專題01 與三角形有關(guān)的線段（知識串講+10大考點(diǎn)）原卷版

專題01與三角形有關(guān)的線段考點(diǎn)類型知識串講（一）三角形的概念三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形特性三角形用符號“”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。（二）三角形的分類三角形按邊的關(guān)系分類如下：三角形按角的關(guān)系分類如下：（三）三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性

四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性

要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了。（四）三角形的三邊關(guān)系三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊（1）三角形三邊長分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。（2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b

（五）三角形的相關(guān)線段（1）①高線概念：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。②高線性質(zhì)：利用兩個(gè)銳角互余（等量代換）；利用等面積法求線段長度（2）①中線概念：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。②中線性質(zhì)：線段中點(diǎn)性質(zhì)求線段相等；三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個(gè)小三角形（3）①角平分線概念：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線②角平分線性質(zhì)：角度相等求解角度考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：三角形的識別與相關(guān)概念典例1：（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，則在△ABC中，∠C所對的邊是_____；在△ACD中，∠C所對的邊是_____．【變式1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△BCE中，邊BE所對的角是________，∠CBE所對的邊是________；在△AEC中，邊AE所對的角是________，∠A為內(nèi)角的三角形是________．【變式2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形，記作___________，讀作___________．其中，頂點(diǎn)A所對的邊為___________還可用___________表示；頂點(diǎn)B所對的邊為___________還可用___________表示；頂點(diǎn)C所對的邊為___________還可用___________表示．【變式3】（2021·八年級課前預(yù)習(xí)）由不在同一直線上的三條線段_______________所組成的圖形叫做三角形．如圖，線段_______、______、______是三角形的邊．三角形的邊有時(shí)也用小寫字母abc來表示，a＝________、b＝________、c＝________，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C是三角形的_______，________、______、________是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角．圖中三角形記作_______．考點(diǎn)2：三角形的個(gè)數(shù)問題典例2：（2022·全國·八年級專題練習(xí)）觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有________個(gè)三角形，圖②中共有________個(gè)三角形，圖③中共有________個(gè)三角形．（2）由以上規(guī)律進(jìn)行猜想，第n個(gè)圖形共有________個(gè)三角形．【變式1】（2021秋·江西宜春·八年級上高中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以∠B為內(nèi)角的三角形有_______個(gè)【變式2】（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，試回答下列問題：（1）圖中有_______個(gè)三角形，其中直角三角形是______．（2）以線段AC為公共邊的三角形是___________．（3）線段CD所在的三角形是_______，BD邊所對的角是________．（4）△ABC、△ACD、【變式3】（2020秋·江西上饒·八年級?？茧A段練習(xí)）北京冬季奧運(yùn)會吉祥物冰墩墩落在n個(gè)三角形內(nèi)，則n的值為________．考點(diǎn)3：三角形的分類典例3：（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°【變式1】（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）在ΔABC中，若∠A:【變式2】（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c為三個(gè)正整數(shù)，如果a+b+c=12，那么以a，b，c為邊能組成的三角形是：①等腰三角形，②等邊三角形，③直角三角形，④鈍角三角形.以上結(jié)論正確的是______.（只填序號）【變式3】（2020·全國·七年級假期作業(yè)）觀察圖中的三角形，把它們的標(biāo)號填入相應(yīng)橫線上．銳角三角形_______，直角三角形________，鈍角三角形________．考點(diǎn)4：三角形的三邊關(guān)系典例4：（2021秋·甘肅武威·八年級?？茧A段練習(xí)）若a，b，c是△ABC的三邊的長，則化簡|a【變式1】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）若等腰三角形的兩邊的長分別是5cm、7cm，則它的周長為___________【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知三角形三邊長分別為2，9，x，若x為偶數(shù)，則這樣的三角形有___________個(gè)．【變式3】（2022秋·廣東廣州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a，b滿足(a-1)2考點(diǎn)5：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用典例5：（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）一個(gè)三角形的三邊長均為整數(shù)．已知其中兩邊長為3和5，第三邊長x是不等式組x-【變式1】（2022秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）邊長為1的小正方形組成如圖所示的6×6網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H都在格點(diǎn)上．其中到四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)是_________．【變式2】（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)，A到MN的距離大于B到MN的距離，AB=700米．一個(gè)行人P在馬路MN上行走，當(dāng)P到A的距離與P到B的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于______米．【變式3】（2021秋·黑龍江佳木斯·八年級校聯(lián)考期中）如圖，填空：由三角形兩邊的和大于第三邊，得AB+AD>____________，PD+CD>____________．將不等式左邊?右邊分別相加，得AB+AD+PD+CD>__________，即AB+AC>_________________．考點(diǎn)6：與三角形高線有關(guān)的計(jì)算問題典例6：（2023春·江蘇鹽城·七年級濱海縣第一初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EFBC于點(diǎn)F．若S△ABC=24，BD【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ADF中，點(diǎn)B，C分別在AD，AF上，DC與BF交于點(diǎn)E，若DE:CE=2:1，S△DEF=6，S△【變式2】（2022秋·福建廈門·八年級廈門市檳榔中學(xué)校考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D點(diǎn)，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)【變式3】（2023秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC邊上的任意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F考點(diǎn)7：三角形穩(wěn)定性典例7：（2022秋·云南昆明·八年級云大附中?？计谥校╇S著人們物質(zhì)生活的提高，手機(jī)成為一種生活中不可缺少的東西，手機(jī)很方便攜帶，但唯一的缺點(diǎn)就是沒有固定的支點(diǎn)．為了解決這一問題，某工廠研制生產(chǎn)了一種如圖所示的手機(jī)支架．把手機(jī)放在上面就可以方便地使用手機(jī)，這是利用了三角形的______.【變式1】（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖所示，要使一個(gè)六邊形木架在同一平面內(nèi)不變形，至少還要再釘上_____根木條．【變式2】（2019·全國·八年級統(tǒng)考假期作業(yè)）下列圖中哪些具有穩(wěn)定性？________．【變式3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，學(xué)校門口設(shè)置的移動(dòng)拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是利用了三角形的_____（選填“穩(wěn)定性”或“不穩(wěn)定性”）．考點(diǎn)8：與三角形角平分線有關(guān)的計(jì)算問題典例8：（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖所示，△ABC的兩條角平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF∥BC，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若△AEF的周長為30cm【變式1】（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）如圖，（1）若AM是△ABC的中線，BC=12cm，則BM=CM=______cm；（2）若AD是△ABC的角平分線，則∠BAD=∠DAC=______；若∠（3）若AH是△ABC的高，則△ABH是______三角形．【變式2】（2022春·山東菏澤·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠1=∠2，G為AD的中點(diǎn)，延長BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列說法：①線段AG是△ABE的角平分線；②線段AE是△ABG的邊BG上的高；③BG是△ABD【變式3】（2020秋·八年級課時(shí)練習(xí)）△ABC中，D為BC邊上任意一點(diǎn)，DE、DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，連接EF，則△DEF的形狀為_________．考點(diǎn)9：與三角形中線有關(guān)的周長、面積問題典例9：（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長為12，則△BCD的周長是_____．【變式1】（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，S△ABD=S△ACD，已知AB=8cm【變式2】（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，BD＝2CD，BE、AD交于點(diǎn)F，若△ABC的面積為24，則S△BDF﹣S△AEF等于_____．【變式3】（2022春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考期中）已知在ΔABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為BC、AD、CE的中點(diǎn)，且SΔBEF=4cm考點(diǎn)10：利用網(wǎng)格求三角形的面積典例10：（2023秋·福建龍巖·八年級?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格，A、B、C、D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABC______S△ABD．填“【變式1】（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC與△DEF都是是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），那么△ABC【變式2】（遼寧省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)A2，2，B5，【變式3】（2022春·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，大長方形是由9個(gè)完全相同的小長方形組成，已知小長方形的長，寬分別為a，b，則圖中連接三個(gè)格點(diǎn)圍成的陰影部分圖形的面積是______．（用a，b的代數(shù)式表示）同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，線段BD是△ABCA． B．C． D．2．（2022春·云南保山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，AC⊥CD于點(diǎn)C，連接AD．若AD＝8，BC＝6，則AC的長可能為（

）．A．5 B．6 C．7 D．93．（2022秋·江蘇·八年級階段練習(xí)）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（

）①三角形具有穩(wěn)定性；②如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角；③三角形的角平分線是射線；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做這點(diǎn)到直線的距離；⑤任何一個(gè)三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線；⑥三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)在三角形內(nèi)；A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）圖中，以DE為邊的三角形有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)5．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）下列各圖中，正確畫出△ABC中AC邊上的高的是（

A．① B．② C．③ D．④6．（2022秋·廣東珠?！ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD，AC上的中點(diǎn)，若S陰影的面積為3，則△ABC的面積是（）A．5 B．6 C．7 D．87．（2022春·福建漳州·七年級漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）A．DE是△BCD的中線B．BD是△ABC的中線C．AD=DC，BE=ECD．DE是△ABC的中線8．（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，有下列說法：①若∠1=∠3，AD//BC，則BD②若AD//BC，則∠1=③若∠1=∠3④若∠C+∠3+其中正確的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．49．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若a、b、c為三角形的三條邊，則(a+bA．2b-2c B．2a C．2(a10．（2022春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是AB中點(diǎn)，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝4EC，CD與AE交于點(diǎn)F，連接BF．若四邊形BEFD的面積是14，則△ABC的面積是（

）A．28 B．32 C．30 D．29二、填空題11．（2023春·山東棗莊·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）超重機(jī)的底座、輸電線路的支架、自行車的斜支架等，都是采用三角形結(jié)構(gòu)，這樣做的數(shù)學(xué)道理是利用了______________．12．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，∠CBD=∠E=∠F=9013．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）已知三角形的三邊長均為偶數(shù)，其中兩邊長分別為6和8，則第三邊長為________．14．（2021秋·四川資陽·九年級四川省安岳中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，中線AD、BE相交于點(diǎn)O，若△BOD的面積等于6，則△ABC的面積等于____．15．（2019·上?！て吣昙夒A段練習(xí)）△ABC的三邊長為a，b，c，且a，b滿足a-16．（2020春·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)三角形的三邊長都是整數(shù)，其中兩條邊的長度分別為3和8，第三邊長為奇數(shù)，那么三角形的周長是__________．三、解答題17．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）請你完成定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的證明．已知：如圖，△ABC．求證：AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC18．（2022秋·河北廊坊·八年級?？计谀┊媹D并填空：如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，將△ABC經(jīng)過一次平移，使點(diǎn)C移到點(diǎn)(1)請畫出△A(2)連接AA'、(3)在方格紙中，畫出△ABC的中線BD和高CE19．（2021春·河北石家莊·七年級石家莊市第十九中學(xué)?？计谀?）如圖1，直線a∥直線b，點(diǎn)A、D在直線a上，點(diǎn)B、C在直線b上，連接AB、AC、BD、DC，得△ABC和△BDC，△AB