2.4圓周角（十二大題型）（ 原卷版）

（蘇科版）九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)《第2章對稱圖形---圓》2.4圓周角知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一圓周角的概念◆1、圓周角定義:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.【特征】①角的頂點(diǎn)在圓上.②角的兩邊都與圓相交.◆2、圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系圓心角圓周角區(qū)別頂點(diǎn)在圓心頂點(diǎn)在圓上在同圓中，一條弧所對的圓心角是唯一的.在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數(shù)個(gè).聯(lián)系兩邊都與圓相交知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二圓周角定理及其推論◆1、圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等.◆2、圓周角與圓心角的位置有三種情況，如圖：即∠ABC=12∠◆3、圓周角定理的推論圓周角和直徑的關(guān)系：直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)◆1、圓內(nèi)接四邊形：一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.如右圖：四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形的外接圓.◆2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).如右圖：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.【例題1】A．20° B．25° C．35° D．45°解題技巧提煉利用“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”結(jié)合其它知識(shí)來求角的度數(shù)或線段長.【變式1-1】（2022?南京模擬）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A＝26°，則∠D的度數(shù)是（）A．26° B．38° C．52° D．64°【變式1-2】（2022?長沙縣校級(jí)開學(xué)）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，則∠OAB＝（）A．18° B．54° C．36° D．72°【變式1-3】（2023?蒲城縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，若AB＝10，BG＝2，則BE的長為（）A．3 B．4 C．6 D．8【變式1-4】（2023?綿陽二模）若A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，∠ABC＝150°，AC＝6，則⊙O的半徑是（）A．23 B．32 C．6 D【變式1-5】（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點(diǎn)E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度數(shù)是（）A．150° B．140° C．145° D．130°【變式1-6】（2023?云巖區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E、點(diǎn)F是⊙O上一點(diǎn)、連接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．（1）求證：DF平分∠BFC；（2）設(shè)AB交DF于點(diǎn)G、且DE＝GE，求∠DCF的度數(shù)．題型二同弧或等弧所對圓周角相等的運(yùn)用題型二同弧或等弧所對圓周角相等的運(yùn)用【例題2】（2022?濱州）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（）A．32° B．42° C．52° D．62°解題技巧提煉利用“同弧或等弧所對的圓周角相等”，以及其它的知識(shí)來求解.【變式2-1】（2022?枝江市一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，則∠CED的度數(shù)是°．【變式2-2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝50°，點(diǎn)D是弧BAC上一點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．80° D．20°題型三直徑所對的圓周角是90°的運(yùn)用題型三直徑所對的圓周角是90°的運(yùn)用【例題3】如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點(diǎn)G．若∠COD＝126°，求∠解題技巧提煉當(dāng)有直徑時(shí)，常用直徑所對的圓周角是90°，構(gòu)造直角三角形來進(jìn)行解題.【變式3-1】（2022?蘭州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【變式3-2】（2022?德城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A．22 B．32 C．5 D．22+【變式3-3】（2023?安徽二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)C、E分別在AB兩側(cè)，且E為半圓AB的中點(diǎn)．（1）求△ABC的面積；（2）求CE的長．題型四圓周角定理中的多結(jié)論問題題型四圓周角定理中的多結(jié)論問題【例題4】下列命題中，正確的有（）①頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角；②圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；③90°的圓周角所對的弦是直徑；④圓周角相等，則它們所對弧也相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解題技巧提煉主要利用的是圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一的判斷即可．【變式4-1】如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個(gè)說法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOCA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式4-2】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接OD、AD，則以下結(jié)論：①D是BC的中點(diǎn)；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分線；④OD∥AC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式4-3】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，AC=CD=DB，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4題型五與圓周角定理有關(guān)的證明題型五與圓周角定理有關(guān)的證明【例題5】（2023?海珠區(qū)一模）如圖，⊙O中，AB＝CD，求證：△ABE≌DCE．解題技巧提煉主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖，在⊙O中，AB＝CD，弦AB與CD相交于點(diǎn)M．（1）求證：AC=（2）連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑，求證：∠BAC+2∠BAD＝90°．【變式5-2】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，BE交AD于點(diǎn)F，且AB=AE，求證：AF＝【變式5-3】（2023?沂源縣一模）如圖，點(diǎn)B，C為⊙O上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC，交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，且AC平分∠BAD，連接CE．（1）求證：AD∥EC；（2）連接EA，若BC＝CD，試判斷四邊形EBCA的形狀，并說明理由．【變式5-4】（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CE⊥AB于E，D為弧BC的中點(diǎn)，連接AD，分別交CE、CB于點(diǎn)F和點(diǎn)G．（1）求證：CF＝CG；（2）如圖2，若AF＝DG，連接OG，求證：OG⊥AB．題型六利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度題型六利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度【例題6】（2022?云巖區(qū)模擬）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D＝50°，則∠B為（）A．140° B．130° C．120° D．100°解題技巧提煉主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定理，還結(jié)合圖形的其它性質(zhì)求角的度數(shù).【變式6-1】（2022?皇姑區(qū)一模）如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五個(gè)點(diǎn)，圓心O在AD上，∠BCD＝110°，則∠AEB的度數(shù)為（）A．70° B．35° C．40° D．20°【變式6-2】（2023?山西模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【變式6-3】（2022?通榆縣模擬）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠BAD＝108°，E是BC延長線上一點(diǎn)，若CF平分∠DCE，則∠DCF的大小是（）A．52° B．54° C．56° D．60°【變式6-4】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF．（1）求證：∠E＝∠C；（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度數(shù)．題型七利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長題型七利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長【例題7】（2023?碭山縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，則A．52 B．5 C．52 D解題技巧提煉主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，結(jié)合圖形的其它性質(zhì)轉(zhuǎn)化角之間的關(guān)系，同時(shí)還要利用勾股定理等知識(shí)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.【變式7-1】（2022?青島一模）如圖，A、B、C、D是半徑為4cm的⊙O上的四點(diǎn)，AC是直徑，∠D＝45°，則AB＝cm．【變式7-2】（2023?寶雞二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，連接OA、OC，則OA的長為（）A．4 B．22 C．3 D．【變式7-3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長為（）A．4 B．722 C．532【變式7-4】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，與BD交于點(diǎn)G．（1）求證：BG＝CG；（2）若OF＝1，求AD的長．題型八利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積題型八利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積【例題8】（2023?江岸區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判斷△ABC的形狀，并證明；（2）若CP=6，BC=27，求S解題技巧提煉主要是利用圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023?和平區(qū)模擬）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠ABC＝60°，對角線BD平分∠ADC，過點(diǎn)B作BE∥CD交DA的延長線于點(diǎn)E，若AD＝2，DC＝3，則△BDE的面積為．【變式8-2】如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）請判斷△ABC的形狀？說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P位于AB的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．題型九利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷結(jié)論題型九利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷結(jié)論【例題9】（2023?安陽一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，四邊形ABOD是平行四邊形，則下列結(jié)論：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2有（）?A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解題技巧提煉多結(jié)論的判斷主要利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、等腰三角形的判定等知識(shí)對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022秋?永吉縣期中）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD把它的4個(gè)內(nèi)角分成了8個(gè)角，在結(jié)論①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式9-2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列結(jié)論：①線段AC為⊙O的直徑；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)題型十利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明題型十利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明【例題10】已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求證：△解題技巧提煉利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長DC，AB交于點(diǎn)E，且BE＝BC，求證：△ADE是等腰三角形．【變式10-2】（2022秋?甘井子區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D、E在⊙O上，OD∥BE，連接AD并延長交BE延長線于C．求證：DC＝DE．【變式10-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點(diǎn)E．求證：BD＝BC．【變式10-4】（2023?南寧二模）如圖，四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD是對角線，過點(diǎn)A作EA⊥AD交DB的延長線于點(diǎn)E，AB＝AC．（1）求證：∠ABE＝∠ACD；（2）連接BC，若BC為⊙O的直徑，求證：BE＝CD．題型十一利用圓周角定理解決最值問題題型十一利用圓周角定理解決最值問題【例題11】（2023?六盤水二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接MN，則線段MN的最小值為．解題技巧提煉求最值問題時(shí)利用圓周角定理，以及“垂線段最短”，“兩點(diǎn)之間線段最短”，“三角形的三邊關(guān)系”等知識(shí)，圓中的最值問題，關(guān)鍵是找到運(yùn)動(dòng)軌跡.【變式11-1】（2022?淮南一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OB＝2，則CE+DE長的最小值為．【變式11-2】（2022秋?沈河區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點(diǎn)，P為弧AC上任意一點(diǎn)，AD⊥AP交BP于D，連CD．若BC＝6，則CD的最小值為．【變式11-3】（2023?興化市開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，點(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），以AF為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，連接DB交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上移動(dòng)時(shí)，則CE的最小值為．?【變式11-4】（2022秋?紅橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．（1）EF＝；（2）點(diǎn)P在MN上運(yùn)動(dòng)，則PA+PC的最小值為．題型十二圓周角定理的綜合應(yīng)用問題題型十二圓周角定理的綜合應(yīng)用問題【例題12】（2023?河西區(qū)校級(jí)三模