2023-2024學年北京市海淀區(qū)高三上冊期中練習數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年北京市海淀區(qū)高三上冊期中練習數(shù)學試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．4．已知向量滿足，則（

）A． B．0 C．5 D．75．設等差數(shù)列的前項和為，且，則的最大值為（

）A． B．3 C．9 D．366．設，則（

）A． B． C． D．7．“”是“為第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．在中，，則（

）A．為直角 B．為鈍角 C．為直角 D．為鈍角9．古典吉他的示意圖如圖所示．分別是上弦枕、下弦枕，是第品絲．記為與的距離，為與的距離，且滿足，其中為弦長（與的距離），為大于1的常數(shù)，并規(guī)定．則（

）A．數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為B．數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為C．數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為D．數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為10．在等腰直角三角形中，為斜邊的中點，以為圓心，為半徑作，點在線段上，點在上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．函數(shù)的定義域是．12．在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點，則．13．已知非零向量，其中是一組不共線的向量．能使得與的方向相反的一組實數(shù)的值為，．14．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．①函數(shù)的最小正周期為；②將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是．15．已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①當時，的最小值為；②當時，存在最小值；③的零點個數(shù)為，則函數(shù)的值域為；④當時，對任意．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．已知無窮等比數(shù)列的各項均為整數(shù)，其前項和為．(1)求的通項公式；(2)證明：對這三個數(shù)成等差數(shù)列．17．已知函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在.條件①：；條件②：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.18．已知曲線與軸交于不同的兩點（點在點的左側(cè)），點在線段上（不與端點重合），過點作軸的垂線交曲線于點．(1)若為等腰直角三角形，求的面積；(2)記的面積為，求的最大值．19．某景區(qū)有一人工湖，湖面有兩點，湖邊架有直線型棧道，長為，如圖所示．現(xiàn)要測是兩點之間的距離，工作人員分別在兩點進行測量，在點測得，；在點測得．（在同一平面內(nèi)）(1)求兩點之間的距離；(2)判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．20．已知函數(shù)，且．(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設實數(shù)滿足：存在，使直線是曲線的切線，且對恒成立，求的最大值．21．設無窮數(shù)列的前項和為為單調(diào)遞增的無窮正整數(shù)數(shù)列，記，，定義．(1)若，寫出的值；(2)若，求；(3)設求證：對任意的無窮數(shù)列，存在數(shù)列，使得為常數(shù)列．1．B【分析】根據(jù)并集的運算即可求解.【詳解】集合包含所有小于2的實數(shù)，包含1和2兩個元素，所以，故選：B.2．A【分析】根據(jù)復數(shù)除法和乘法運算法則計算.【詳解】.故選：A.3．D【分析】A選項，定義域不關(guān)于原點對稱，不是偶函數(shù)；B選項，為奇函數(shù)；C選項，根據(jù)得到C不滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增；D選項，判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增.【詳解】A選項，的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，故不是偶函數(shù)，A錯誤；B選項，的定義域為R，且，故為奇函數(shù)，B錯誤；C選項，設，因為，故在上不單調(diào)遞增，C錯誤；D選項，的定義域為R，且，故為偶函數(shù)，又當時，，在上單調(diào)遞增，故滿足要求，D正確.故選：D4．C【分析】先求出，進而利用向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】因為，所以，故.故選：C5．C【分析】先求得的關(guān)系式，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，也即，所以，當且僅當時等號成立.故選：C6．D【分析】首先將這三個數(shù)化為同底的對數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】，，，因為是增函數(shù)，，所以.故選：D7．C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系化簡，根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號，結(jié)合充分條件、必要條件即可得解.【詳解】因為時，則，所以為第一或第三象限角，反之，當為第一或第三象限角時，，所以，綜上，“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件，故選：C8．C【分析】由正弦定理邊化角得，結(jié)合余弦定理和化解，可求出.【詳解】由，即，，又，所以，化簡得，則，故在中，，故選：C9．B【分析】根據(jù)項與前項和的關(guān)系結(jié)合條件可得，根據(jù)等比數(shù)列的概念進而判斷AB，結(jié)合條件可得，進而判斷CD.【詳解】因為，，所以，，所以，即，又為大于1的常數(shù)，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為，故A錯誤，B正確；由上可知，又，所以，，所以不是常數(shù)，故C錯誤；所以，不是常數(shù)，故D錯誤.故選：B.10．A【分析】根據(jù)向量的坐標運算即可得，進而將可看作是點到點的距離，即可求解.【詳解】以為圓心，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由于所以，由于點在，不妨設，,，其中，,所以，可看作是上的點到點的距離，由于點在線段上運動，故當點運動到點時，此時距離最大，為,當點運動到點時，此時距離最小為0，綜上可知：，故選：A11．【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域是，故答案為.12．##【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及二倍角公式即得.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知,所以故答案為.13．-1(不唯一)1【分析】設，則有，列出方程組求解即可.【詳解】解：設，則有，即，所以，所以，解得，取.故-1(不唯一)，114．【分析】空1：可由圖像直接讀出半個周期，進而可得周期大小；空2：通過周期大小和函數(shù)上的點，可求出的解析式，再平移得到，然后根據(jù)奇偶性求參即可.【詳解】空1：由圖可知,即空2：,即，則，又過點，所以，即，又在原圖增區(qū)間上，所以可取，所以，向右平移個單位可得，又為奇函數(shù)，所以，即,又，所以.故；.15．①③【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及最值可判斷①②，根據(jù)零點定義結(jié)合條件分類討論可判斷③，利用特值可判斷④.【詳解】對①，當時，，當時，，當時，，綜上，的最小值為，①正確；對②，，，當時，，當時，若，；若，，如時，，函數(shù)不存在最小值，②錯誤；對③，當時，最多一個解，得或，如時，，由可得(舍去)，由得或，故此時兩個零點，即；如時，，由可得，由得或，故此時三個零點，即；當時，，由可得，由得，故此時一個零點，即；當時，，時，，無解，時，，無解，此時沒有零點，即.綜上，的值域為，故③正確；對④，當時，如時，，，，，此時，故④錯誤.故①③方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設出公比，代入已知條件，解方程即可；（2）按照等差數(shù)列的定義，作差即可證明.【詳解】（1）設公比為，由題意有代入得，故或3又各項均為整數(shù)，故于是.（2）由（1）得所以故，獲證.17．(1)選擇見解析；答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意先把函數(shù)進行化簡，然后根據(jù)所選的條件，去利用三角函數(shù)輔助角公式，三角函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間而分別計算并判斷是否使函數(shù)存在，從而求解；（2）根據(jù)（1）中選的不同條件下得出不同的函數(shù)的解析式，然后求出在區(qū)間上的最大值和最小值.【詳解】（1）由題意得：.當選條件①：，又因為，所以，所以，所以時，即得：，即.當選條件②：從而得：當時，單調(diào)遞增，化簡得：當時，單調(diào)遞增，又因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以得：，解之得：，當時，得，與已知條件矛盾，故條件②不能使函數(shù)存在.故：若選條件②，不存在.當選條件③：由，，得當時，，又因為，所以得，得.（2）當選條件①：由（1）知：，則得：，又因為，所以，所以當時，有最大值；所以當時，有最小值；當選條件③：由（1）知：，則得：，又因為，所以，所以當時，有最大值；所以當時，有最??；18．(1)(2)【分析】（1）求得的坐標，從而求得三角形的面積.（2）先求得三角形面積的表達式，然后利用導數(shù)求得面積的最大值.【詳解】（1）依題意，，所以，由，得，則，解得或（舍去），則，所以.（2）由，得，則，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值是.19．(1)(2)直線與直線不垂直，理由詳見解析.【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得.（2）先求得，然后根據(jù)向量法進行判斷.【詳解】（1）依題意，，，，所以，，所以，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由余弦定理得.（2）在三角形中，由余弦定理得，，在三角形中，由正弦定理得，，直線與直線不垂直，理由如下：,所以直線與直線不垂直.20．(1)(2)增區(qū)間，減區(qū)間(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，從而求得.（2）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（3）結(jié)合的圖象、切線以及不等式恒成立求得的最大值.【詳解】（1）依題意，，解得.（2）由（1）得，，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）由（2）得，所以的圖象在處的切線方程為，此時.同時，，因此在時恒成立，直線是曲線的切線，則，結(jié)合圖象可知，當時，不恒成立.當時，，恒成立.當時，，因此，所以的最大值為.求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對應區(qū)間上是增函數(shù)，對應區(qū)間為增區(qū)間；，則在對應區(qū)間上是減函數(shù)，對應區(qū)間為減區(qū)間.21．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）通過公式即可求出的值；（2）求出數(shù)列的前項和，對討論其奇偶，即可求出；（3）通過討論為有限集和無限集時的不同情況下的值，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意，，，，∴，，，，，∴（2）由題意，在數(shù)列中，，∴.若為奇數(shù)，則.所以.若為偶數(shù)，則當時，所以.