函數(shù)基礎(chǔ)知識梳理高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

函數(shù)基礎(chǔ)知識梳理一、函數(shù)的概念與表示【知識清單】1．函數(shù)的概念：設(shè)A，B是兩個，如果對于集合A中的一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使，在集合B中都有的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y＝f(x)，x∈A.在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的.特別地,如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有、圖象法和.4.分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的，其值域等于各段函數(shù)的值域的，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).【必備知識】1．常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為.(6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定義域為．(7)y＝tanx的定義域為.2．基本初等函數(shù)的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：當(dāng)a＞0時，值域為；當(dāng)a＜0時，值域為.(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是.補(bǔ)充(1)一次分式函數(shù)的值域；(2)函數(shù)的值域為；(3)函數(shù)的值域為；(4)函數(shù)的值域為；函數(shù)的值域為.二、函數(shù)的基本性質(zhì)【知識清單】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是的自左向右看圖象是的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．★函數(shù)單調(diào)性的證明：定義法“取值—作差—變形—定號—結(jié)論”。注意：函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不要用“∪”．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值3．奇偶性的定義:設(shè)y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。設(shè)y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇函數(shù)?！?.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)周期函數(shù)具有無數(shù)多個周期，如果它的周期存在著最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函數(shù)都有最小正周期，如常量函數(shù)；周期函數(shù)的定義域是無界的?！颈貍渲R】1．對勾函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的增區(qū)間為；減區(qū)間為，且對勾函數(shù)為奇函數(shù)．2．設(shè)?x1，x2∈D(x1≠x2)，則①eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)?f(x)在D上單調(diào)；②eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)?f(x)在D上單調(diào)．4.一般規(guī)律：（1）若f(x),g(x)均為增（減）函數(shù)，則f(x)+g(x)仍為增（減）函數(shù)；（2）若f(x)為增函數(shù)，則－f(x)為函數(shù)；（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減。5．函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(－x)=f(|x|)．(3)y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象(4)奇函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有的單調(diào)性．(5)若干個奇偶性相同的函數(shù)相加減，其奇偶性不變。若干個奇偶函數(shù)相乘除，當(dāng)奇函數(shù)個數(shù)為奇數(shù)是結(jié)果為奇函數(shù)，當(dāng)奇函數(shù)個數(shù)為偶數(shù)是結(jié)果為偶函數(shù)．（類似“負(fù)負(fù)得正”）【知識拓展】1.函數(shù)周期性常用結(jié)論：對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x,設(shè)a>0,(1)若f(x＋a)＝－f(x),則T＝．(2)若f(x＋a)＝,則T＝．(3)若f(x＋a)＝－,則T＝．(4)若f(x＋a)＝,則T＝．(5)若f(x＋a)＝,則T＝．(6)若,則T＝．2.對稱性的一般結(jié)論(1)函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)?函數(shù)y＝f(x)圖像關(guān)于對稱函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(x)＝f(b＋a－x)?函數(shù)y＝f(x)圖像關(guān)于x＝eq\f(a＋b,2)對稱．特例：函數(shù)y＝f(x)圖像關(guān)于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)；函數(shù)y＝f(x)圖像關(guān)于x＝0對稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))．(2)函數(shù)y＝f(x)圖像關(guān)于點(a，b)對稱?函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系.?函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系.特例：函數(shù)y＝f(x)圖像關(guān)于點(a,0)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函數(shù)y＝f(x)圖像關(guān)于點(0,0)對稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))．(3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)圖像y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱；y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)圖像y＝f(x)關(guān)于(a,0)對稱．3．函數(shù)對稱性與函數(shù)周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于直線對稱,則是周期函數(shù),且它的一個周期是.(2)若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且它的一個周期是.(3)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且它的一個周期是.4.函數(shù)是一個奇特的函數(shù)，該函數(shù)是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，但沒有最小正周期，也無法作出其圖象.5．函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性T=，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，對稱軸為，函數(shù)f(x)滿足，則的圖象以為對稱中心。三、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)【知識清單】1．根式（1）根式的定義:一般地，如果，那么叫做，其中，叫做根式，叫做根指數(shù)，叫被開方數(shù)。(2)根式的性質(zhì):①當(dāng)是奇數(shù)，則；當(dāng)是偶數(shù)，則.②負(fù)數(shù)沒有偶次方根，③零的任何次方根都是零2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：⑴⑵⑶.3．對數(shù)(1)對數(shù)的概念:如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)對數(shù)的性質(zhì)：①零與負(fù)數(shù)沒有對數(shù)②③④alogaN＝；⑤logaab＝b(a>0，且a≠1).(3)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝；②logaeq\f(M,N)＝；③logaMn＝(n∈R)；(4)換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).推論：；。4.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖象及性質(zhì)名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0,a≠1)定義域值域過定點圖象指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)圖象關(guān)于y=x對稱單調(diào)性值分布y>1?y<1?y>0?y<0?5.冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)①定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù).②熟記下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．(在同一坐標(biāo)系中畫出)③冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律：（Ⅰ）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點；（Ⅱ）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．6.二次函數(shù)(略)四、函數(shù)與方程【知識清單】1．函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=f(x),我們把叫做函數(shù)y=f(x)的零點.零點的等價性：函數(shù)y=f(x)有零點.2．零點存在性判斷法則：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是的一條曲線，并且有,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在c(a,b),使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.3.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根分布問題，記f(x)=ax2+bx+c(a>0)。（1）兩個正根（2）兩個負(fù)根（3）一個正根一個負(fù)根（4）兩個根都大于k（5）兩個根都小于k（6）一個根大于k一個根小于k（7）兩實根都在區(qū)間(m,n)內(nèi)（8）兩根分別在區(qū)間(m,n)和(p,q)(n<p)內(nèi)（9）兩實根中有且只有一個在區(qū)間(m,n)內(nèi)4．二分法的定義：對于在區(qū)間[a,b]上且的函數(shù)y=f(x)，通過不斷的把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫二分法．5．給定精度ε，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間，驗證，給定精度ε；(2)；(3)計算：若，則c就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）；若，則令（此時零點）；(4)判斷是否達(dá)到精度ε；即若，則得到零點零點值a（或b）；否則重復(fù)步驟2~4．6.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax7.利用描點法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點等)，描點，連線.8.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換ⅰ，———左“+”右“”；ⅱ———上“+”下“”；(2)對稱變換??；ⅱ；ⅲ；ⅳ；(3)伸縮變換ⅰ，（———縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍；ⅱ，（———橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的倍；(4)翻折變換ⅰ———右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；ⅱ———上不動，下向上翻（||在下面