平面直角坐標(biāo)系

第一講坐標(biāo)系1.【復(fù)習(xí)與回憶】刻畫一個(gè)幾何圖形的位置，需要設(shè)定一個(gè)參照系1、數(shù)軸它使直線上任一點(diǎn)A都可以由惟一的實(shí)數(shù)x確定2.2、平面直角坐標(biāo)系在平面上，當(dāng)取定兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定了度量單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系。它使平面上任一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)對(duì)〔x,y〕確定【復(fù)習(xí)與回憶】3.3、空間直角坐標(biāo)系在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)取定這三條直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系。它使空間上任一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)對(duì)〔x,y,z〕確定【復(fù)習(xí)與回憶】yxzP’OPRQM4.第一節(jié)平面直角坐標(biāo)系----坐標(biāo)法5.【小試牛刀

】1.

選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示邊長為1的正方形的頂點(diǎn)。變式訓(xùn)練如何通過它們到點(diǎn)O的距離以及它們相對(duì)于點(diǎn)O的方位來刻畫,即用〞距離和方向〞確定點(diǎn)的位置？6.2.A(1,1)和B(6,2)，求線段AB的垂直平分線l的方程?！拘≡嚺５?/p>

】7.oF2F1M平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)〔小于︱F1F2︱)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．

||MF1|-|MF2||

=2a<2c雙曲線定義的符號(hào)表述：復(fù)習(xí)回憶——雙曲線8.x2,y2前面的系數(shù)，哪個(gè)為正，那么在哪一個(gè)軸上平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)〔小于F1F2〕的點(diǎn)的軌跡.標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程9.實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用直角坐標(biāo)系實(shí)際應(yīng)用10.

某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到巨響的時(shí)間比其他兩個(gè)觀測點(diǎn)晚4s，各觀測點(diǎn)到中心的距離都是1020m，試確定該巨響的位置。(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，各相關(guān)點(diǎn)均在同一平面上).信息中心觀測點(diǎn)觀測點(diǎn)觀測點(diǎn)PBACyxO聲響定位問題11.

yxBACPo解：以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，以BA方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點(diǎn)，那么A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)設(shè)P〔x,y〕為巨響為生點(diǎn)，

由B、C同時(shí)聽到巨響聲，得|PC|=|PB|，故

，PO的方程為

，P在BC的垂直平分線PO上y=－x因A點(diǎn)比B點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故

.|PA|－|PB|=340×4=1360由雙曲線定義P點(diǎn)在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上a=

,c=

,b2=

.6801020c2-a2=10202-6802=5×340212.

yxBACPo所以雙曲線的方程為：用y=－x代入上式，得

答:巨響發(fā)生在信息中心的西偏北450,距中心你能總結(jié)用坐標(biāo)法解決問題的步驟嗎？13.

yxBACPo解：以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，以BA方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點(diǎn)，那么A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)設(shè)P〔x,y〕為巨響為生點(diǎn)，

由B、C同時(shí)聽到巨響聲，得|PC|=|PB|，故

，PO的方程為

，P在BC的垂直平分線PO上y=－x因A點(diǎn)比B點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故

.|PA|－|PB|=340×4=1360由雙曲線定義P點(diǎn)在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上a=

,c=

,b2=

.6801020c2-a2=10202-6802=5×3402建系設(shè)點(diǎn)列式并化簡14.

yxBACPo所以雙曲線的方程為：用y=－x代入上式，得

答:巨響發(fā)生在信息中心的西偏北450,距中心說明15.解決此類應(yīng)用題的關(guān)鍵：1、建立平面直角坐標(biāo)系2、設(shè)點(diǎn)〔點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)〕3、列式〔方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)〕4、化簡5、說明坐標(biāo)法16.例1.△ABC的三邊a,b,c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC,CF上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系探究BE與CF的位置關(guān)系。(A)FBCEOyx17.解：以△ABC的頂點(diǎn)Ａ為原點(diǎn)Ｏ,邊AB所在的直線x軸，建立直角坐標(biāo)系，由，點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)分別為A(0,0),B(c,0),F

.

，(A)FBCEOyx所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0因?yàn)?

，所以=

。(x/2-c,y/2)·(c/2-x,-y)因此，BE與CF互相垂直.(x/2,y/2)(x/2-c,y/2)(c/2-x,-y)(c/2,0)18.例1.△ABC的三邊a,b,c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC,CF上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系探究BE與CF的位置關(guān)系。(A)FBCEOyx探究：你能建立與上述解答中不同的直角坐標(biāo)系解決這個(gè)問題嗎？比較不同的直角坐標(biāo)系下解決問題的過程，你認(rèn)為建立直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)注意些什么？(A)FBCEOyx19.練習(xí)，證明：三角形的三條高線交于一點(diǎn)20.練習(xí)，證明：三角形的三條高線交于一點(diǎn)證明:如圖，AD，BE，CO分別是三角形ABC的三條高，取

，

建立直角坐標(biāo)系，邊AB所在的直線為x軸邊AB上的高CO所在的直線為y軸設(shè)A,B,C的坐標(biāo)分別為〔-a,0),(b,0),(0,c)，那么kAC=,kBC=.因?yàn)?，所以kAD=,kBE=.由直線的點(diǎn)斜式方程，得直線AD的方程為?！僦本€BE的方程為

。……②由方程①與②

，解得

。所以，AD,BE的交點(diǎn)H在y軸上。因此，三角形的三條高線相交于一點(diǎn)x=0c/a-c/bb/c-a/c21.坐標(biāo)法(3)使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，注意以下原那么：(1)如果圖形有對(duì)稱中心，可以選對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；通過上面的例題，同學(xué)們你能歸納坐標(biāo)法，建系時(shí)應(yīng)注意什么？22.1、兩個(gè)定點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26，求點(diǎn)M的軌跡解：設(shè)兩定點(diǎn)為A,B，

，

，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M〔x,y)，由得到，即，整理得。那么A,B的坐標(biāo)分別為，。所以，點(diǎn)M的軌跡方程為

。〔-3，0〕〔3，0〕建系求坐標(biāo)找關(guān)系式代入坐標(biāo)化簡方程。小試牛刀23.變形、兩個(gè)定點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為10，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)兩定點(diǎn)為A,B，

，

，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M〔x,y)，由得到，根據(jù)橢圓的定義，M的軌跡是以A,B為，長軸長2a=的橢圓，那么c=,a=,b=.那么A,B的坐標(biāo)分別為，。所以，點(diǎn)M的軌跡方程為

。〔-3，0〕〔3，0〕建系求坐標(biāo)找關(guān)系式定義判斷焦點(diǎn)10354小試牛刀24.變形、△ABC中，假設(shè)AB的長度為6，中線CD的長為4，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求點(diǎn)C的軌跡方程解：

，

，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為C〔x,y)，由得到，即，整理得。那么A,B的坐標(biāo)分別為，。所以，點(diǎn)C的軌跡方程為

?！?3，0〕〔3，0〕建系求坐標(biāo)找關(guān)系式代入坐標(biāo)化簡(x≠±3)(x≠±3)小試牛刀25.2、點(diǎn)A為定點(diǎn)，線段BC在定直線l上滑動(dòng)，∣BC∣=4，點(diǎn)A到定直線l的距離為3，求△ABC的外心的軌跡方程。小試牛刀26.2、點(diǎn)A為定點(diǎn)，線段BC在定直線l上滑動(dòng)，∣BC∣=4，點(diǎn)A到定直線l的距離為3，求△ABC的外心的軌跡方程。小試牛刀27.解決此類應(yīng)用題的關(guān)鍵：1、建立平面直角坐標(biāo)系2、設(shè)點(diǎn)〔點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)〕3、列式〔方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)〕4、化簡5、說明坐標(biāo)法課堂小結(jié)28.完29.。。MNOPXy

例2圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|=4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點(diǎn)),使得PM=PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

解：以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么兩圓的圓心坐標(biāo)分別為O1(-2,0)，O2(2,0)，設(shè)P(x,y)那么PM2=PO12-MO12=同理，PN2=30.1、點(diǎn)M(4,3)關(guān)于點(diǎn)N(5,-3)的對(duì)稱點(diǎn)是〔〕A.(4,-3)B.(9/2,0)C.(-1/2,3)D.(6,-9)3、M(-2,-3)與N(1,1)是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P(x,3〕在線段MN的垂直平分線上，那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的值是〔〕A.-35/6B.3/2C.7/2D.32、△ABC的頂點(diǎn)A(3,-7)，B(5,2)，C(-1,0)，那么△ABC的重心G的坐標(biāo)是〔〕A.(7/3,-5/3)B.(7/3,-3)C.(-1/3,5/3)D.(-1/3,-3)4、y軸存在一點(diǎn)P，滿足P與A(4,-6)的距離等于5，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為。31.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換32.思考：怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?

在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來的1/2，就得到正弦曲線y=sin2x。xO

2y①上述變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換即：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，

保持縱坐標(biāo)y不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來1/2，得到點(diǎn)P’(x’,y’)，坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

我們把①式叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)壓縮變換。33.怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?

在正弦曲線上任取一點(diǎn)P(x,y),保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，就得到曲線y=3sinx。xO2y上述變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的伸長變換即：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，

設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)y伸長為原來的3倍，得到點(diǎn)P’(x’,y’),坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：②我們把②式叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長變換.34.

在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來的1/2;怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?xyO在此根底上，將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，就得到正弦曲線y=3sin2x.即在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，假設(shè)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)變換得到點(diǎn)為P’(x’,y’)，坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為:③。把這樣的變換叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換35.設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換:定義:的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)P’(x’,y’).稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。

上述①②③都是坐標(biāo)伸縮變換，在它們的作用下,可以實(shí)現(xiàn)平面圖形的伸縮。③在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。②把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；①36.例1在直角坐標(biāo)系中，求以下方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換:后的圖形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1解：(1)由伸縮變換得到代入2x+3y=0;；

得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是(2)將代入x2+y2=1，37.在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而圓可以變成橢圓，那么橢圓可以變成圓嗎？拋物線、雙曲線變成什么曲線？38.補(bǔ)充練習(xí)：1求下列點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)：①（1，2）；②（-2，-1）.2曲線C經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程是則曲線C的方程是

.3將點(diǎn)（2，3）變成點(diǎn)（3，2）的伸縮變換是（）39.4曲線變成曲線的伸縮變換是

.5在伸縮變換與伸縮變換的作用下，單位圓分別變成什么圖形？6設(shè)M1是A1(x1,y1)與B1(x2,y2)的中點(diǎn)，經(jīng)過伸縮變換