古典概型的教學(xué)體會(huì)

古典概型的教學(xué)體會(huì)

經(jīng)典素描是第一位提出概率統(tǒng)計(jì)的問題，也是最簡單的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｋ袃蓚€(gè)特點(diǎn)：一是基本事件總數(shù)有限，二是各個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。在古典概型中如果事件A是由全部n個(gè)基本事件中的某k個(gè)基本事件組成的，則概率P(A)可以如下計(jì)算：由于古典概型的計(jì)算公式相對簡單，可能會(huì)使初學(xué)者對于它的學(xué)習(xí)重視不夠，領(lǐng)會(huì)不透，加之有的概率統(tǒng)計(jì)教材對于如何掌握古典概型未能充分地說明，這些教材僅僅在介紹了古典概型的定義式之后只是列舉了幾個(gè)例題一帶而過，致使目前的古典概型的教學(xué)效果不盡理想。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，淺談古典概型的教學(xué)體會(huì)。以作為拋磚引玉與教學(xué)同行商討。一、計(jì)算古典風(fēng)格的原則為了正確地求解古典概型問題，應(yīng)遵循以下原則：1、符合三種類型的古典概型對于古典概型問題所建立的樣本空間，在計(jì)算n與k時(shí)，要求都用排列數(shù)，或者都用組合數(shù)，二者必須保持一致。許多表面上提法不同的古典概型問題，實(shí)際上可以大致歸并為三類，每一類都具有典型的意義：第一類是抽球問題，如產(chǎn)品質(zhì)量的抽樣檢查就屬于這種類型；第二類是分房問題，如班級學(xué)生過生日問題便屬于這一類型；第三類是組數(shù)問題，即從m個(gè)自然數(shù)中抽取少數(shù)幾個(gè)數(shù)組成符合條件的多位數(shù)問題。對于上述三種類型的古典概型，求n與k時(shí)通常的解法是這樣：抽球問題一般用組合數(shù)，而分房問題與組數(shù)問題都是用排列數(shù)。當(dāng)然，同一個(gè)問題用組合數(shù)求出的n及k與用排列數(shù)計(jì)算的結(jié)果一般是不一致的，但它們的比值必定是相同的。2、求取概率的注意事項(xiàng)在求解古典概型問題時(shí)，當(dāng)審明題意并明晰樣本空間與有利事件A的構(gòu)成之后，針對問題的類型，要求準(zhǔn)確無誤地計(jì)算出n與k，具體說應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：(1)求n與k既不重復(fù)又不遺漏,(2)書寫的求概率的事件與問題的要求應(yīng)完全一致，(3)計(jì)算與化簡過程應(yīng)保持恒等變形，(4）當(dāng)計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確值系分?jǐn)?shù)時(shí)不一定非得用小數(shù)表示。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)：要準(zhǔn)確地計(jì)算n與k，關(guān)鍵在于如何根據(jù)問題的條件區(qū)分兩個(gè)不同的基本事件，只有這樣才能計(jì)算出該隨機(jī)試驗(yàn)中所有不同基本事件總數(shù)以及事件A所包含的基本事件數(shù)。3、改換用多題一解、一題多解古典概型的求概公式雖然簡單，但是怎樣簡便地計(jì)算有時(shí)卻是富有技巧性的。例如：建立的樣本空間應(yīng)當(dāng)盡可能地簡明直觀，當(dāng)事件A的構(gòu)成較為復(fù)雜而事件A軍相對簡單時(shí),常用公式P(A)=1-P(A軍)來計(jì)算P(A),當(dāng)條件許可時(shí)，可以改換用二項(xiàng)分布或其它概型進(jìn)行分析處理，以使計(jì)算簡捷，等等。由此可見，當(dāng)教師在講授古典概型問題求解方法時(shí)，適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生說明多題一解與一題多解，這對于啟迪學(xué)生思維，提高分析問題與解決問題的能力是有益的。例1:一枚硬幣連擲3次，求既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面的概率。分析問題,建立樣本空間設(shè)Ai表示第i次出現(xiàn)正面，i=1、2、3A：正反面都有樣本空間:解法（一）：解法（二）：解法（三）：改用二項(xiàng)式分布計(jì)算，設(shè)X表示三次中出現(xiàn)的正面數(shù)，則例2:將2封信隨機(jī)地投入3個(gè)信箱,求第一個(gè)信箱恰有一封信的概率。解法（一）：用古典概型計(jì)算解法（二）：改用二項(xiàng)分布求解每一封信放入第一個(gè)信箱概率為P=1/3，記X為投入第1個(gè)信箱的信件數(shù)，X～B(2,1/3)二、計(jì)算錯(cuò)誤的后果人們在求解古典概率問題時(shí)，如果違背了上述解題原則，便會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。有時(shí)即使結(jié)果錯(cuò)了也一時(shí)找不出原因。下面僅舉一個(gè)典型案例說明這類情況。例3:從4雙不同的鞋子中任取4只，求此4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率。錯(cuò)解：首先從4雙鞋中任取1雙，其2只全部取出，然后在剩下的6只鞋中任取2只，于是總的取法為，并且這樣取出的4只鞋中可保證至少有兩只配成一雙，故所求的概率為上述求解思路似乎沒有問題，但它與正確答案相比竟高出3/35，相對誤差達(dá)11.11%。錯(cuò)解的原因就在于計(jì)算K時(shí)，出現(xiàn)了重復(fù)違背了準(zhǔn)確性。下面我們來揭示錯(cuò)解的過程。我們用A、B、C、D代表4雙不同鞋子，左腳記下標(biāo)1，右腳記下標(biāo)2，將上述解題的分子項(xiàng)所有可能情況排列于下：假如先取第1雙，然后從余下的6只中任取2只，按C62計(jì)算所有可能的取法，圖示如下：若先取定的是第2雙：若先取出的是第3雙：若先取出的是第4雙：相對于先取定第一雙鞋A1A2，從余下的鞋子中任取2只共有C62種取法，相對于先取定第二雙鞋子B1B2，從余下的鞋子中任取2只，也有C62種取法，但其中有一種取法與前面相同；相對于先取定第三雙鞋子C1C2，從余下的鞋子中任取2只，也有C62種取法