2021中考數(shù)學(xué)：知識點09 分式方程及其應(yīng)用

一、挑選題

6.（2021?蘇州）小明用15元買售價同樣的軟面筆記本，小麗用24元買售價同樣的硬面筆記本（兩人的鈔

票恰好用完）已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元，且小明和小麗買到同樣數(shù)量的筆記本.設(shè)軟面筆記本

每本售價為x元，依照題意可列出的方程為（）

15241524》15241524

AA.—=----Bn.—=----C.----=—D.---=—

xx+3xx-3x+3xx-3x

【答案解析】A

【試題解答】本題考查了由事實題目籠統(tǒng)出分式方程，精確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.開門見山操

縱“小明和小麗買到同樣數(shù)量的筆記本”，得,故選A.

xx+3

25

5.（2021?株洲）對于x的分式方程--------=0的解為（）

xx-3

A.-3B.-2C.2D.3

【答案解析】B

【試題解答】解分式方程，去分母，化分式方程為整式方程，方程雙方同時乘以x（x-3）得，

2（x-3）-5x=0,解得，x=-2,所以答案為Bo

X2

4.（2021?益陽）解分式方程-----+-------=3時，去分母化為一元一次方程，精確的是（）

2x-l1-2%

A.x+2=3B.x-2=3C.x-2=3(2x-l)D.x+2=3(2x-l)

【答案解析】c

【試題解答】雙方同時乘以（2x-l）,得x-2=3(2x-l).故選C.

1,（2021?濟(jì)寧）天下文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)差不多實現(xiàn)5G幕站布設(shè)，“孔夫子家”自此有了5G**絡(luò).5G**絡(luò)峰值

速率為4G**絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500兆信息，5G**絡(luò)比4G**絡(luò)快45秒，求這兩種**

絡(luò)的峰值速率.設(shè)4G**絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆信息，依題意，可列方程是（）

5005005005005000500,u5005000,u

A.------------=45B.------------=45C--------------=45D.--------------=45

x10%10xxxxxx

【答案解析】A

【試題解答】由題意知：設(shè)4G**絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆信息,那么5G**絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸

10x兆信息，4G傳輸500兆信息用的時候是——.5G傳輸500兆信息用的時候是——，5G**絡(luò)比4G**絡(luò)

x10x

“X,山一500500

快45秒，所以---------=45.

x10%

1—Y\

2,（2021?淄博）解分式方程一------2時，去分母變形精確的是（）

x-22-x

A.—l+x=—1—2(x—2)B.1—x=l-2(x—2)

C.—l+x=1+2(2—x)D.1—x=—1—2(x—2)

【答案解析】D.

【試題解答】方程雙方同乘以X—2,得1一"二一1一2（“-2）,故選D.

二、填空題

11.（2021?江西）斑馬線前“車讓人”，不僅表現(xiàn)著一座都市對生命的尊敬，也開門見山反映著都市的文明水

平.似圖，某路口的班馬路線段A-B-C橫穿雙向行駛車道，其中AB=BC=6米，在綠燈亮?xí)r，小明共用11秒

通過AC,其中通過BC的速率是通過AB速率的1,2倍，求小明通過AB時的速率.設(shè)小明通過AB時的速

率是x米/秒，依照題意列方程得：.

【答案解析】-+—=11

xl.2x

【試題解答】設(shè)小明通過AB時的速率是x米/秒，那么通過BC的速率是通1,2x米/秒，依照題意列方程得

g+上=11.

x1.2%

12

1,（2021?岳陽）分式方程一二——的解為

Xx+1

【答案解析】1

【試題解答】去分母，得：x+l=2x,解得工=1,經(jīng)檢驗x=l是原方程的解.

2,（2021?濱州）方程江至+1=工的解是____________.

x-22-x

【答案解析】X=1

【試題解答】去分母，得x―3+x—2=—3,解得x=l.當(dāng)x=l時，x-2=-l,所以x=l是分式方程的解.

3,（2021,巴中）如果對于x的分式方程—力+＜巴=2，"有增根，那么m的值為---------

X-Z.Z-X

【答案解析】1

【試題解答】解原分式方程，去分母得：x-2m=2m（x—2）,如果原分式方程有增根，那么x=2,將其代入那

個一元一■次方程，得2-2m=2m（2—2）,解之得，m=l,

2尤一12

4,（2021?涼山）方程二——+——^=1解是.

x-l1-x2~

【答案解析】x=-2

2r-1?

【試題解答】原方程可化為-------------=1,去分母得（2廠1）（戶1）-2=（x+l）（廠1）,解得M=1,

X—1（X+l）（x—1）

xk-2,經(jīng)檢驗即=1是增根，心=-2是原方程的解，.?.原方程的解為產(chǎn)-2,故答案為x=-2,

11.（2021?淮安）方程一!一=1的解是—.

x+2

【答案解析】-1

【試題解答】雙方同時乘以（x+2）,得x+2=l,解得x=-l,

5,（2021?重慶B卷）某磨具廠共有六個制作車間，第一、二、三、四車間天天制作同樣數(shù)量的產(chǎn)物，第五、

六車間天天制作的產(chǎn)物數(shù)量分不為第一車間天天制作的產(chǎn)物數(shù)量的之和號.甲、乙兩組檢驗員進(jìn)駐該

43

廠履行產(chǎn)物檢驗.在同時最早檢驗產(chǎn)物時，每個車間原有制品同樣多，檢驗期間各車開門見山著制作.甲組

用了6天時候?qū)⒌谝弧⒍?、三車間全部制品同時檢驗完；乙組先用2天將第四、五車間的全部制品同時檢

驗完后，再用了4天檢驗完第六車間的全部制品（全部制品指原有的和檢驗期間制作的制品）.介入每個

檢驗員的檢驗速率同樣，那么甲、乙兩組檢驗員的人數(shù)之比是一

【答案解析】-

19

【試題解答】設(shè)第一車間天天制作的產(chǎn)物數(shù)量為12m,那么第五、六車間天天制作的產(chǎn)物數(shù)量分不9m、32m;

設(shè)甲、乙兩組檢驗員的人數(shù)分不為x,y人；

查抄前每個車間原有制品為n.

???甲組6天時候?qū)⒌谝弧⒍?、三車間全部制品同時檢驗完

每個甲檢驗員的速率=6（12加+12加+12加+〃+〃+”

6x

?..乙組先用2天將第四、五車間的全部制品同時檢驗完

，每個乙檢驗員的速率=2(⑵"+9〃?)+"+"

2y

???乙再用了4天檢驗完第六車間的全部制品

,每個乙檢驗員的速率=6x32冽+〃

4y

???每個檢驗員的檢驗速率同樣

.6(}2m+\2m+12m)+n+n+n_2(L2m+9tn)+n+n_6x32m+n

6x2y4y

十卷故答案為it

三、解答題

22

19.(2021山東省德州市，19,8)先化簡，再求值：(2-工)+(-EL±2_-5n)?(旦+..+2),其中Jro+1

inninnm2n

+(〃-3)2=0.

2222222

【解題環(huán)節(jié)】一工?旦+4n+4iun

(2-1)5n).(JL+2n+2)=2n-mm+n-5n

IDnmnm2nmmnmn2mn

2

=2nF?m?(nH~2n)=_nrF2n

mn(nrt-2n)(m-2n)2inn2mn

(n-3)2=0.：.m+\=0,〃-3=0,：.m=-\,n=3.二-亞軍=-T+2x3=區(qū).

2mn2X(-1)X36

原式的值為1.

6

'.占\4/i/g壬//古Q2—2Q"+"2a2-ah2舟山,?r---

1o8，(2021?遂寧)先化簡，冉求值------------：---------------，其中a,b知足(〃—2)~+2J〃+l=0

a-haa+b

(a-b)2a(a-b)2a-h121

---------------------------------x-----—,—----

C.a+b)(a—b)aa+b~a+ba-ba+b-a+b

2

7（a-2）+VF+T=0Aa=21b=-l,...原式=T

17.（2）（2021?泰州，17題，8分）解方程空9+3=生9

x—2x—2

【解題環(huán)節(jié)】去分母：2x—5+3（x—2）=3x—3,去括號：2x—5+3x—6=3x—3,移項，合同時：2x=8,系數(shù)化

為1：x=4,經(jīng)檢驗，x=4是原分式方程的解.

222_

21.（2021山東濱州，21,10分）先化簡，再求值：（工_一一尸）2苫二J其中x是不等式組

xTx2-1X2-2X+1

'x-3（x-2）44,

'2x-3<5-x的整數(shù)解?

3^~2~

【解題環(huán)節(jié)】

3,22r1、2

解：原式=[,x+xxplxzlL.

(x+1)(x-1)(x+1)(x-l)x(x-l)

—x?.(x-l)2

(x+1)(x-l)x(x-l)

解不等式組，得1WXV3,...........................................................................................7分

那么不等式組的整數(shù)解為1,2....................................................................................8分

當(dāng)x=l時，原式無意義；.............................................9分

當(dāng)x=2,.?.原式=且................................................10分

3

x+41

17,(2)(2021?溫州)

X2+3x3x+X2

x+4-1x+3_x+31

【解題環(huán)節(jié)】原式=

x2+3xx2+3xx(x+3)x

19.（2021山東威海，19,7）列方程解使用題

小明和小剛商定周末到某體育公園去打羽毛球.他們到體育公園的間隔分不為1200米，300米.小剛騎自行車的

速率是小明步行速率的3倍，如果二人同時到達(dá)，那么小明需提前4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速率.

【解題環(huán)節(jié)】設(shè)小明的速率為x米/分鐘，那么小剛的速率為3x米/分鐘,

1000,3000

依照題意，得------4=-----

x3x

解得X—50

經(jīng)檢驗，得x=50是分式方程的解，

所以,3x=150.

答：小明和小剛兩人的速率分不為50x米/分鐘，小剛的速率為150米/分鐘.

20.(2021山東省青島市，20,8分)甲、乙兩人加工同一種零件，甲天天加工的數(shù)量是乙天天加工數(shù)量的1,

5倍，兩人各加工600個這類零件，甲比乙少用5天.

(1)求甲、乙兩人天天各加工幾個這類零件

(2)已知甲、乙兩人加工這類零件天天的加工費分不為150元和120元，現(xiàn)有3000個這類零件的加工任務(wù)，甲

單獨加工一段時候后另有放置，剩余任務(wù)由乙單獨實現(xiàn).介入總加工費不超過7800元，那么甲加工了幾天？

【解題環(huán)節(jié)】解：(1)設(shè)乙天天加工x個零件，那么甲天天加工1.5x個零件，由題意得：—=—+5

x1.5x

化簡得600x1.5=600+5x1.5%

解得x=40

.?」.5x=60經(jīng)檢驗，x=40是分式方程的解且吻合事實意義.

答：甲天天加工60個零件，乙天天加工，40個零件.

(2)設(shè)甲加工了x天，乙加工了y天，那么由題意得

f60x+40y=30000.?曰_

\，二由①得y=75-I.5x③

[150X+120y?7800@

將③代入②得150x+120(75-1.5x)?7800

解得X..40,

答：甲至少加工了40天.

24.(2021?衡陽)某商店購進(jìn)A、8兩種商品，采辦1個A商品比采辦1個B商品多花10元,同時且破費300

元采辦A商品和破費100元采辦8商品的數(shù)量相等.

(1)求采辦一個A商品和一個8商品各需幾元：

(2)商店籌辦采辦A、B兩種商品共80個，如果A商品的數(shù)量非常多于8商品數(shù)量的4倍,同時且采辦A、

B商品的總破費不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種采辦方案？

解：(1)設(shè)買一個5商品為x元，那么買一個A商品為(x+10)元，那么生-=他，解得

x=5元.所以買

x+10x

一個4商品為需要15元，買一個8商品需要5元.

（2）設(shè)買4商品為y個，那么買B商品（80-y）

y>4(80-y)

由題意得

1000<15y+5(80-y)<1050

解得64<3<65；

所以兩種方案：①買A商品64個，8商品16個；②買A商品65個，B商品15個.

20.（2021?黃岡）為了對學(xué)生履行革命傳統(tǒng)教導(dǎo)，紅旗中學(xué)開展了“清明節(jié)祭掃”運(yùn)動.全校學(xué)生從學(xué)校同時出發(fā)，

步行4000米到達(dá)烈士懷念館.學(xué)校要求九（1）班提前到達(dá)企圖地，做好運(yùn)動的籌辦任務(wù).行走環(huán)節(jié)中，九（1）班

步行的平均速率是其他班的1,25倍，結(jié)論比其他班提前10分鐘到達(dá).分不求九（/）班、其他班步行的平均速

率.

【解題環(huán)節(jié)】

解：設(shè)其他班的平均速度為X米/分，則九（D班的平均速度為L25X米/分，依題意得:

40004000

———^=10,

x1.25x

解得：x=80.

經(jīng)檢險：x=80是所列方程的解.

此時，1.25x=1.25X80=100.

答：九（D班的平均速度為100米/分，其他班的平均速度為80米/分.

1,（2021?自貢）解方

程：—1.

x-1X

解：方程雙方乘以X（.L1）得，

x22(x-l)=x(x-l)

解得，x=2.

檢驗：當(dāng)x=2時，x(x-l)WO,

；.x=2是原分式方程的解.

原分式方程的解為尸2,

2,(2021?眉山)在我市“青山綠水”舉措中，某社區(qū)策劃對面積為36000?的區(qū)域履行綠化，經(jīng)

投標(biāo)由甲、乙兩個工程隊來實現(xiàn).已知甲隊天天能實現(xiàn)綠化的面積是乙隊天天能實現(xiàn)綠化面積的

2倍，介入兩隊各自獨立實現(xiàn)面積為6(X)0?區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用6天.

(1)求甲、乙兩工程隊天天各能實現(xiàn)幾面積的綠化；

(2)如果甲隊天天綠化破費是1,2萬元，乙隊天天綠化破費為0.5萬元，社區(qū)要使此次綠化的

總破費不超過40萬元，那么至少應(yīng)放置乙工程隊綠化幾天？

解：(1)設(shè)乙隊天天能實現(xiàn)的綠化面積為xnE那么甲隊天天能實現(xiàn)的綠化面積為2xm2,

依照題意，得：--—=6,解得：x=50,經(jīng)檢驗，x=50是原方程的解，...ZxEOO.

x2x

答：甲隊天天能實現(xiàn)的綠化面積為100m2,乙隊天天能實現(xiàn)的綠化面積為50m2-

（2）設(shè)甲工程隊施工a天，乙工程隊施工b天剛好實現(xiàn)綠化任務(wù).由題意得：100a+50b=3600,那么a=2^=

2

-4+36,依照題意，得：1,2義烏0+0.5bW40,解得：b》32,

22

答：至少應(yīng)放置乙工程隊綠化32天.

X

3,（2021?樂山）似圖，點A、B在數(shù)軸上，它們對應(yīng)的數(shù)分不為一2,——，且點A、8到原點的間隔

x+1

相等.求X的值.

AB

---------------1-------------------1

“°----------解：依照題意得：--2,

X+1

去分母，得x=2（x+l）,

去括號，得x=2x+2,

解得x=-2

經(jīng)檢驗，x=—2是原方程的解.

4,（2021?達(dá)州）端午節(jié)前后，弓長阿姨兩次到超市采辦同一種粽子，節(jié)前，按標(biāo)價采辦，用了96元；節(jié)后，

按標(biāo)價的6折采辦，用了72元，兩次一共采辦了27個，這類粽子的標(biāo)價是幾？

解：設(shè)粽子的標(biāo)價是x元，那么節(jié)后價鈔票為（）.6x,

依照題意得：—+—=27

x0.6%,

57,6+72=16,2x,

x=8,

經(jīng)檢驗：x=8是原分式方程的解，且吻合題意.

答：這類粽子的標(biāo)價是8元.

5,(2021?巴中)在“扶貧攻堅”運(yùn)動中，某單位策劃選購甲，乙兩種物品慰問貧困窘難戶，已知甲物品的單價

比乙物品的單價高10元，如果用500元單獨采辦甲物品與450元單獨采辦乙物品的數(shù)量同樣.

①叨教甲，乙兩種物