高中數(shù)學選修2-1-1.2充分條件與必要條件

知識回顧原命題若p則q逆命題若q則p否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p互為逆否同真同假互為逆否同真同假互逆命題真假無關(guān)互逆命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)選修2－1第一章

常用邏輯用語1.2充分條件與必要條件學生活動判斷下列命題的真假.（1）若x＝y(tǒng)，則x2=y2

（2）若ab

=0，則a=0（3）若x2>1，則x<1（4）若x＝1或x＝2,則x2

－3x＋2＝0問題1:條件和結(jié)論有什么關(guān)系?真假假真

a=0ab

=0問題1:說明條件和結(jié)論有什么關(guān)系？

（1）x＝y(tǒng)x2＝y(tǒng)2（2）ab

=0a=0（3）x2>1x<1（4）x＝1或x＝2x2－3x＋2＝0x<1x2>1x2－3x＋2＝0x＝1或x＝2x2＝y(tǒng)2x＝y(tǒng)；；；；

新課概念:定義一、充分條件與必要條件一般地，“若p，則q”

為真命題，是指由p經(jīng)過推理能推出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立．即：只要有p就能充分地保證q的成立，這時我們說p可推出q，我們就說p是q的充分條件；q是p必要條件．充分性：條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證結(jié)論成立的。理解概念必要性：必要就是必須，必不可少。你能舉例說明嗎？生活中有嗎？你能舉例說明嗎？生活中有嗎？若張三是高中生，則張三是中學生。

pq，相當于pq，即

pq或p、q

從集合角度理解：二、充要條件一般地,如果既有p

q

，又有q

p

就記作

p

q.

此時,我們說,那么p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.

顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.

即：如果p

q,那么p與

q互為充要條件.一般地，若p

q,但q

p，則稱p是q的充分但不必要條件；若p

q，但q

p，則稱p是q的必要但不充分條件；若p

q，且q

p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．例題1.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題p是q的充分條件？(1)若x=1,則x2-4x+3=0;(2)若f(x)=x,則f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)；(3)若x為無理數(shù)，則x2為無理數(shù).數(shù)學運用點撥：事實上就是判斷“p

q”是否為真命題。如(1)中“x＝1”“x2-4x+3=0”，所以“x＝1”是“x2-4x+3=0”的充分條件，但不可反推，故“x＝1”是“x2-4x+3=0”的充分非必要條件.例題2.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題

q是p的必要條件？(1)若x=y,則x2=y2;(2)若兩三角形全等,則這兩個三角形的面積相等;(3)若a>b，則ac>bc.點撥：還是判斷“p

q”是否為真命題。（1）x＝y(tǒng)是x2＝y(tǒng)2的_____________條件（2）ab

=0是a=0的________________條件（3）x2>1是x<1的__________________條件（4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____條件充分不必要必要不充分既不充分又不必要充要例題3.填空題，試用適當?shù)脑~語填空例題4：指出下列各組命題中，p是q的什么條件：

（1）p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.（2）p：兩條直線平行；q：內(nèi)錯角相等.（3）p：a>b；q：a2>b2（4）p：四邊形的四條邊相等；

q：四邊形是正四邊形.

數(shù)學運用（1）充分不必要條件（2）充要條件（3）既不充分又不必要條件（4）必要不充分條件①“a和b都是偶數(shù)”是“a+b為偶數(shù)”的＿＿條件；②“x＞5”是“x＞3”的

條件；③“x≠3”是“|x|≠3”的

條件；④“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個自然數(shù)能被5整除”的

條件；⑤“至少有一組對應邊相等”是“兩個三角形全等”的

條件；課內(nèi)活動運用本節(jié)課所講的知識填空答案：（1）充分非必要（2）充分非必要（3）必要非充分（4）充分非必要（5）必要非充分練圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。

已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.證明：假設弦AB、CD被P平分，∵P點一定不是圓心O，連接OP，根據(jù)垂徑定理的推論，有OP⊥AB,OP⊥CD即過點P有兩條直線與OP都垂直，這與垂線性質(zhì)矛盾，∴弦AB、CD不被P平分。二、概念理解注意下列說法：1.若p是q的充分條件，那么q是p的必要條件;這時p

q成立（是真命題）2.若p是q的必要條件，那么q是p的充分條件;這時q

p成立（是真命題）比較下列說法：這時p

q成立q

pq

pq

p判斷p是q的什么條件的步驟①認清條件和結(jié)論。②考察pq和qp的真假。①可先簡化命題。③將命題轉(zhuǎn)化為等價的逆否命題后再判斷。②否定一個命題只要舉出一個反例即可。判斷的常用技巧三、問題再現(xiàn)1.x>2是“x>3”的（）條件？A.充分非必要條件；B.必要非充分條件；C.充要條件；D.既非充分也非必要條件.B2.下列哪個條件是x>5成立的必要條件？()A.x>1;B.x>8;C.x<5;D.x<6.A點評：若“x>a”是“x>b”的充分條件，則a≥b.“大于一個較大的數(shù)則必大于一個較小的數(shù)”(1)下列哪個條件是x>5成立的必要條件？()A.x>1;B.x>8;C.x<5;D.x<6.(2)下列哪個條件是x>5成立的充分條件？()A.x>1;B.x>8;C.x<5;D.x<6.比較下列說法：(3)x>5成立的必要條件是？()A.x>1;B.x>8;ABA三、問題再現(xiàn)2.判斷下列說法哪些是正確的？(1)x=2是x2-3x+2=0的必要條件；(2)x=2的一個必要條件是x2-3x+2=0；(3)x2-3x+2=0的一個充分條件是x=2；(4)x2-3x+2≠0的一個充分條件是x≠2.三、問題再現(xiàn)3.p是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么q是p成立的（）A.充分條件；B.必要條件；C.充要條件；D.既非充分也非必要條件.提示1：p

r提示2：r

s提示3：s

qp

qB四、問題探討例題1.下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p:b=0,q:f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)；(2)p:x>0,y>0,q:xy>0;(3)p:a>b,q:a+c>b+c.例2：已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．分析：設p:d=r,q:

l與⊙O相切.先證明充分性：p

q再證明必要性：q

p點撥：此類問題應注意充分性和必要性的條件五、充要條件的