人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)同步講義第10講 2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（含解析）

第03講2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課程標準學習目標①理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系。②掌握一元二次方程的求解方法,掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系以及一元二次方程根的分布情況。③掌握圖象法解一元二次不等式，會解簡單的能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的分式不等式。通過本節(jié)課的復習與學習，會解一元二次方程、一元二次方程根的情況的處理、一元二次方程根與系數(shù)的關系；二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；會解一元二次不等式、含有參數(shù)的一元二次不等式、與一元二次不等式有關的存在與恒成立問題的處理；會解能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的分式不等式；理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式之間的關系，能處理與三者之間有關的問題。知識點一：一元二次不等式的有關概念1、一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：①SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數(shù)）②SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數(shù)）③SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數(shù)）④SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數(shù)）2、一元二次不等式的解與解集使某一個一元二次不等式成立的SKIPIF1<0的值，叫作這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集.將一個不等式轉(zhuǎn)化為另一個與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.知識點二：四個二次的關系2.1一元二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)SKIPIF1<0，我們把使SKIPIF1<0的實數(shù)SKIPIF1<0叫做二次函數(shù)SKIPIF1<0的零點．2.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系對于一元二次方程SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，它的解按照SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可分三種情況，相應地，二次函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0的解集.判別式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二次函數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0的圖象一元二次方程SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的根有兩個不相等的實數(shù)根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)有兩個相等的實數(shù)根SKIPIF1<0沒有實數(shù)根SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的解集SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的解集SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點三：一元二次不等式的解法1：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；2：寫出相應的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0，計算判別式SKIPIF1<0：①SKIPIF1<0時，求出兩根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（注意靈活運用十字相乘法）；②SKIPIF1<0時，求根SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0時，方程無解3：根據(jù)不等式，寫出解集.知識點四：解分式不等式4.11、分式不等式4.1.1定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為整式且SKIPIF1<0的不等式稱為分式不等式。4.1.2分式不等式的解法①移項化零：將分式不等式右邊化為0：②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0題型01一元二次不等式（不含參）的求解【典例1】（2023·全國·高三專題練習）不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：A【典例2】（2023·全國·高一專題練習）不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故選：C.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）解下列不等式：(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，配方可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，從而不等式無解，即解集為SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0同時成立.由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_學考試）解不等式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不可能成立，即不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.題型02一元二次不等式（含參）的求解（二次項系數(shù)不含參數(shù)）【典例1】（2023·全國·高一專題練習）若SKIPIF1<0，則關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.原不等式SKIPIF1<0可化為所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以，不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）解關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0.【答案】答案見解析【詳解】由題意知SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0，所以解集為SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，當SKIPIF1<0時，原不等式可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，原不等式可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；③當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0；綜上，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學校考期末）已知SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求不等式SKIPIF1<0的解集；(2)解關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)見解析【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不等式解集為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）不等式可化為SKIPIF1<0．①當SKIPIF1<0時，原不等式即為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，原不等式化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；③當SKIPIF1<0時，原不等式化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上，當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）解不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【答案】答案見解析【詳解】解：對于不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可化為SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0有兩根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故原不等式的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，原不等式的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，原不等式的解集為SKIPIF1<0；綜上可得：當當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時解集為SKIPIF1<0.【變式2】（2023·高一課時練習）解關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0．【答案】分類討論，答案見解析.【詳解】方程SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，不等式的解集是SKIPIF1<0，②當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，不等式的解集是SKIPIF1<0，③當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，不等式的解集是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0時，不等式的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，不等式的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，不等式的解集是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，題型03一元二次不等式（含參）的求解（二次項系數(shù)含參）【典例1】（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：原不等式可以轉(zhuǎn)化為：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，可知SKIPIF1<0，對應的方程的兩根為1，SKIPIF1<0，根據(jù)一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若SKIPIF1<0，則關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：方程SKIPIF1<0的兩個根為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0．故選：B．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0，則關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．{x|x>a}C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0，又因為當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：A．【典例4】（2023·全國·高三專題練習）已知關于SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求不等式SKIPIF1<0的解集.(2)當SKIPIF1<0時，求不等式SKIPIF1<0的解集.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.【典例5】（2023·全國·高三專題練習）解關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．【答案】答案見解析.【詳解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0；∵a＞0，∴不等式化為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；∴當0＜a＜1時，即SKIPIF1<0，原不等式的解集為{x|1＜xSKIPIF1<0}；當a＝1時，即SKIPIF1<0，原不等式的解集為SKIPIF1<0；當a＞1時，即SKIPIF1<0，原不等式的解集為SKIPIF1<0．【變式1】（2023·高一課時練習）已知SKIPIF1<0，關于x的不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】不等式SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故不等式的解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：A.【變式2】（2023·高一課時練習）解下列關于SKIPIF1<0的不等式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).【答案】答案見解析.【詳解】當SKIPIF1<0，原不等式化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，原不等式化為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，原不等式化為SKIPIF1<0，其解的情況應由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系決定，故：①當SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②當SKIPIF1<0時，原不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，③當SKIPIF1<0時，原不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上所述：當SKIPIF1<0，解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0.題型04一元二次不等式與對應函數(shù)、方程的關系【典例1】（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由條件可知，SKIPIF1<0的兩個實數(shù)根是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以不等式的解集為SKIPIF1<0.故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0的解集為__________【答案】SKIPIF1<0【詳解】由不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩根，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知關于SKIPIF1<0的一元二次不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】依題意可得，SKIPIF1<0分別是關于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0的兩根，根據(jù)韋達定理可得：SKIPIF1<0.故選：A.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若關于x的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則ab＝_________________.【答案】24【詳解】由一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩個根，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：24題型05分式不等式的解法【典例1】（2023·全國·高三專題練習）不等式SKIPIF1<0的解集為________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】原不等式可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴原不等式的解集為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高一專題練習）已知全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0因為當SKIPIF1<0時，一定可以推出SKIPIF1<0，而當SKIPIF1<0時，不能推出SKIPIF1<0。所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件，故選：A．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】原不等式可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：C．題型06一元二次方程的實根分布問題【典例1】（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學校考階段練習）若一元二次方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不等于0）有一個正根和一個負根，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因為一元二次方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不等于0）有一個正根和一個負根，設兩根為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：A【典例2】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考開學考試）已知SKIPIF1<0(1)求證SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有解的一個充分條件；(2)當SKIPIF1<0時，求關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有一個正根和一個負根的充要條件．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是關于x的方程SKIPIF1<0有解的一個充分條件.（2）當SKIPIF1<0時，因為方程SKIPIF1<0有一個正根和一個負根，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0反之，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有一個正根和一個負根，滿足條件．所以，當SKIPIF1<0時，關于x的方程SKIPIF1<0有一個正根和一個負根的充要條件為SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學校考階段練習）若一元二次方程SKIPIF1<0的兩不等實根都是負數(shù)，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】首先SKIPIF1<0，設方程SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【變式1】（2023春·湖南長沙·高二長沙麓山國際實驗學校?？计谥校┓匠蘏KIPIF1<0的兩根都大于SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：由題意，方程SKIPIF1<0的兩根都大于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知方程SKIPIF1<0的兩根分別在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之內(nèi)，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______．【答案】SKIPIF1<0.【詳解】方程SKIPIF1<0

SKIPIF1<0方程兩根為SKIPIF1<0，若要滿足題意，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.題型07一元二次不等式的實際問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價SKIPIF1<0（單位：元）的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】結合題意易知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，這批臺燈的銷售單價SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（SKIPIF1<0），則出廠價相應地提高比例為，同時預計年銷售量增加的比例為，已知年利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．（1）寫出本年度預計的年利潤與投入成本增加的比例的關系式；（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【詳解】（1）由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，所以投入成本增加的比例應在SKIPIF1<0范圍內(nèi)．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風衣，日銷售量x（件）與單價P（元）之間的關系為SKIPIF1<0，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中SKIPIF1<0元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【答案】B【詳解】設該廠每天獲得的利潤為y元，則y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．由題意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，所以日銷量x的取值范圍是20≤x≤45．故選：B．【變式2】（2023·高一課時練習）黔東南某地有一座水庫，設計最大容量為128000m3．根據(jù)預測，汛期時水庫的進水量SKIPIF1<0（單位：m3）與天數(shù)SKIPIF1<0的關系是SKIPIF1<0，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報警提醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會出現(xiàn)系統(tǒng)自動報警．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)當汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險嗎？請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)汛期的第9天會有危險，理由見解析【詳解】（1）由題意得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）由（1）得SKIPIF1<0設第SKIPIF1<0天發(fā)生危險，由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以汛期的第9天會有危險題型08重點方法之一元二次不等式的恒成立與有解問題方法一：判別法【典例1】（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）若不等式SKIPIF1<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0對一切實數(shù)SKIPIF1<0都成立，①SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，②SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上可得，SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】∵不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0恒成立.①當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，不等式化為SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，不是對任意SKIPIF1<0恒成立，舍去；②當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，對任意SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.綜上，實數(shù)m的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數(shù)a的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型09重點方法之一元二次不等式的恒成立與有解問題方法二：變量分離法【典例1】（2023秋·江蘇淮安·高一淮陰中學?？计谀┤我釹KIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0恒成立.則實數(shù)SKIPIF1<0取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因為對任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立.所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最小值，最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知命題SKIPIF1<0：“SKIPIF1<0”為真命題，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為________________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，構造函數(shù)SKIPIF1<0，對稱軸為SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若不等式SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最小值為________．【答案】－4【詳解】∵當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0恒成立，又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當且僅當x＝2時取等號．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故a的最小值為－4.故答案為：SKIPIF1<0.題型10數(shù)學思想方法（分類討論）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）解關于x的不等式SKIPIF1<0.【答案】答案見解析【詳解】原不等式變?yōu)镾KIPIF1<0，①當SKIPIF1<0時，原不等式可化為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，解得SKIPIF1<0②當SKIPIF1<0時，原不等式等價于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.③當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，原不等式可化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.綜上，當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學?？茧A段練習）設SKIPIF1<0．(1)若不等式SKIPIF1<0對一切實數(shù)SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)解關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立等價于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，對一切實數(shù)SKIPIF1<0不恒成立，則SKIPIF1<0，此時必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.（2）依題意，SKIPIF1<0，可化為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，原不等式的解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.題型11易錯題篇（忽略了首項系數(shù)化正）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）若集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選:D.【典例3】（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D【典例4】（2023·全國·高三專題練習）解關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0,等價轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以不等式的解集為SKIPIF1<0．2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習）SKIPIF1<0的一個充分不必要條件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解不等式SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故只有C選項中的條件才是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件.故選：C.2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，【答案】C【詳解】不等式SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0，等價于SKIPIF1<0，解集為SKIPIF1<0．故選：C3．（2023春·山東濱州·高二校考階段練習）若不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0