2023-2024學(xué)年四川省成都市錦江區(qū)高三上冊(cè)入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市錦江區(qū)高三上冊(cè)入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）模擬試題一、選擇題（共12小題）1．已知全集，，則A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，那么z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等差數(shù)列中，，直線過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．4．直線繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后所得的直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．直線過(guò)圓心 B．直線與圓相交，但不過(guò)圓心C．直線與圓相切 D．直線與圓無(wú)公共點(diǎn)5．剪（折）紙是幼兒園大班兒童的必修課，通過(guò)剪（折）紙，可以培養(yǎng)兒童的動(dòng)手能力和熱愛(ài)勞動(dòng)的優(yōu)秀品質(zhì)以及對(duì)藝術(shù)作品的欣賞能力．通過(guò)對(duì)正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形紙片進(jìn)行簡(jiǎn)單的裁前、折疊可以制作出三葉風(fēng)車、四葉風(fēng)車、五葉風(fēng)車、六葉風(fēng)車．如圖（1）是一個(gè)五葉風(fēng)車，圖（2）是正五邊形，若該正五邊形的邊長(zhǎng)為1，則（

）

A． B． C． D．6．如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個(gè)橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動(dòng)木條的處鉆一個(gè)小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內(nèi)移動(dòng)，可以放松移動(dòng)以保證與的長(zhǎng)度不變，當(dāng)各在一條槽內(nèi)移動(dòng)時(shí)，處筆尖就畫出一個(gè)橢圓.已知，且在右頂點(diǎn)時(shí)，恰好在點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．奇函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x），則使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范圍為（

）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．在新高考改革中，學(xué)生可先從物理、歷史兩科中任選一科，再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、政治、地理四門學(xué)科中任選兩科參加高考，現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生若按以上選科方法，選三門學(xué)科參加高考，則甲乙二人恰有一門學(xué)科相同的選法有（

）A． B． C． D．9．已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z＝的最小值為A．－1 B．－C． D．－11．，分別為菱形的邊，的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)不在平面內(nèi)，則在翻折過(guò)程中，下列選項(xiàng)正確的是（

）①平面；②異面直線與所成的角為定值；③在二面角逐漸變小的過(guò)程中，三棱錐外接球的半徑先變小后變大；④若存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直，則的取值范圍是A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④12．內(nèi)接于橢圓的菱形周長(zhǎng)的最大值和最小值之和是（

）A． B． C． D．上述三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)二、填空題（每題5分，共20分）13．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則．14．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距依次成等差數(shù)列，則這個(gè)雙曲線的漸近線方程為．15．如圖，已知圓柱底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線．若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)則小蟲爬行路線的最短長(zhǎng)度是．16．在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號(hào)）①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；②如果與都是無(wú)理數(shù)，則直線不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；③如果直線經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)，則直線必經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)；④直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù)；⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線.三、解答題（70分，17題10分，其余每題12分）17．為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校組織了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)，如圖，假設(shè)待測(cè)量的樹木的高度，垂直放置的標(biāo)桿的高度，仰角三點(diǎn)共線），試根據(jù)上述測(cè)量方案，回答如下問(wèn)題：（1）若測(cè)得，試求的值；（2）經(jīng)過(guò)分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，大家一致認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到樹木的距離（單位：）使與之差較大時(shí)，可以提高測(cè)量的精確度，.若樹木的實(shí)際高為，試問(wèn)為多少時(shí)，最大？18．各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求.19．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直．(1)求的值及切線的方程；(2)證明：．20．如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且，，沿EF將四邊形折成四邊形，使點(diǎn)在平面上的射影H在直線DE上.

(1)求證：平面平面；(2)求直線HC與平面所成角的正弦值.21．隨著互聯(lián)網(wǎng)的興起，越來(lái)越多的人選擇網(wǎng)上購(gòu)物.某購(gòu)物平臺(tái)為了吸引顧客，提升銷售額，每年雙十一都會(huì)進(jìn)行某種商品的促銷活動(dòng).該商品促銷活動(dòng)規(guī)則如下：①“價(jià)由客定”，即所有參與該商品促銷活動(dòng)的人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)，每個(gè)人并不知曉其他人的報(bào)價(jià)，也不知道參與該商品促銷活動(dòng)的總?cè)藬?shù)；②報(bào)價(jià)時(shí)間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)年雙十一該商品數(shù)量配額，按照參與該商品促銷活動(dòng)人員的報(bào)價(jià)從高到低分配名額；③每人限購(gòu)一件，且參與人員分配到名額時(shí)必須購(gòu)買.某位顧客擬參加2019雙十一該商品促銷活動(dòng)，他為了預(yù)測(cè)該商品最低成交價(jià)，根據(jù)該購(gòu)物平臺(tái)的公告，統(tǒng)計(jì)了最近5年雙十一參與該商品促銷活動(dòng)的人數(shù)（見下表）年份20142015201620172018年份編號(hào)t12345參與人數(shù)（百萬(wàn)人）0.50.611.41.7（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型模擬擬合參與人數(shù)（百萬(wàn)人）與年份編號(hào)之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程：，并預(yù)測(cè)2019年雙十一參與該商品促銷活動(dòng)的人數(shù)；（2）該購(gòu)物平臺(tái)調(diào)研部門對(duì)2000位擬參與2019年雙十一該商品促銷活動(dòng)人員的報(bào)價(jià)價(jià)格進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下的一份頻數(shù)表：報(bào)價(jià)區(qū)間(千元)頻數(shù)200600600300200100①求這2000為參與人員報(bào)價(jià)的平均值和樣本方差（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)可用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；②假設(shè)所有參與該商品促銷活動(dòng)人員的報(bào)價(jià)可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由①中所求的樣本平均值和樣本方差估值.若預(yù)計(jì)2019年雙十一該商品最終銷售量為，請(qǐng)你合理預(yù)測(cè)（需說(shuō)明理由）該商品的最低成交價(jià).參考公式即數(shù)據(jù)（i）回歸方程：，其中，（ii）（iii）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，22．如圖，設(shè)橢圓（a＞1）.（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a、k表示）；（Ⅱ）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.1．C【分析】由已知可得中有元素，1，3，5，且1，3，5不在集合B內(nèi)可排除選項(xiàng)B,D，討論元素0即可得出結(jié)論.【詳解】由得元素1，3，5不在集合B內(nèi).若元素0不在集合B內(nèi)，則由得元素0在集合A內(nèi)，則，與題意不符，所以元素0在集合B內(nèi)，同理可得元素2，4，6也在集合B內(nèi)，所以，故選：C.本題考查了交集、補(bǔ)集、并集和全集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．D【詳解】試題分析：因?yàn)?所以，所以的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D.考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2.復(fù)數(shù)的幾何意義.3．A【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)求出公差，即可求出通項(xiàng)公式，表示出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，令數(shù)列的公差為，所以，，則，所以，則直線的斜率為.故選：A4．A【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的方程，再根據(jù)圓心與直線l的關(guān)系判斷作答.【詳解】直線過(guò)原點(diǎn)，斜率為，傾斜角為，依題意，直線l的傾斜角為，斜率為，而l過(guò)原點(diǎn)，因此直線l的方程為：，而圓的圓心為，半徑為，于是得圓心在直線l上，所以直線l與圓相交，過(guò)圓心.故選：A5．D【分析】設(shè)為正五邊形的外接圓圓心，，在中，由余弦定理求出，再由數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】如圖，設(shè)為正五邊形的外接圓圓心，則，所以．又，所以在中，由余弦定理得：，又，所以，故選：D．

6．D【分析】設(shè)，則，由題意可得，，根據(jù)離心率公式即可求解.【詳解】解：由題意知與的長(zhǎng)度不變，已知，設(shè)，則，當(dāng)滑動(dòng)到位置處時(shí)，點(diǎn)在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，則短半軸長(zhǎng)，當(dāng)在右頂點(diǎn)時(shí)，恰好在點(diǎn)，則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，故離心率為.故選：D.7．C【分析】根據(jù)當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，由當(dāng)x＜0時(shí)，f（x），得在上是減函數(shù)，再根據(jù)f（x）奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)，在上也是減函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)f（x）是連續(xù)的，所以函數(shù)h（x）在R上是減函數(shù)，并且與同號(hào)，將（x2﹣1）f（x）＜0轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，f（x），即，所以，所以在上是減函數(shù).又因?yàn)閒（x）奇函數(shù)，所以也是奇函數(shù)，所以在上也是減函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)f（x）是連續(xù)的，所以函數(shù)h（x）在R上是減函數(shù)，并且與同號(hào)，所以（x2﹣1）f（x）＜0或解得或故選：C本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.8．D【分析】甲乙二人可能在物理、歷史兩科中選擇的一科相同,也可能在化學(xué)、生物、政治、地理四門學(xué)科中任選兩科中恰有一科相同,由此求解.【詳解】由題,當(dāng)甲乙二人在物理、歷史兩科中的選擇相同,有種；當(dāng)甲乙二人在化學(xué)、生物、政治、地理四門學(xué)科中任選兩科中恰有一科相同,則有種；則共有種,故選:D本題考查利用排列組合解決實(shí)際問(wèn)題,考查分類討論思想.9．C【分析】對(duì)于選項(xiàng)ABD，舉特殊等比數(shù)列排除即可；對(duì)于選項(xiàng)C，可分類討論公比和兩種情況證明，從而得解．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，可列舉公比的等比數(shù)列，顯然滿足，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，可列舉公比的等比數(shù)列，顯然滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，即，所以，?dāng)公比時(shí)，，故有；當(dāng)公比時(shí)，，故，，仍然有；綜上：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，可列舉公比的等比數(shù)列，顯然滿足，但，故D錯(cuò)誤．故選：C．10．D【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知，解得．因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)表示區(qū)域內(nèi)上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)的連線與圓相切時(shí)斜率最?。O(shè)切線方程為，即，則有，解得或（舍），所以，故選D．11．B【分析】利用線面平行的判定定理判斷①；利用線面垂直的判定定理求出異面直線與所成的角，判斷②；借助極限狀態(tài)，當(dāng)平面與平面重合時(shí)，三棱錐外接球即是以外接圓圓心為球心，外接圓半徑為球半徑，當(dāng)二面角逐漸變大時(shí)，利用空間想象能力進(jìn)行分析可判斷③；過(guò)作于，按分別為銳角，直角，鈍角三種情況進(jìn)行分析判斷即可判斷④．【詳解】對(duì)于①，∵，分別為菱形的邊，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面，①正確；對(duì)于②，取中點(diǎn)，連接，如圖，則，，∴平面，而平面，∴，∴，即異面直線與所成的角為90°，②正確；對(duì)于③，借助極限狀態(tài)，當(dāng)平面與平面重合時(shí)，三棱錐外接球即是以外接圓圓心為球心，外接圓半徑為球半徑，當(dāng)二面角逐漸變大時(shí)，球心離開平面，但球心在平面內(nèi)射影仍然是外接圓圓心，故二面角逐漸變小的過(guò)程中，三棱錐外接球的半徑不可能先變小后變大，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，過(guò)作于，若為銳角，則在線段上，若為直角，則與重合，若為鈍角，則在線段的延長(zhǎng)線上，若存在某個(gè)位置，使得直線與垂直，∵，∴平面，由線面垂直的性質(zhì)得，若為直角，則與重合，則，而已知，∴不可能成立，即不可能為直角，若為鈍角，則在線段的延長(zhǎng)線上，則在原平面菱形中，為銳角，由于立體圖形中，因此立體圖形中比原平面圖形更小，∴立體圖形中為銳角，而，∴空間圖形中是銳角三角形，由知在線段上，與在線段的延長(zhǎng)線上矛盾，因此不可能為鈍角，綜上可知，只能為銳角，即④正確．故選：B．本題考查異面直線所成的角，線面平行與線面垂直的判定，多面體外接球問(wèn)題，考查空間圖形折疊問(wèn)題，考查了學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，借助極限狀態(tài)和反證法思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．12．D【分析】求出橢圓的極坐標(biāo)方程，設(shè)內(nèi)接于橢圓的菱形為，，分別求出，再根據(jù)，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值和最小值，即可得解.【詳解】解：由，得，化為極坐標(biāo)方程為，設(shè)內(nèi)接于橢圓的菱形為，則，設(shè)，則，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即的最大值為，所以菱形的周長(zhǎng)的最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為，所以菱形的周長(zhǎng)的最小值為，所以內(nèi)接于橢圓的菱形周長(zhǎng)的最大值和最小值之和是.故選：D.13．5【分析】利用傾斜角和直線斜率的關(guān)系可得的值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】直線的斜率為，因?yàn)閮A斜角為的直線與直線垂直，所以解得，所以，則.故答案為.14．【分析】由等差數(shù)列定義確定關(guān)系，由此可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距依次成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，故，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為.15．【分析】展開圓柱側(cè)面，根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短求得正確結(jié)論.【詳解】展開圓柱的側(cè)面如圖所示，由圖可知小蟲爬行路線的最短長(zhǎng)度是.故16．①③⑤【分析】逐項(xiàng)分析判斷即可，或舉例說(shuō)明或舉反例判斷或直接證明.【詳解】對(duì)于①，令，則該直線既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，取，，直線經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)直線經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，直線方程為，經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則直線斜率，不妨設(shè)為，則直線，它經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)個(gè)整點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)k，b都為有理數(shù)時(shí)，可能不經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，例如，，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，直線只經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)，故⑤正確.故①③⑤17．（1）6（2）【分析】（1）根據(jù)題意解三角形即可得出的代數(shù)式再利用即可求出．（2）先分別表示出，再根據(jù)兩角和公式求得的代數(shù)式整理成基本不等式的形式然后根據(jù)基本不等式求出該式的最大值進(jìn)而可得有最大值求出即可．【詳解】（1）解：，同理：．，故得，解得：（2）解：由題設(shè)知，得，而

，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

取等號(hào)）故當(dāng)

時(shí)，最大．因?yàn)?/p>

，則，所以當(dāng)時(shí)，最大．本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，以及兩角差的正切公式和基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的恒等變換的公式，合理使用基本不等式求最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求解的通項(xiàng)；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)列通項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式采用分組求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即,解得或（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，因?yàn)椋?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以.（2）因?yàn)?，，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等差數(shù)列，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.19．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由切線的幾何意義和兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系即可得答案.（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的最小值，因?yàn)樽钚≈荡笥诹悖?【詳解】（1），因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，解之得，又，所以切線的方程為，即．（2）由（1）知，，，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間上有唯一實(shí)根，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，得，，所以，所以成立．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直證明線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直，從而線面垂直證明面面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影在直線上，故平面.又平面，故，又，，平面，平面，故平面.又平面，故平面平面.（2）如圖所示：

以為軸，平面內(nèi)與垂直的直線為軸，平面內(nèi)與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)，則，故，，取正解，得到，，故.，故，又，設(shè)平面的法向量為，故，即，取，得到，故.又，