6.1冪函數(shù)（原卷版）

【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．考點(diǎn)二：五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減考點(diǎn)三：一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．2．當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．【題型歸納】題型一：冪函數(shù)的定義1．（2023·江蘇·高一）在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．32．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在函數(shù)，中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023秋·廣東陽江·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．題型二：冪函數(shù)的值域問題4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高一）（1）函數(shù)的定義域是，值域是；（2）函數(shù)的定義域是，值域是；（3）函數(shù)的定義域是，值域是；（4）函數(shù)的定義域是，值域是．題型三：冪函數(shù)的定點(diǎn)和圖像問題7．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖象，已知取，四個(gè)值，則相應(yīng)于，，，的依次為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，9．（2022秋·江蘇連云港·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則的值等于（）A． B． C．2 D．題型四：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性10．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．11．（2021秋·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學(xué)校考期中）若冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．C．或2 D．12．（2020秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．題型五：冪函數(shù)的單調(diào)性問題（比較大小、解不等式、參數(shù)）13．（2023秋·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考期末）若函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（

）A． B．3 C．或3 D．2或14．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的a的取值范圍為（

）A． B．C． D．15．（2022秋·江蘇南通·高一海安高級(jí)中學(xué)校考期中）已知，，，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．題型六：冪函數(shù)的奇偶性問題16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的值為（

）．A． B．0 C．1 D．217．（2021·高一單元測(cè)試）已知是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足的實(shí)數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．18．（2021秋·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型七：冪函數(shù)的綜合性問題19．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若正數(shù)滿足，若不等式恒成立．求的最大值．20．（2022秋·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).(1)求的值，并確定的解析式；(2)令，求在的值域.21．（2022秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上單調(diào)遞減.(1)求f（x）的解析式；(2)若正數(shù)a，b滿足2a+3b＝4m，若不等式≥n恒成立，求實(shí)數(shù)n的最大值.【雙基達(dá)標(biāo)】單選題22．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．23．（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個(gè)（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件24．（2022秋·江蘇蘇州·高一星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┎坏仁降慕鉃椋?/p>

）A． B． C． D．25．（2022秋·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)校考期中）已知是冪函數(shù)，(1)若函數(shù)過定點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式和定義域；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.26．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上為增函數(shù)．(1)求表達(dá)式；(2)求滿足的的取值范圍．【高分突破】一、單選題27．（2022秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．的值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．28．（2022秋·江蘇蘇州·高一星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上有相同單調(diào)性的是（

）A． B． C． D．29．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．C．或 D．30．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)在［2，4]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．31．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域?yàn)椋?/p>

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．32．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題33．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．是偶函數(shù) D．的單調(diào)增區(qū)間為34．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．B．的定義域?yàn)镃．的值域?yàn)镈．的解集為35．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)校考期末）冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．函數(shù)是偶函數(shù)C． D．函數(shù)的值域?yàn)?6．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法不正確的有（

）A．函數(shù)是減函數(shù)B．函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1D．若函數(shù)是奇函數(shù)，則37．（2022秋·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)在定義域上為減函數(shù)C．函數(shù)的值域?yàn)?D．當(dāng)時(shí)，三、填空題38．（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）請(qǐng)寫出一個(gè)冪函數(shù)滿足以下條件：①定義域?yàn)?；②為增函?shù)．則．39．（2023春·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.40．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)（為常數(shù)）過點(diǎn)，則的最大值為.41．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，，且，滿足，若，，且，則的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④無法判斷．上述結(jié)論正確的是（填序號(hào)）．四、解答題42．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)若是冪函數(shù)，求實(shí)數(shù)，，的值；(2)如果，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最大值.43．（2022秋·高一單元測(cè)試）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，且，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．44．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在上是減函數(shù)