人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第12講 向量在物理中的應(yīng)用舉例（含解析）

第課目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航課程標準課標解讀1.能用向量方法解決簡單的力學(xué)問題和其他實際問題.2.體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的運算、分析和解決實際問題的能力．1.通過進一步學(xué)習(xí)，在實踐中能用向量方法解決簡單的力學(xué)問題和其他實際問題.2.認真體會向量在解決數(shù)學(xué)和抽象出實際問題中的數(shù)學(xué)問題作用，培養(yǎng)學(xué)生的運算、分析和解決實際問題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).知識精講知識精講知識點向量在物理中的應(yīng)用(1)物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加減法運算體現(xiàn)在力、速度、加速度、位移的合成與分解．(3)動量mv是向量的數(shù)乘運算．(4)功是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積．【即學(xué)即練1】當兩人提起重量為|G|的旅行包時，兩人用力方向的夾角為θ，用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為()A．30°B．60°C．90°D．120°答案D解析作eq\o(OA,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G(圖略)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，當|F1|＝|F2|＝|G|時，△OAC為正三角形，所以∠AOC＝60°，從而∠AOB＝120°.能力拓展能力拓展考法向量在物理中的應(yīng)用【典例1】一條寬為eq\r(3)km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝eq\r(3)km，船在水中的最大航速為4km/h，問該船怎樣安排航行速度可使它從A碼頭最快到達彼岸B碼頭？用時多少？解析如圖所示，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))為水流速度，eq\o(AD,\s\up6(→))為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED，且當AE與AB重合時能最快到達彼岸，根據(jù)題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，∠AED＝90°，∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AD,\s\up6(→))|2－|\o(DE,\s\up6(→))|2)＝2eq\r(3)，又AB＝eq\r(3)，∴用時0.5h，易知sin∠EAD＝eq\f(1,2)，∴∠EAD＝30°.答該船實際航行速度大小為4km/h，與水流方向成120°角時能最快到達B碼頭，用時0.5h.反思感悟用向量解決物理問題的一般步驟(1)問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型．(3)參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值．(4)問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．【變式訓(xùn)練】一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)的共同作用下從點A(1,1)移動到點B(0,5)．在這個過程中三個力的合力所做的功為________．答案－40解析∵F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,4)，∴F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三個力的合力做的功等于－40.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知兩個力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，它們的合力大小為SKIPIF1<0，合力與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因為兩個力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，它們的合力大小為SKIPIF1<0，合力與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，故選：B2．某人先向東走SKIPIF1<0，位移記為SKIPIF1<0，接著再向北走SKIPIF1<0，位移記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示（

）A．向東南走SKIPIF1<0 B．向東北走SKIPIF1<0C．向東南走SKIPIF1<0 D．向東北走SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意知：SKIPIF1<0，位移方向為東北方向，SKIPIF1<0表示向東北走SKIPIF1<0.故選：D.3．一物體在力F→的作用下，由點SKIPIF1<0移動到點SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，則F→對該物體所做的功為（

）A．SKIPIF1<0 B．15 C．28 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，設(shè)F→對該物體所做的功為：SKIPIF1<0故選：B4．一質(zhì)點在力SKIPIF1<0＝(﹣3，5)，SKIPIF1<0＝(2，﹣3)的共同作用下，由點A(10，﹣5)移動到B(-4，0)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的合力F對該質(zhì)點所做的功為（

）A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110【答案】A【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的合力SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，SKIPIF1<0，則由共點力平衡得合力SKIPIF1<0對該質(zhì)點所做的功為SKIPIF1<0.故選：A.5．一質(zhì)點受到同一平面上的三個力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成120°角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小都為6牛頓，則SKIPIF1<0的大小為______牛頓.【答案】6【詳解】設(shè)三個力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別對于的向量為：SKIPIF1<0則由題知SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的大小為：6故答案為：66．已知力SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0三個力的合力為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7．如圖，作用于同一點SKIPIF1<0的三個力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處于平衡狀態(tài)，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小為______.【答案】1【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個力處于平衡狀態(tài)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故答案為：18．高一學(xué)生將質(zhì)量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來，如圖（1）（2），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為45°和30°，則拉力SKIPIF1<0與SKIPIF1<0大小的比值為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0N，SKIPIF1<0N，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<09．如圖，一個力SKIPIF1<0作用于小車SKIPIF1<0，使小車SKIPIF1<0發(fā)生了40米的位移，SKIPIF1<0的大小為50牛，且與小車的位移方向（SKIPIF1<0的方向）的夾角為SKIPIF1<0，則力SKIPIF1<0做的功為___________?！っ?【答案】1000【詳解】解：小車位移方向力的大小為SKIPIF1<0牛，所以力SKIPIF1<0做的功為SKIPIF1<0?！っ?故答案為：1000.10．如圖所示，一力作用在小車上，其中力SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，方向與水平面成SKIPIF1<0角，當小車向前運動SKIPIF1<0時，力SKIPIF1<0做的功為__________SKIPIF1<0.【答案】50【詳解】解：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.11．力SKIPIF1<0作用于質(zhì)點P，使P產(chǎn)生的位移為SKIPIF1<0,則力SKIPIF1<0對質(zhì)點P做的功是________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解:由題易得，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．12．一條河兩岸平行，河的寬度為SKIPIF1<0米，一個人從岸邊游向?qū)Π?已知他在靜水中游泳時，速度大小為每分鐘SKIPIF1<0米，水流速度大小為每分鐘12米.①當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小每分鐘___________米；②當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的需要________分鐘.【答案】

24；

20.【詳解】解：（1）如圖所示，當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小為SKIPIF1<0，他實際前進速度的大小每分鐘24米.（2）如圖所示，當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的速度為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以他游到河對岸的需要SKIPIF1<0分鐘.故答案為：24；20.題組B能力提升練1．若平面上的三個力SKIPIF1<0作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則力SKIPIF1<0的大小為（

）．A．7 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】D【詳解】根據(jù)三力平衡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩邊同平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0故選：D.2．加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為SKIPIF1<0，每只胳膊的拉力大小均為SKIPIF1<0，則該學(xué)生的體重（單位：SKIPIF1<0）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．61 C．75 D．60【答案】D【詳解】如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作平行四邊形SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此該學(xué)生體重為SKIPIF1<0（kg）.故選：D．3．長江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，水流的速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故A，C，D錯誤.故選：B.4．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬SKIPIF1<0，河水的速度為向正東SKIPIF1<0．一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（SKIPIF1<0與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距SKIPIF1<0的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為SKIPIF1<0，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段SKIPIF1<0，設(shè)小貨船航行速度為SKIPIF1<0，水流的速度為SKIPIF1<0，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為SKIPIF1<0，作出示意圖如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以小貨船航行速度的大小為SKIPIF1<0，故選：C.5．長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，水流的速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，北岸的點SKIPIF1<0在A的正北方向，則游船正好到達SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)船的實際速度為SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在A的正北方向，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.6．第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事．冰球運動是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進行的相互對抗的集體性競技運動，在冰球運動中，冰球運動員腳穿冰鞋，身著防護裝備，以球桿擊球，球入對方球門，多者為勝．小趙同學(xué)在練習(xí)冰球的過程中，以力SKIPIF1<0=(6，24)作用于冰球，使冰球從點A(1，1)移動到點B(6，11)，則SKIPIF1<0對冰球所做的功為（

）A．-210 B．210 C．-270 D．270【答案】D【詳解】由題意得SKIPIF1<0=(5，10)，故力SKIPIF1<0對冰球所做的功為SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=5×6+24×10=270．故選：D.7．（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運動時，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（

）A．船受到的拉力不斷增大 B．船受到的拉力不斷變小C．船受到的浮力不斷變小 D．船受到的浮力保持不變【答案】AC【詳解】設(shè)水的阻力為SKIPIF1<0，船受到的拉力為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與水平方向的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0不斷增大，所以SKIPIF1<0不斷減小，故SKIPIF1<0不斷增大.因為SKIPIF1<0不斷增大，所以船受到的浮力不斷減?。还蔬x：AC.8．（多選）一物體受到3個力的作用，其中重力SKIPIF1<0的大小為4N，水平拉力SKIPIF1<0的大小為3N，另一力SKIPIF1<0未知，則（

）A．當該物體處于平衡狀態(tài)時，SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反，且SKIPIF1<0時，物體所受合力大小為SKIPIF1<0C．當物體所受合力為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】A選項：由題知，SKIPIF1<0的大小等于重力SKIPIF1<0與水平拉力SKIPIF1<0的合力大小，由圖知SKIPIF1<0，故A正確；B選項：如圖，物體所受合力應(yīng)等于向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和向量的大小，顯然B錯誤；C選項；當物體所受合力為SKIPIF1<0時，說明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的合力為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正確；D選項：由上知，重力SKIPIF1<0與水平拉力SKIPIF1<0的合力為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0N，易知當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向時合力最大，最大值為7N，反向時合力最小，最小值為3N，即SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD9．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬SKIPIF1<0，河水的速度為向東2SKIPIF1<0.一艘小貨船準備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250SKIPIF1<0的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6SKIPIF1<0，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行的速度大小是___________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段SKIPIF1<0，設(shè)小貨船航行速度為SKIPIF1<0，水流的速度為SKIPIF1<0，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為SKIPIF1<0，作出示意圖如下：因為一條東西方向的河流兩岸平行，河寬SKIPIF1<0，河水的速度為向正東SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以小貨船航行速度的大小為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<010．在水流速度為SKIPIF1<0的河中，要使船以SKIPIF1<0的速度與河岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為______SKIPIF1<0，與水流方向所成的角為______．【答案】

20

SKIPIF1<0【詳解】如圖，SKIPIF1<0表示水流方向，SKIPIF1<0表示垂直于對岸橫渡的方向，SKIPIF1<0表示船實際航行的方向，則SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．所以船行駛速度的大小為SKIPIF1<0，與水流方向所成的角為SKIPIF1<0．故答案為：①20②SKIPIF1<0．11．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東SKIPIF1<0km/h．一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于對岸B（AB與河岸的方向垂直）的正西方向并且與B相距SKIPIF1<0m的碼頭C處卸貨．若水流的速度與小貨船的速度（自身動力產(chǎn)生的速度）的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，航行的合速度方向與正西方向的夾角為_________，小貨船的速度大小為_________km/h．【答案】

30°

SKIPIF1<0【詳解】如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴合速度的方向與水流的方向成150°的角，與正西方向的夾角為30°，設(shè)小貨船的速度為SKIPIF1<0，水流速度為SKIPIF1<0，合速度為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴小船航行速度的大小為SKIPIF1<0.故答案為：①30°；②SKIPIF1<012．在靜水中船的速度為SKIPIF1<0，水流的速度為SKIPIF1<0，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸，則經(jīng)過SKIPIF1<0小時，該船的實際航程是多少SKIPIF1<0?【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：如圖：設(shè)水流的速度為SKIPIF1<0，船航行的速度為SKIPIF1<0，則這SKIPIF1<0個速度的和速度為SKIPIF1<0，則由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直角三角形SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以船的合速度的大小為SKIPIF1<0，故船行駛的方向與水流的方向成SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0．所以經(jīng)過SKIPIF1<0小時，該船的實際航程是SKIPIF1<0千米．13．平面上三個力SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作用于一點且處于平衡狀態(tài)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，求：(1)SKIPIF1<0的大?。?2)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的大?。敬鸢浮?1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.解析：SKIPIF1<0三個力平衡，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）解：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角可由余弦定理求得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0．題組C培優(yōu)拔尖練1．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)的一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是銳角SKIPIF1<0內(nèi)的一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三個內(nèi)角，且點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.則（

）A．SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】解：因為SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，故A錯誤；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確．故選：BCD．2．如圖，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為___________【答案】SKIPIF1<0.【詳解】以SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，依題意得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由題意令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得其對稱軸為SKIPIF1<0，且開口向上，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，今有動點P從SKIPIF1<0開始，沿著與向量SKIPIF1<0相同的方向做勻速直線運動，速度為SKIPIF1<0；另一動點Q從SKIPIF1<0開始，沿著與向量SKIPIF1<0相同的方向做勻速直線運動，速度為SKIPIF1<0，設(shè)P，Q在SKIPIF1<0s時分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處，當SKIPIF1<0時所需的時間t為多少秒?【答案】2秒.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其單位向量為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其單位向量為SKIPIF1<0，依題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.即當SKIPIF1<0時所需的時間為2秒.4．長江某地南北兩岸平行.如圖所示，江面寬度SKIPIF1<0，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，水流的速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，北岸的點SKIPIF1<0在A的正北方向.回答下面的問題.（1）當SKIPIF1<0時，判斷游船航行到達北岸的位置在SKIPIF1<0的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由.（2）當SKIPIF1<0為多大時，游船能到達SKIPIF1<0處？需要航行多長時間？【答案】（1）左側(cè)，理由見解析

（2）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【詳解】（1）左側(cè)，理由如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.∵游船航行到達北岸的位置在點SKIPIF1<0的左側(cè)（如圖（1））

（2）如圖（2），要使游船航行到達北岸的SKIPIF1<0處，必須SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.需要航行的時間SKIPIF1<0.5．如圖所示，一根繩穿過兩個定滑輪，且兩端分別掛有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的重物，現(xiàn)在兩個滑輪之間的繩上掛一個重量為SKIPIF1<0的物體，恰好使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求正數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖建立坐標系，記OB、OA與SKIPIF1<0軸的正半軸的夾角分別為SKIPIF1<0，則由三角函數(shù)定義得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，【方法一】移項，（1）、（2）平方相加得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而存在正數(shù)SKIPIF1<0使得系統(tǒng)平衡，∴△＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（因滑輪大小忽略，寫成SKIPIF1<0亦可，不扣分．這時SKIPIF1<0均為0）由（*）解得SKIPIF1<0，由（2）式知SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，這