5.2.1三角函數(shù)的概念（1）學(xué)案（教師版）人教版高中數(shù)學(xué)必修一

5.2.1三角函數(shù)的概念（第1課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；2.掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號(hào)．【教材知識(shí)梳理】一．利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系中，我們稱(chēng)以原點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓為單位圓．前提在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與交于點(diǎn)P(x，y)，那么：定義正弦把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作，即y＝余弦把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作，即x＝正切單位圓上點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)為函數(shù)值的函數(shù)叫做α的正切函數(shù)，記作，即eq\f(y,x)＝(x≠0)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)．正弦函數(shù)y＝sinx，定義域?yàn)?；余弦函?shù)y＝cosx，定義域?yàn)?；正切函?shù)y＝tanx，定義域?yàn)?α的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)推廣到一般情況：設(shè)α為一個(gè)任意角，在α的終邊上任取一點(diǎn)P(異于原點(diǎn))，其坐標(biāo)為(x，y)，且OP＝r＝eq\r(x2＋y2)(r＞0)，則sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0).注意：三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和P(x，y)所在終邊上的位置無(wú)關(guān)，而由角α的終邊位置決定．二．三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)三角函數(shù)值的符號(hào)變化規(guī)律可概括為“”，即第一象限各三角函數(shù)值均為正，第二象限只有正弦值為正，第三象限只有正切值為正，第四象限只有余弦值為正.概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若sinα＝sinβ，則α＝β.()(2)已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0.()(3)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意義．()(4)若是第二象限角，且是其終邊與單位圓的交點(diǎn)，則．（）(5)由三角函數(shù)的定義，可知1≤sinα≤1.（）【答案】一．1.單位長(zhǎng)度2.單位圓sinαsinαcosαcosαtanαtanα3.RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))4.eq\f(y,r)eq\f(x,r)eq\f(y,x)二．一全正、二正弦、三正切、四余弦概念辨析：(1)×(2)√(3)×(4)×（3）√【教材例題變式】【源于P179例2】例1(1)若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－12)，求sinα，cosα，tanα的值．(2)已知角α的終邊落在直線(xiàn)eq\r(3)x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．【答案】(1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq\r(52＋－122)＝13，則sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(12,5).(2)直線(xiàn)eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，經(jīng)過(guò)第二、四象限，①若終邊在第二象限，取直線(xiàn)上的點(diǎn)(－1，eq\r(3))，則r＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；④若終邊在第四象限，取直線(xiàn)上的點(diǎn)(1，－eq\r(3))，則r＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3).【源于P178例1】例2.利用三角函數(shù)的定義求下列各角的正弦、余弦和正切值．(1)；(2)；(3)，(4)．【答案】(1)在角的終邊上取一點(diǎn)，即，則，不存在；(2)在角的終邊上取一點(diǎn)，即，則；(3)在角的終邊上取一點(diǎn)，即，則；(4)在角的終邊上取一點(diǎn)，即，則.歸納：求任意角的三角函數(shù)值的2種方法方法一：根據(jù)定義，尋求角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用定義得出該角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取點(diǎn)：在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(x，y)，(P與原點(diǎn)不重合)；第二步，計(jì)算r：r＝|OP|＝eq\r(x2＋y2)；第三步，求值：由sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)求值．【源于P180例3】例3.對(duì)于，②，③，④，⑤與⑥，選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式序號(hào)填空：（1）角為第一象限角的充要條件是_____；（2）角為第二象限角的充要條件是_____；（3）角為第三象限角的充要條件是_____；（4）角為第四象限角的充要條件是______.【答案】①③或①⑤或③⑤或①③⑤

①④或①⑥或④⑥或①④⑥

②④或②⑤或④⑤或②④⑤

②③或②⑥或③⑥或②③⑥【詳解】角為第一象限角的充要條件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤角為第二象限角的充要條件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥角為第三象限角的充要條件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤角為第四象限角的充要條件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥故答案為：(1).①③或①⑤或③⑤或①③⑤

(2).①④或①⑥或④⑥或①④⑥

(3).②④或②⑤或④⑤或②④⑤

(4).②③或②⑥或③⑥或②③⑥【源于P181例4】例4.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：①sin156°；②coseq\f(16,5)π；③cos(－450°)；④tan；⑤sin；⑥tan556°.【答案】①∵156°是第二象限角，∴sin156°＞0.②∵eq\f(16,5)π為第三象限角，∴coseq\f(16,5)π＜0.③∵－450°＝－720°＋270°是終邊落在y軸的非正半軸上的角，∴cos(－450°)＝0.④∵－eq\f(17,8)π＝－2π－eq\f(1,8)π是第四象限角，∴tan＜0.⑤∵－eq\f(4π,3)＝－2π＋eq\f(2,3)π是第二象限角，∴sin＞0.⑥∵556°＝360°＋196°是第三象限角，∴tan556°＞0.歸納：判斷三角函數(shù)值正負(fù)的兩個(gè)步驟1.定象限：確定角α所在的象限．2.定符號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來(lái)判斷．注意：若sinα>0，則α的終邊不一定落在第一象限或第二象限內(nèi)，有可能終邊落在y軸的非負(fù)半軸上．【教材拓展延伸】例5．（1）已知是第二象限角，試判斷的符號(hào)．（2）若，求的終邊的位置．【答案】（1）∵是第二象限角，∴，，∴，，∴．（2）∵，∴．又，．∵，∴，∴的終邊在第二、三象限或在x軸的負(fù)半軸上．【課外作業(yè)】基礎(chǔ)過(guò)關(guān)：1．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知x=4，y=3，r=5，所以.故選D.2．若，且，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】，則的終邊在三、四象限；則的終邊在三、一象限，，，同時(shí)滿(mǎn)足，則的終邊在三象限．3．點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】因?yàn)?，?023°為第三象限角，故，因?yàn)?與終邊相同，又，故8是第二象限角，故，則點(diǎn)在第三象限.故選：C.4．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在單位圓上即終邊在第三象限所以，，所以所以.故選：C．5．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則角可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是第三象限角，且，，則．故選：C.6．（多選）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】因點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則，于是得，A正確；，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，B不正確；又，則，C正確，D不正確.故選：AC.7．若點(diǎn)在角240°的終邊上，則實(shí)數(shù)的值是__________.【答案】【詳解】由三角函數(shù)定義，可得，解得.8．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.【答案】【詳解】點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，所以，所以，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：，.9．已知角的終邊落在直線(xiàn)上，求的值.【答案】.【詳解】直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二象限或第四象限.①若終邊在第二象限，取點(diǎn)，.，，于是.②若終邊在第四象限，取點(diǎn)，.，，于是.能力提升：10.設(shè)角是第一象限角，且滿(mǎn)足，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C解析：由角是第一象限角，有，可得，可知為第一或第三象限角，又由，可得為第三象限角.故選：C.11．（多選）函數(shù)y的值可能為（）A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1【答案】BD【詳解】當(dāng)x是第一象限角時(shí)：1＋1＋1＝3，當(dāng)x是第二象限角時(shí)：1﹣1﹣1＝﹣1，當(dāng)x是第三象限角時(shí)：1﹣1＋1＝﹣1，當(dāng)x是第四象限角時(shí)：1＋1﹣1＝﹣1，∴y的可能值為：﹣1，3．故選：BD．12．（多選）給出下列各三角函數(shù)值，其中符號(hào)為負(fù)的是（

）A．sin(100°) B．cos(220°)C．tan(10) D．cos0【答案】ABC【詳解】因?yàn)?00°角是第三象限角，所以sin(100°)<0；因?yàn)?20°角是第二象限角，所以cos(220°)<0；因?yàn)?0∈，所以10是第二象限角，所以tan(10)<0；cos0=1>0.故選：ABC.13．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第________象限．【答案】二【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，則角α的終邊在第二象限，故答案為二．14．已知角的終邊上一點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，角的終邊上一點(diǎn)Q與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，則______．【答案】0【詳解】角終邊上一點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，角的終邊上一點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，由三角函數(shù)的定義可知，﹒故答案為：015．已知角的終邊上有一點(diǎn)，．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值．(2)若且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)依題意，得，所以．由且得為第四象限角，故，所以．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．16．如圖所