr知識(shí)的應(yīng)用若△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,s=(a+b+c),你能用r和s表示△ABC的兩種S嗎?S=rsABCOabcDEr如：直角三角形的兩直角邊分別是5cm，12cm則其內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)_____。如圖:直角三角形的兩直角邊分別是a，b,斜邊為c則其內(nèi)切圓的半徑為:2cmr=a+b-c2練習(xí)1、如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA和⊙O分別相切于L，M，N，P。（1）圖中有幾對(duì)相等的線段？ADLMNPOCB（2）由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？為什么？∵AB，BC，CD，DA都與⊙O相切，L，M，N，P是切點(diǎn)，∴AL=AP，LB=MB，

DN=DP，NC=MC∴AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC即AB+CD=AD+BC圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等延伸與拓展2、圓內(nèi)接平行四邊形是矩形圓外切平行四邊形是_______ACBD·O·ABCDO延伸與拓展菱形3、圓內(nèi)接梯形為等腰梯形ABDCEF4、已知圓外切等腰梯形的中位線長(zhǎng)為3cm，則腰長(zhǎng)為_(kāi)___反思：圓外切等腰梯形的腰長(zhǎng)等于中位線長(zhǎng)3cm延伸與拓展1、已知圓外切四邊形ABCD中，AB：BC：CD=4：3：2，它的周長(zhǎng)為24cm。則AB=

，BC=

；CD=

，DA=

。ADOCB8cm6cm4cm6cm課堂練習(xí)1、判斷：如圖：1、△ABC是圓D的外切三角形。（）

2、圓D是△ABC的外接圓。（）

3、△ABC是圓O的外接三角形。（）2、到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的（）

A、內(nèi)心