專題6.2 相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（壓軸題專項(xiàng)講練）（蘇科版）（解析版）

專題6.2相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【典例1】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒（1）若△BPQ與△ABC相似，求（2）直接寫出△BPQ是等腰三角形時(shí)t（3）如圖2，連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理可得AB=10cm，分兩種情況：①△BPQ～△BAC，②（2）分三種情況：①當(dāng)PB=PQ時(shí)，過(guò)P作PH⊥BQ，則BH=12BQ=4-2t，PB=5t，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到PBAB=BHBC，進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)AQ，CP交于點(diǎn)N，過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得PM=3tcm，BM=4t【解題過(guò)程】解：（1）∵∠ACB=90∴AB=由題意得：BP=5分以下兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ～△BAC即5t解得t=1②當(dāng)△BPQ～△BCA即5t解得t=綜上，t的值為1或4132（2）解：分三種情況：①當(dāng)PB=PQ時(shí)，如圖，過(guò)P作則BH=12∵PH⊥BQ，∴PH∥∴PBAB=BH解得：t=②當(dāng)PB=BQ時(shí)，即解得：t=③當(dāng)BQ=PQ時(shí)，如圖，過(guò)Q作QG⊥AB則BG=12∵∠QBG=∴△BGQ～∴BGBC=BQ解得：t=綜上所述：△BPQ是等腰三角形時(shí)t的值為：23或89（3）解：如圖，設(shè)AQ，CP交于點(diǎn)N，過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)∵PM⊥∴PM∥∴△BPM∴BPBA=PM解得PM=3tcm∴MC=∵∠QAC+∴∠QAC=在△ACQ和△CMP中，∴△ACQ～∴ACCM=CQ解得t=經(jīng)檢驗(yàn)t=1．（2022·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)即停．當(dāng)以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．2411秒 B．95秒 C．2411秒或9【思路點(diǎn)撥】首先設(shè)t秒鐘ΔABC與以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形相似，則BP=t，CQ=2t，BQ=BC-CQ=6-2t，然后分兩種情況當(dāng)ΔBAC∽ΔBPQ【解題過(guò)程】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．BP=t，CQ=2t，BQ=BC-CQ=6-2t，當(dāng)ΔBAC∽ΔBPQ即t8解得t=24當(dāng)ΔBCA∽ΔBPQ即t6解得t=9綜上所述，當(dāng)以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2411s或故選：C．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以A，P，B為頂點(diǎn)的三角形與△PDC相似，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】設(shè)AP＝x，則PD＝AD﹣AP＝10﹣x，然后分類討論：若∠APB＝∠DPC，則Rt△APB∽R(shí)t△DPC，得到比例式，代入求出即可；若∠APB＝∠PCD，則Rt△APB∽R(shí)t△DCP，得到比例式，代入求出即可．【解題過(guò)程】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，設(shè)AP＝x，則PD＝AD﹣AP＝10﹣x，若∠APB＝∠DPC，則Rt△APB∽R(shí)t△DPC，∴APPD＝ABCD，即解得：x＝5；若∠APB＝∠PCD，則Rt△APB∽R(shí)t△DCP，∴ABDP＝APCD，即解得：x＝1或9；所以當(dāng)AP＝1或5或9時(shí)，以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與以P，D，C為頂點(diǎn)的三角形相似，即這樣的P點(diǎn)有三個(gè)．故選：C．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，點(diǎn)P是從點(diǎn)B出發(fā)在射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的速度是1㎝/s，連接PC、PD．若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△PAD與△PBC是相似三角形，分點(diǎn)P在線段BA上時(shí)和點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，每種情況下，分別求出當(dāng)△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP時(shí)t的值，即可得出答案．【解題過(guò)程】解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△PAD與△PBC是相似三角形，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，∵AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，∴PB=t，PA=7-t，當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，有PAPB∴7-tt=26，解得當(dāng)△PAD∽△CBP時(shí)，有PACB∴7-t6=2t，解得t=3當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，PB=t，PA=t-7，同理：當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，解得t=212當(dāng)△PAD∽△CBP時(shí)，解得t=7±97∵t＞0，∴t=7+97綜上所述，t=214或t=3或t=4或t=212或t=即滿足條件的點(diǎn)P共有5個(gè)，故A正確．故選：A．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為8，E為AD中點(diǎn)，線段PQ在邊DC上從左向右以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，PQ=3，從P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，到Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連結(jié)BE?EP?BQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列4個(gè)結(jié)論：①當(dāng)t=1時(shí)，△BAE≌△BCQ；②只有當(dāng)t=53時(shí)，以點(diǎn)E?D?P構(gòu)成的三角形與△BCQ相似；③四邊形EPQB的周長(zhǎng)最小等于A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“SAS”即可判斷①；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，即可判斷②，用含t的代數(shù)式表示出EP+BQ，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及對(duì)稱性，即可求出EP+BQ的最小值，進(jìn)而即可判斷③；用含t的代數(shù)式表示四邊形EPQB的面積，結(jié)合0≤t≤5，即可判斷④．【解題過(guò)程】解：由題意得：當(dāng)t=1時(shí)，CQ=8-3-1=4，AE=12AD=12∴AE=CQ，∵在正方形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=CB，∴△BAE≌△BCQ，故①正確；∵∠D=∠C=90°，∴點(diǎn)E?D?P構(gòu)成的三角形與△BCQ相似時(shí)，∴4t=88-3-t或∴②正確；∵EP=42+t2=∴EP+BQ可以看作是點(diǎn)(t，0)到點(diǎn)(0，4)與點(diǎn)(5，8)的距離之和，∴EP+BQ的最小值=點(diǎn)(0，-4)與點(diǎn)(5，8)的距離=0-52∴四邊形EPQB的周長(zhǎng)最小值=BE+PQ+13=42+8故③正確；∵四邊形EPQB的面積=8×8-164-16-12?4t-又∵0≤t≤5，∴四邊形EPQB的面積最大值=2×5+28=38，故④正確．故選D．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有一正方形ABCD，邊長(zhǎng)為62，E是邊CD上的中點(diǎn)，對(duì)角線BD上有一動(dòng)點(diǎn)F，當(dāng)△ABF與△DEF相似時(shí)，BF的值為_(kāi)_________【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得出比例式解答即可．【解題過(guò)程】解：∵四邊形ABCD是正方形∴BC＝CD＝62，∠C＝∵E是邊CD上的中點(diǎn)∴DE＝CE＝12CD＝在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝BC設(shè)BF＝x，則有DF＝12﹣x，①當(dāng)△ABF∽△FDE時(shí)，由DFBA=DEBF解得x＝6．②當(dāng)△ABF∽△EDF時(shí)，由DFBF=DE解得，x＝8，綜上所述，BF的值為6或8．故答案為：6或8．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿射線DC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥DE于點(diǎn)F，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)_____秒時(shí)，以P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△AED相似．【思路點(diǎn)撥】分兩種情形：①如圖，當(dāng)△PFE∽△EAD時(shí)，②如圖，當(dāng)△EFP∽△EAD時(shí)，分別求解即可．【解題過(guò)程】解：①如圖，當(dāng)△PFE∽△EAD時(shí)，∴∠ADE=∠FEP，∴AD∥PE，∴PE⊥CD，∴四邊形AEPD是矩形，∵四邊形ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，∴t=DP=AE=1；②如圖，當(dāng)△EFP∽△EAD時(shí)，∴∠ADE=∠FPE，∠AED=∠FEP，∵DC∥AB，∴∠AED=∠CDE，∴∠FEP=∠CDE，∴PD=PE，∴PF是DE的垂直平分線，∴F為DE中點(diǎn)，DE=AE2EF=DF=12DE=5∵DAPF即15解得t=DP=52綜上所述，滿足條件的t的值為1s或52s故答案為：1或527．（2022·廣東佛山·九年級(jí)期末）如圖，△ABC中AB=AC，A(0，8)，C(6，0)，D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的53倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為_(kāi)___________【思路點(diǎn)撥】過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AC交于H點(diǎn)，交AO于D點(diǎn)，連接CD，設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在CD上的運(yùn)動(dòng)速度為v，t=1v(AD53+CD)，只需AD53+CD最小即可，再證明ΔADH∽ΔACO，可得【解題過(guò)程】解：過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AC交于H點(diǎn)，交AO于D點(diǎn)，連接CD，∵AB=AC，∴BD=CD，設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在CD上的運(yùn)動(dòng)速度為v，∵點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的53∴t=AD∵∠AHD=∠AOC=90°，∴Δ∴ADAC∵A(0,8)，C(6,0)，∴OC=6，OA=8，∴AC=10，∴AD10∴DH=AD∴t=1當(dāng)B、D、H點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，t=1v×BH∵∠BDO=∠ADH，∴∠DBO=∠OAC，∴Δ∴DOBO=OC∴DO=9∴D(0,92故答案為：(0,98．（2022·湖北武漢·一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AE，垂足為F．當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則PA的值為_(kāi)_____．【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)，分在線段AD上和線段AD的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可得答案．【解題過(guò)程】解：∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=2，如圖，若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB．∴PE//AB．∴四邊形ABEP為矩形．∴PA=EB=2，如圖，若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF，∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)．∵AE=A∴EF=1∵PEAE即PE2∴PE=5∴PA=PE=5綜上所述：AP的值為2或5，故答案為：2或5．9．（2022·浙江紹興·九年級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD，E，F(xiàn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以1cm/s速度沿射線AB，射線BC運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AF，DE交于點(diǎn)P，G為AD中點(diǎn)，連結(jié)PG，PB，若△PDG與△ABP相似，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為_(kāi)_____．【思路點(diǎn)撥】分兩種情況：①E點(diǎn)在AB上；②E點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t即可．【解題過(guò)程】解：分兩種情況：①如圖1，E點(diǎn)在AB上時(shí)，∵AD=BA,AE=BF,∠DAE=∠ABF=90°，∴△ADE≌△BAF(SAS)，∴DE=AF，∠ADE=∠BAF，∵∠ADE+∠DEA=90°，∴∠BAF+∠DEA=90°，∴∠APD=90°，AF⊥DE．DE=5AP=AD·AEDP=25-∵Δ∴∠PDG=∠BAP，∠PGD與∠BPA是鈍角，∴DGAP=PD解得t=5；②如圖2，E點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，∵AD=BA,AE=BF,∠DAE=∠ABF=90°，∴△ADE≌△BAF(SAS)，∴DE=AF，∠ADE=∠BAF，∵∠ADE+∠DEA=90°，∴∠BAF+∠DEA=90°，∴∠APD=90°，AF⊥DE．DE=5AP=AD·AEDP=25-∵△PDG與△ABP，分論討論，當(dāng)ΔPDG∽∴DGAP=PD解得t=0，即用時(shí)5秒，不合題意舍去；當(dāng)ΔPDG∽∴DGAB=PD解得t=5，即用時(shí)10秒，符合題意；綜上：若△PDG與△ABP相似，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為5或10，故答案為：5或10．10．（2022·遼寧·鞍山市第二十六中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．(1)當(dāng)PQ∥BC時(shí)，求(2)△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例，列比例式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分類討論：①△APQ∽△CQB，②當(dāng)△APQ∽△CBQ，利用相似的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，列式計(jì)算即可．【解題過(guò)程】（1）解：當(dāng)PQ∥BC時(shí)，AP：AB＝AQ：∵AP＝4x，AQ＝30－3x，∴4x解得：x＝103（2）解：∵BA＝BC∴∠A①當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，有APCQ即：4x解得：x=∴AP=4x=②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，有APBC即：4x解得：x＝5或x＝－10（舍去），∴PA＝4x＝20（cm），綜上所述，當(dāng)AP＝409cm或20cm時(shí)，△APQ與△CQB11．（2022·福建省大田縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在三邊互不相等的△ABC中，AB=8cm，BC=16cm．動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q就不再運(yùn)動(dòng)．設(shè)(1)證明：當(dāng)x=2時(shí)，△BPQ?(2)若△BPQ?與△ABC相似，求x【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)x=2，動(dòng)點(diǎn)P的速度為2cm/秒，動(dòng)點(diǎn)Q的速度為4cm/秒，求出AP=2×2=4，BQ=2×4=8，得到BP=AB-AP=4，推出BPBA=BQ（2）根據(jù)△BPQ?與△ABC相似，分△BPQ?∽△BAC或△BPQ?∽△BCA兩種情況，當(dāng)△BPQ?∽△BAC時(shí)，推出BPBA=BQBC，得到8-2x【解題過(guò)程】解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，AP=2×2=4，BQ=2×4=8，∴BP=AB-AP=4，∴BPBA又∵∠B=∠B，∴△BPQ?（2）∵△ABC的三邊互不相等，∴若△BPQ?與△ABC相似，則△BPQ?∽△BAC當(dāng)△BPQ?∽△BAC時(shí)，∴8-2x8解得x=2，當(dāng)△BPQ?∽△BCA時(shí)，∴8-2x16解得x=0.8．∴若△BPQ?與△ABC相似，則x=2或x=0.812．（2022·山東·滕州市南沙河鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=10cm，OB=5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO邊向點(diǎn)O以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用(1)用含t的代數(shù)式表示：線段PO=cm；OQ=cm．(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ的面積為19cm(3)當(dāng)△POQ與△AOB相似時(shí)，求出t的值．(4)求當(dāng)t為何值時(shí)，線段PQ分三角形AOB的面積比為6:19．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)P,Q的速度，即可表示出PO,OQ的長(zhǎng)度；（2）由S四邊形（3）由題意知：分兩種情況OPOA=OQ（4）當(dāng)線段PQ分三角形面積比為6:19時(shí)，則S△OPQ=6【解題過(guò)程】解：（1）解：PO=2tcm，OQ=(5-t)cm故答案為：2t，(5-t)；（2）∵S即19=1解得：t=2或3，∴當(dāng)t=2或3時(shí)，四邊形PABQ的面積為19cm（3）∵△POQ與△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，∴OPOA=OQ①當(dāng)OPOA則2t10∴t=5②當(dāng)OPOB則2t5∴t=1，綜上所述，當(dāng)t=52或1時(shí)，△POQ與（4）當(dāng)線段PQ分三角形AOB的面積比為6:19時(shí)，則S△OPQ=6∴12×2t(5-t)=6解得t=2或3，∴當(dāng)t=2或3時(shí)，線段PQ分三角形AOB的面積比為6:19．13．（2022·浙江金華·九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，BC>CD，BC,CD分別是一元二次方程x2-14x+48=0的兩個(gè)根，連結(jié)BD，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以1個(gè)單位每秒速度，沿BD方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以同樣的速度沿射線DA運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.以PQ為斜邊作RtΔPQM，使點(diǎn)M落在線段(1)求線段BD的長(zhǎng)度；(2)求ΔPDQ(3)當(dāng)ΔPQM與ΔBCD相似時(shí)，求t【思路點(diǎn)撥】（1）先解方程求出BC,CD的長(zhǎng)度，再由勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)度；（2）用時(shí)間t分別表示QM,PD，即可表示出ΔPDQ（3）用時(shí)間t分別表示QM,PM的長(zhǎng)，再利用相似三角形列方程計(jì)算即可，需要注意分類討論.【解題過(guò)程】解：（1）解方程x2-14x+48=0x=6或x=8∵BC>CD，BC,CD分別是一元二次方程x2∴BC=8，CD=6，∵矩形ABCD∴∠A=∠C=90°∴BD=（2）由題意得：DQ=BP=t，∠QMP=90°∴PD=BD-BP=10-t，Δ∴DQ∴t∴DM=4t5∴S∴ΔPDQ面積的最大值為15（3）當(dāng)M在P右邊時(shí)，如圖所示此時(shí)10-t>4t5PM=PD-DM=10-t-當(dāng)ΔPQM～∴QM∴3t解得t=50當(dāng)ΔPQM～∴QM∴3t解得t=40同理，當(dāng)M在P左邊時(shí)，509<t≤10當(dāng)ΔPQM～Δ當(dāng)ΔPQM～Δ綜上，當(dāng)t=5013或409或20027或10，Δ14．（2022·上海市市北初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知ΔABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把線段AB沿射線BC方向平移至PQ，直線PQ與直線AC交于點(diǎn)E，又連接BQ與直線AC交于點(diǎn)D(1)若BP=3，求AD的長(zhǎng)；(2)設(shè)BP=x，DE=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)BP為多少時(shí)，以Q、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．【思路點(diǎn)撥】（1）連接AQ，由平行四邊形的判定定理可得出四邊形ABPQ是平行四邊形，進(jìn)而可得出ΔADQ∽（2）由平行線分線段成比例定理可知CECA=CPCB，ADDC=AQBC，再根據(jù)點(diǎn)（3）先由相似三角形的判定定理得出ΔEDQ∽ΔADB，Δ【解題過(guò)程】解：（1）連接AQ∵AB∥PQ∴四邊形ABPQ是平行四邊形，∴AQ∥PB∴Δ∵BP=3∴AQ=3∵AQBC∴35∴AD=9（2）∵AB∥PQ，∴CECA=∵AB=4，BC=5，AC=6，BP=x，DE=y，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，∴CE6=AD6-AD=∴y=DE=6-AD-CE=當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∴CE6=AD6-AD=∴y=DE=6-AD+CE=綜上所述，y=（3）∵AB∴Δ又以Q、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC∴ΔADB與∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC∴∠ABD=∠ACB∴ADAB=由（2）知，AD=∴6xx+5=綜上所述，當(dāng)BP為4時(shí)，以Q、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC15．（2022·福建·將樂(lè)縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期中）已知：E是矩形ABCD的邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線EF⊥DE交BC于點(diǎn)F，(1)求證：△ADE∽△BFE；(2)若直線EF經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，且AD=3,AB=10，是否存在這樣的點(diǎn)E，使△ADE和△BFE相似？若存在，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)連結(jié)DF，若AD=3，AE=2，當(dāng)△ADE和△EFD相似時(shí)，則AB=【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，以及同角的余角相等，即可得證；（2）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例列式計(jì)算即可；（3）分△ADE∽△EFD和ΔADE∽【解題過(guò)程】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠AED=∠BFE，∴△ADE∽△BFE；（2）設(shè)AE=x，則BE=10-x，由題意得：BF=BC=AD=3，∵△ADE∽△BFE，∴ADBE∴310-x解得：x=1或9，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1或9是分式方程的根，∴AE=1或9；（3）連接DF．當(dāng)△ADE∽△EFD時(shí)，則ADDE∴DFEF∵△ADE∽△BFE，∴ADEB∵AD=3，∴BE=2，∴AB=AE+BE=2+2=4；當(dāng)△ADE∽△EFD時(shí)，則ADEF∴DEEF∵△ADE∽△BEF，∴ADEB∵AD=3，∴BE=9∴AB=AE+EB=2+9綜上所述，滿足條件的AB的值為4或13216．（2022·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)CA=CP時(shí)，求AP的長(zhǎng)；(2)當(dāng)CP平分∠ACB時(shí)，求點(diǎn)P到BC的距離；(3)過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，PQ交邊CB于Q，設(shè)AP=x，BQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域．【思路點(diǎn)撥】（1）由勾股定理求AB，作CD⊥AB，等積法求CD，由勾股定理求AD，三線合一求AP=2AD即可．（2）作PQ⊥BC，PE⊥AC，由角平分線性質(zhì)得PE=PQ，由SΔAPC:SΔ（3）由ΔBPQ∽ΔBAC得BPAB=BQBC【解題過(guò)程】（1）解：如圖：∵RtΔABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4∴AB=A作CD⊥AB，∴即12∴CD=在RtΔADC中AD=∵CA=CP,CD⊥AB∴AP=2AD=4故答案為：45（2）解：如圖過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，PE⊥AC，垂足分別為Q、E，∵CP平分∠ACB，∴PE=PQ，∴S∴S∴12BC?PQ=83，即故答案為：43（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，∵PQ⊥BC，∴PQ∥AC，∴Δ∴BPAB∴25∴y=-故答案為：y=-217．（2022·江蘇·江陰市長(zhǎng)涇第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作∠DEF=90°，EF交射線BC于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，△BED的面積為y．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，求△BED的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB于H．通過(guò)相似三角形得出的成比例線段可求出EH的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形BED的面積公式得出y,x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)∠DEF=90°且EF交射線BC于點(diǎn)F求得x的取值范圍；（2）若兩三角形相似，則∠BEF=∠BDF，分別過(guò)E，D作EH⊥BC于H，DM⊥AB于M，根據(jù)∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角，因此∠MDE=∠FEB=∠FDE．因此可得出EM=EH，可根據(jù)EM，EH的不同的表示方法，來(lái)得出含x的等式，從而求出【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB于H．∴EH在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=A∵E為AB上動(dòng)點(diǎn)可與A、當(dāng)x=5時(shí)，E為AB的中點(diǎn)，ED∥AC，∠DEF=90°，此時(shí)EF∥BC，設(shè)C到AB的距離為h，則h=當(dāng)ED⊥AB時(shí)，DE=1此時(shí)BE=DB2-DE2=∴0≤x≤165∵EH∴△BEH∽△BAC∴EHEH=∴S△DEB∴y=65（2）由題意知∠BEF≠90°，故可以分兩種情況．①如圖2，當(dāng)∠BEF為銳角時(shí)，由已知以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BA于M，過(guò)E作EH⊥BC于∴∠MDE=∠HDE，∴EM=EH．由EM=MB-EB=又∵EH=∴165解得x=2∴y=②如圖3，當(dāng)∠BEF為鈍角時(shí)，同理可求得x-∴x=8．∴y=綜上所述，△BED的面積是125或4818．（2022·吉林吉林·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，AB、BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根，其中BC＞AB，OA=2OB，邊CD交y軸于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)E出發(fā)沿折線段ED—DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜6）秒，設(shè)△BOP與矩形AOED重疊部分的面積為s．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△BEP為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）解方程求出x的值，由BC>AB，OA=2OB可得答案；（2）設(shè)BP交y軸于點(diǎn)F，當(dāng)0?t?2時(shí)，PE=t，由ΔOBF∽ΔEPF知OFEF=OBEP，即OF4-OF=1t，據(jù)此得OF=4t+1（3）設(shè)P(-2,m)，由B(1,0)，E(0,4)知BP2=9+m2【解題過(guò)程】解：（1）∵x∴x1=3∵BC>AB，∴BC=4，AB=3，∵OA=2OB，∴OA=2，OB=1，∵四邊形ABCD是矩形，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,4)（2）設(shè)BP交y軸于點(diǎn)F，如圖1，當(dāng)0?t?2時(shí)，PE=t，∵CD//AB，∴Δ∴OFEF=OB∴OF=4∴S=1如圖2，當(dāng)2<t<6時(shí)，AP=6-t，∵OE//AD，∴Δ∴OFAP=OB∴OF=6-t∴S=1綜上所述，S=2t（3）由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，顯然不能構(gòu)成等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)P在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P(-2,m)，∵B(1,0)，E(0,4)，∴BP2=9+m2①當(dāng)BP=BE時(shí)，9+m2=17則P(-2，22②當(dāng)BP=PE時(shí)，9+m2=則P(-2,11③當(dāng)BE=PE時(shí)，17=m2-8m+20則P(-2,4-13綜上，P(-2，22)或(-2,1119．（2022·山東·濟(jì)南陽(yáng)光100中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BCA＝90°,AC＝3,BC＝4，點(diǎn)P為斜邊AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作射線(1)問(wèn)題產(chǎn)生∶若P為AB中點(diǎn)，當(dāng)PD⊥AC,PE(2)問(wèn)題延伸：在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，PDPE(3)問(wèn)題解決：如圖3，連接DE，若△PDE與△ABC相似，求【思路點(diǎn)撥】（1）通過(guò)P為AB中點(diǎn)，PD⊥AC,PE⊥BC，可以得到：（2）過(guò)點(diǎn)P作PM∥BC,PN∥AC，得到PM,PN是（