專題6.4 圖形的相似（壓軸題綜合測試卷）（蘇科版）（解析版）

專題6.4圖形的相似（滿分100）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）有以下命題：①如果線段d是線段a，b，c的第四比例項(xiàng)，則有ab②如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，那么AC是AB、BC的比例中項(xiàng)；③如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，那么AC是AB與BC的比例中項(xiàng)；④如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>BC，且AB=2，則AC=5其中正確的判斷有（

）A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④【思路點(diǎn)撥】根據(jù)比例線段、黃金分割的定義逐個判斷即可得．【解題過程】解：①如果線段d是線段a，b，c的第四比例項(xiàng)，則有ab②如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則ABAC所以ABAC所以AC不是AB、BC的比例中項(xiàng)，錯誤；③如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則ACAB所以ACAB=BC所以AC是AB與BC的比例中項(xiàng)，正確；④如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>BC，且AB=2，則ACAB=5所以AC=5綜上，正確的判斷有①③④，故選：C．2．（2022·陜西西安·九年級期中）下列每個矩形都是由五個同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和△CDE的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC與△CDE一定相似的圖形是（

）A． B．C． D．【思路點(diǎn)撥】由已知根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對每個選項(xiàng)分析論證得出正確選項(xiàng)．【解題過程】解：已知每個矩形都是由五個同樣的小正方形拼合組成．A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC=2，∴ABBC=1∴△ABC∽△CDE；B：△ABC為等腰三角形，則△CDE不是等腰三角形，所以不相似；C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，對應(yīng)角不相等，所以不相似；D：CDCD=1，∴CDCD故選：A．3．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似．對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【思路點(diǎn)撥】甲：根據(jù)題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可證得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，則可得ABA【解題過程】解：甲：根據(jù)題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲說法正確；乙：∵根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴ABA∴ABA∴新矩形與原矩形不相似．∴乙說法不正確．故選：C．4．（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)李海務(wù)街道辦事處中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，連接DE，下列結(jié)論：①OEOB=ODOC；②DEBC=1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點(diǎn)撥】由點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)知DE是△ABC的中位線，據(jù)此知DE∥BC且DEBC=1【解題過程】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC且DEBC=1∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，∴△ODE∽△OBC，∴OEOC=ODSΔDOESΔBOC∵SΔDOE∴SΔDOESΔBOE故選B．5．（2022·山東·東營市墾利區(qū)郝家鎮(zhèn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，若動點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t秒，連接DE，當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與A．2或3.5 B．2或3.2 C．2或3.4 D．3.2或3.4【思路點(diǎn)撥】求出AB=2BC=4cm，分兩種情況：①當(dāng)∠EDB=∠ACB=90°時(shí)，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE=12AB=2cm，即可得出t=2s；②當(dāng)∠DEB=∠ACB=90°時(shí)，證出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=12BD=12cm，得出AE=3.5cm【解題過程】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4cm，分兩種情況：①當(dāng)∠EDB=∠ACB=90°時(shí)，DE∥AC，所以△EBD∽△ABC，E為AB的中點(diǎn)，AE=BE=12AB=2cm∴t=2s；②當(dāng)∠DEB=∠ACB=90°時(shí)，∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，∴∠BDE=∠A=30°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=12BC=1cm∴BE=12BD=0.5cm∴AE=3.5cm，∴t=3.5s；綜上所述，當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，t的值為2或3.5，故選A.6．（2022·山東·德州市第九中學(xué)八年級期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB=6，BC=8，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（

）A．485 B．325 C．245【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性質(zhì)得出AO=5，證明△AOE～△ADC得到OE的長，再證明△DEF～△DBA可得到EF的長，從而可得到結(jié)論．【解題過程】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°∵AB=6，BC=8∴AD=BC=8，DC=AB=6∴AC=AB2∴OA=1∵OE⊥AC，∴∠AOE=90°∴∠AOE=∠ADC，又∠CAD=∠DAC，∴△AOE～△ADC，∴AO∴5∴AE=254，∴DE=7同理可證，△DEF～△DBA，∴DE∴7∴EF=21∴OE+EF=15故選：C．7．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A1，A2，A3，A4在射線OA上，點(diǎn)B1，B2，B3在射線OBA．8 B．9 C．10 D．10.5【思路點(diǎn)撥】由題意得S△B1A2B2S△B2A3B【解題過程】解：由已知得：△B∴B1設(shè)A1B1,A2∴∴∴S∴S同理有S△∴圖中三個陰影三角形面積之和為：S△故選D．8．（2022·河南·輝縣市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=ABAB+BC，且△DAB～△DCA，若AD=3AP，點(diǎn)Q是線段AB上的動點(diǎn)，則A．72 B．62 C．52【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ADBD=CDAD，得到BD=4，AB=BD=4，過B作BH⊥AD于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH=12AD=3，根據(jù)勾股定理得到BH=【解題過程】解：∵ΔDAB～ΔDCA，∴AD∴6解得：BD=4（負(fù)值舍去），∵ΔDAB～ΔDCA，∴AC∴AC=3∵AC∴3∴AB=4，∴AB=BD=4，過B作BH⊥AD于H，∴AH=1∴BH=A∵AD=3AP,AD=6，∴AP=2，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的值最小，∵∠AQP=∠AHB=90°,∠PAQ=∠BAH∴ΔAPQ～ΔABH，∴AP∴2∴PQ=7故選：A．9．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直線AB：y=553x+55分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、A兩點(diǎn)，C（3，0），D、E分別為線段AO和線段AC上一動點(diǎn)，BE交y軸于點(diǎn)H，且AD＝CE，當(dāng)BD＋BE的值最小時(shí)，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（

A．（0，4） B．（0，5） C．（0，552） D．（0，55【思路點(diǎn)撥】作EF⊥BC于F，設(shè)AD=EC=x．利用勾股定理可得BD+BE=32+(55-x)2+(6-38x)2+(558x)2=32+(x-55)2+(x-94)2+【解題過程】解：由題意A（0，55），B（－3，0），C（3，0），∴AB=AC=8，作EF⊥BC于F，設(shè)AD=EC=x．∵EF∥AO，∴CECA∴EF=558x，CF=∵OH∥EF，∴OHEF∴OH=55x∴BD+BE=32+=32+(x-要求BD+BE的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)M（x，0），使得點(diǎn)M到K（55，3），G（94，3設(shè)G關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)G′（94，-3554），直線G′K的解析式為y=則有94解得k=7555+768799，b∴直線G′K的解析式為y=7555+768799當(dāng)y=0時(shí)，x=1728+76855∴當(dāng)x=1728+76855768+7555時(shí)，MG此時(shí)OH=55x16-x=42240+1728∴當(dāng)BD+BE的值最小時(shí)，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），故選A．10．（2022·河南周口·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，∠ADC的平分線與AB交于E，點(diǎn)F在DE的延長線上，∠BFE=90°，連接AF、CF，CF與AB交于G，有以下結(jié)論：①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG?FC；④EG?AE=BG?AB。其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】①只要證明△ADE為等腰直角三角形即可②只要證明△AEF≌△CBF（SAS）即可；③假設(shè)BF2=FG?FC，則△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ACB=90°，顯然不可能，故③錯誤，④由△ADF∽△GBF，可得ADBG=DFBF=DFEF，由EG∥CD，推出EFDF=EGCD=EGAB，推出ADBG【解題過程】解：①DE平分∠ADC，∠ADC為直角，∴∠ADE=12×90°=45°∴△ADE為等腰直角三角形，∴AD=AE，又∵四邊形ABCD矩形，∴AD=BC，∴AE=BC②∵∠BFE=90°，∠BEF=∠AED=45°，∴△BFE為等腰直角三角形，∴則有EF=BF又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，∴∠AEF=∠CBF在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，∴△AEF≌△CBF（SAS）∴AF=CF③假設(shè)BF2=FG?FC，則△FBG∽△FCB，∴∠FBG=∠FCB=45°，∵∠ACF=45°，∴∠ACB=90°，顯然不可能，故③錯誤，④∵∠BGF=180°-∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°-∠AGF）=180°-∠AGF，∠AGF=∠BGC，∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，∴△ADF∽△GBF，∴ADBG∵EG∥CD，∴EFDF∴ADBG=ABGE，∵∴EG?AE=BG?AB，故④正確，故選C．評卷人得分二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2022·湖北·前川三中一模）在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點(diǎn)，AD=6，在AB上取一點(diǎn)E，使A、D、E三點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則AE的長為_______.【思路點(diǎn)撥】△ABC與△ADE相似要分成兩種情況來進(jìn)行討論，一種是△ADE～△ACB，則需△ADE～△ACB；一種是△ADE～△ACB，則需△ADE～△ACB，無論哪一種情況，將已知線段的長度代入后比例式后都能較容易的求出AE的值．【解題過程】解：∵∠A=∠A，∴分△ADE～△ACB或△ADE～△ABC兩種情況討論:①如圖(1)，當(dāng)△ADE～△ACB時(shí)，有△ADE～△ACB，即AE24=6②如圖(2)，當(dāng)△ADE～△ACB時(shí)，有△ADE～△ACB，即624=AE18，解得AE=92.綜上所述，12．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝1，AB＝23，∠DAE＝60°，則DE的長為_________．【思路點(diǎn)撥】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及圖形的相似可求DE的長．【解題過程】解：如圖，作AF⊥BC于F，作EG⊥AC于G．∵△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC．∠B＝∠C＝30°．在Rt△CEG中，∠C＝30°．∴EG＝12CE＝12，CG＝∴AG＝23﹣32＝3∵AF⊥BC．∴∠AFC＝90°．∴AF＝12AC＝3∵∠DAE＝60°＝∠FAC．∴∠DAF＝∠EAG．∵∠AFD＝∠AGE＝90°．∴△ADF∽△AGE．∴AFAG=DF∴DF＝13由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝AF2+EF2．∴EF2＝（332）2+（12）2﹣（3）2∴EF＝2．DE＝2+13＝7故答案為：7313．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖△ABC中，E、F為BC的三等份點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，BM與AE、AF分別交于G、H，則BG:GH:HM=________．【思路點(diǎn)撥】首先過點(diǎn)M作MK∥BC，交AF，AE分別于K，N，由M是AC的中點(diǎn)與D、E是BC的三等分點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得MK=NK=12BE=12EF=12EC，然后根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得BG：GH【解題過程】解：過點(diǎn)M作MK∥BC，交AF，AE分別于K，N，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴MNEC∵E、F是BC的三等分點(diǎn)，∴BE=EF=FC，∴MN=2NK，∵M(jìn)HBH＝MK∴MH=14BH，MG=BG設(shè)MH=a，BH=4a，BG=GM=52∴GH=GM-MN=32∴BG：GH：HM=52a：32a：a=5：故答案為5：3：2．14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2．在BC邊上有100個不同的點(diǎn)P1，P2，P3，¨¨¨¨，P100，過這100個點(diǎn)分別作△ABC的內(nèi)接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G【思路點(diǎn)撥】首先過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，由AB=AC=5，BC=2，可求得BH的長，由勾股定理可求得AH的長，又由四邊形P1E1F1G1是矩形，可得E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，然后由平行線分線段成比例定理，即可求得E1P1=2BP1，F(xiàn)1G1=2CG1，則可求得L1的值，同理可求得L2，……，L100的值，繼而求得答案．【解題過程】解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵AB=AC=5，BC=2．∴BH=12BC=1∴AH=AB2∵四邊形P1E1F1G1是矩形，∴E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，∴E1P1∥AH，∴E1P1∴E1P1=2BP1，同理：F1G1=2CG1，∴矩形P1E1F1G1的周長為：E1P1+E1F1+P1G1+F1G1=2P1G1+2BP1+2CG1=2（P1G1+BP1+CG1）=2BC=4，∴L1=4，同理：L2=L3=…=L100=4，∴L1+L2+……+L100=4×100=400．故答案為400．15．（2022·新疆·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是邊AC的中點(diǎn)，CE⊥BD于E．若F是邊AB上的點(diǎn)，且使△AEF為等腰三角形，則AF的長為_____．【思路點(diǎn)撥】由相似三角形的性質(zhì)可求AE的長，BE的長，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．【解題過程】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2∵∠DCB＝90°，CE⊥BD，∴△CDE∽△BDC，∴CD2＝DE?DB，∵AD＝CD，∴AD2＝DE?DB，∴ADDE∵∠ADE=∠ADB，∴△DAE∽△DBA；∴AEAB∴AE＝210∵DE＝55，BD＝5∴BE＝45如圖1中，若AE＝AF時(shí)，∴AF＝210如圖2中，若FE＝AE時(shí)，過點(diǎn)E作EJ⊥AB于J，∵JE2＝AE2﹣AJ2＝EB2﹣BJ2，∴4025﹣AJ2＝8025﹣（22﹣AJ）∴AJ＝42∵AE＝EF，EJ⊥AF，∴AF＝2AJ＝82如圖3中，若EF＝AF時(shí)，過點(diǎn)E作EJ⊥AB于J，∵EJ2＝AE2﹣AJ2＝EF2﹣FJ2，∴4025﹣3225＝AF2﹣（425﹣∴AF＝22綜上所述：AD的長為2105或82故答案為：2105或82評卷人得分三．解答題（本大題共9小題，滿分55分）16．（2022·湖南·長沙市華益中學(xué)三模）已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是；(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；(3)四邊形AA2C2C的面積是平方單位．【思路點(diǎn)撥】（1）將△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，如圖所示，找出所求點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，找出所求點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)四邊形的面積等于兩個三角形面積之和解答即可．【解題過程】解：（1）如圖所示，畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（2，﹣2）；（2）如圖所示，以B為位似中心，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，∴A2B=2AB，根據(jù)A2∴C2B=2CB，根據(jù)C2點(diǎn)B2與點(diǎn)B連接A2C2、A2B、C2B，即可得到△（3）四邊形AA2C2C的面積是＝SA故答案為：7.517．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是由5×6個邊長為1的小正方形網(wǎng)格組成，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的三個頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，請僅用無刻度的直尺，按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫出平行四邊形ABCD，并直接寫出它的面積；（2）在圖2中，畫出△ABC的中線AE；（3）在圖3中，在AC上找點(diǎn)F，連結(jié)BF，使△ABF的面積是△CBF的面積12【思路點(diǎn)撥】（1）作出AD//BC且AD=BC的線段即可；（2）找出BC中點(diǎn)E，連接AE即可；（3）作相似三角形且相似比為1:3，找出AC邊的三等分點(diǎn)F，連接BF，即可得△ABF的面積是△CBF的面積12【解題過程】解：（1）因?yàn)槠叫兴倪呅螌吰叫星蚁嗟龋士扇鐖D1所示圖像，即為平行四邊形ABCD，AB=12+32AB∴△ABC是直角三角形，∴S（2）由網(wǎng)格可作矩形BMCN，根據(jù)矩形的對角線互相平分，如圖2所示E為BC中點(diǎn)，連接AE，則AE為△ABC的中線；（3）如圖3所示，作△ACJ，使AJ=3，取AJ的3等分點(diǎn)H，作HK//JC交AC于點(diǎn)F，則△AFH～△ACJ，且相似比1:3，∴AC=3AF，∴AF=1∵△ABF與△CBF同高，∴△ABF的面積是△CBF的面積1218．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，EF=25，BD＝6．求AD【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可判斷；（2）解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性質(zhì)求出DF，AD即可．【解題過程】解：（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴ΔAEB∽ΔCFB．（2）如圖，作CH⊥EF于H．∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，∴∠BFD=∠CEB，∵∠BFD=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，∴△CEF為等腰三角形，∴CE=CF，∵CH⊥EF，∴點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)，∴EH=FH=5∴CH=E∵∠BFD=∠CFH,∠CHF=∠BDF=90°，∴ΔBFD∽ΔCFH，∴DFHF∴DF5∴DF=3，CD=CF+DF=8，∵∠ADC=CDB=90°，∵∠ECH=∠FCH,∠FBD=∠CBF，根據(jù)ΔBFD∽ΔCFH，即∠FCH=∠FBD，∴∠ACD=∠CBD，∴ΔACD∽ΔCBD，∴ADCD∴AD8∴AD=3219．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點(diǎn)（DP＜CP），∠APB=90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延長線交邊AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN∥MP交DC于點(diǎn)N．（1）求證：AD2=DP?PC；（2）請判斷四邊形PMBN的形狀，并說明理由；（3）如圖2，連接AC，分別交PM，PB于點(diǎn)E，F(xiàn)．若DPAD=12，求【思路點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易證△APG∽△PBG，所以PG2=AG?GB，即AD2=DP?PC；（2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由題意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，從而可知PM=MB=AM，又易證四邊形PMBN是平行四邊形，所以四邊形PMBN是菱形；（3）由于DPAD=12，可設(shè)DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，從而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，從而可證△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，從而可得AFAC＝59，AEAC＝513【解題過程】解：（1）過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，∴易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，∴AD=PG，DP=AG，GB=PC∵∠APB=90°，∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，∴∠APG=∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴PGAG∴PG2=AG?GB，即AD2=DP?PC；（2）∵DP∥AB，∴∠DPA=∠PAM，由題意可知：∠DPA=∠APM，∴∠PAM=∠APM，∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB∴AM=PM，PM=MB，∴PM=MB，又易證四邊形PMBN是平行四邊形，∴四邊形PMBN是菱形；（3）由于DPAD可設(shè)DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，∵PG2=AG?GB，∴4k2=k?GB，∴GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴CFAF∴AFAC又易證：△PCE∽△MAE，AM=12AB=5∴CEAE∴AEAC∴EF=AF-AE=59AC-513AC=20∴EFAE20．（2022·河南·漯河市第三中學(xué)九年級期末）（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），連接CE，AG交于點(diǎn)H，請直接寫出線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，將矩形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<360°），連接AG，CE交于點(diǎn)H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG，CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，將矩形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<360°），直線AG，CE交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，請直接寫出線段AE的長．【思路點(diǎn)撥】（1）證明△GDA≌△EDC（SAS），即可求解；（2）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證明△GDA∽△EDC，即可求解；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段AG上時(shí)，如圖3，證明△DGP∽△EGD，列比例式可得AE的長；②當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，如圖4，同理可解．【解題過程】解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，即∠ADG＝∠CDE，∵DG＝DE，DA＝DC，∴△GDA≌△EDC（SAS），∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，∵∠COD＝∠AOH，∴∠AHO＝∠CDO＝90°，∴AG⊥CE，故答案為：相等，垂直；（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：由（1）知，∠EDC＝∠ADG，∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，∴DGAD=1∴DGAD∴△GDA∽△EDC，∴ADDC=AGEC=1∵△GDA∽△EDC，∴∠ECD＝∠GAD，∵∠COD＝∠AOH，∴∠AHO＝∠CDO＝90°，∴AG⊥CE；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段AG上時(shí)，如圖3，在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，則EG＝5，過點(diǎn)D作DP⊥AG于點(diǎn)P，∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，∴△DGP∽△EGD，∴DGEG=PG∴PD＝125，PG＝9則AP=A則AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝6215+95﹣5②當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，如圖4，過點(diǎn)D作DP⊥AG于點(diǎn)P，∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，同理得：PD＝125，AP＝6由勾股定理得：PE＝42則AE＝AP+PE＝6215+165綜上，AE的長為62121．（2022·安徽合肥·二模）如圖，為了探究某種類型矩形ABCD的性質(zhì)，數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組在BC邊上取一點(diǎn)E，連接DE．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)DE平分∠ADC時(shí)，將△ABE沿AE折疊至△AFE，點(diǎn)F恰好落在DE上．據(jù)此解決下列問題：(1)求證：△AFD≌(2)如圖，延長CF交AE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H．①求證：AH?AF=AG?CF；②求GHGF【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)ED平分∠ADC，有∠ADE=∠EDC=45°，即∠DEC=45°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，有△ABE?△AFE，即AB=AF，∠AFD=∠B=90°，則有AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，即可得△AFD?△DCE；（2）①過點(diǎn)F作FM⊥BC于M點(diǎn)，過E點(diǎn)作EN∥AB交HC于點(diǎn)N，設(shè)EC=a，BE=b，易得△EFM、△AFD、△DCE均是等腰直角三角形，即可求出EM、MF、EF，根據(jù)翻折的性質(zhì)有AF=AB，即可得a=(2+1)b，利用勾股定理可求出AE、NC、CF，再根據(jù)EN∥AB、FM∥AB，即可求出EN、FM、BH、HF，進(jìn)而求出AG、GE、AH，即有AH?AF=ab=AG?CF；【解題過程】解：（1）∵ED平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°，∴∠DEC=45°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，有△ABE?△AFE，∴AB=AF，∠AFD=∠B=90°，∴AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，∴△AFD?△DCE，（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC于M點(diǎn)，過E點(diǎn)作EN∥AB交HC于點(diǎn)則有∠FME=∠NEC=90°=∠FMC，設(shè)EC=a，BE=b，∴AD=BC=BE+EC=a+b，∵在（1）有，∴∠ADE=∠EDC=∠DEC=∠FAD=45°，∴△EFM、△AFD、△DCE均是等腰直角三角形，∴DC=EC=AB=a，AF=FD=12AD=a+b2，ED=2DC=2∴EF=ED-FD=2a-a+b2=a-b∴EM=FM=EF2=a-b∵根據(jù)翻折的性質(zhì)有AF=AB，∴a=a+b2，即∵BE+EM=b+a-b2=a+b2=EC-EM=a-a-b2∴M點(diǎn)為BC中點(diǎn)，∵FM⊥BC，∴FM∥∴F為HC中點(diǎn)，即FM為△HBC的中位線，∴BH=2FM=2×a-b2=a-b，HF=CF∴AH=AB-BH=a-(a-b)=b，∵M(jìn)C=a+b2，F(xiàn)M=a-b∴在Rt△FCM中，有CF=F在Rt△ABE中，有AE=A∵EN∥∴ECBC=EN還有GEAG=EN∴AE-AGAG=EN∵AH?AF=b×a=ab，AG?CF=又∵a=(2∴AG?CF=b(a+b)即有AH?AF=AG?CF，結(jié)論得證；②在①基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，在Rt△ENC中，NC=N在Rt△BHC中，HC=B∴HN=HC-NC=2∵EN∥∴AHEN=HG即：GN=∴GH=HN-GN=b2∴GF=HF-GH=CF-GH=a2∴GHGF∵a=(2∴GHGF22．（2022·全國·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），點(diǎn)E是線段CB延長線上的一個動點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交射線DC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若k＝1，則AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，若k≠1，試判斷AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，連接BD交AF于點(diǎn)G，連接EG，當(dāng)CF＝1時(shí)，求EG的長．【思路點(diǎn)撥】（1）證明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AF＝AE；（2）證明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)得出ABAD（3）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在DA上時(shí)，證得△GDF∽△GBA，得出GFGA=DFBA=12，求出AG＝2173②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長線上時(shí)，同理可求出EG的長．【解題過程】解：（1）AE＝AF．∵AD＝AB，四邊形ABCD矩形，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，∴△EAB≌△FAD（AAS），∴AF＝AE；故答案為：AF＝AE．（2）AF＝kAE．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，∴∠FAD+∠FAB＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB+∠FAB＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠ADF．∴△ABE∽△ADF，∴ABAD∵AD＝kAB，∴ABAD∴AEAF∴AF＝kAE．（3）解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在DA上時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AD＝2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF＝AD∵DF∥AB，∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，∴△GDF∽△GBA，∴GF∵AF＝GF+AG，∴AG＝2∵△ABE∽△ADF，∴AEAF∴AE＝12AF=在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，∴EG＝AE②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長線上時(shí)，DF＝CD+CF＝2+1＝3，在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF＝AD∵DF∥AB，∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，∴△AGB∽△FGD，∴AGFG∵GF+AG＝AF＝5，∴AG＝2，∵△ABE∽△ADF，∴AEAF∴AE=1在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，∴EG＝AE綜上所述，EG的長為5176或23．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分別平分∠ADC，∠ABC，并交線段AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E，B不重合）．在線段BF上取點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在BN之間），使BM＝2FN．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D勻速運(yùn)動到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q恰好從點(diǎn)M勻速運(yùn)動到點(diǎn)N．記QN＝x，PD＝y(tǒng)，已知y=-65x+12，當(dāng)Q為BF（1）判斷DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求DE，BF的長；（3）若AD＝6．①當(dāng)DP＝DF時(shí)，通過計(jì)算比較BE與BQ的大小關(guān)系；②連結(jié)PQ，當(dāng)PQ所在直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個頂點(diǎn)時(shí)，求所有滿足條件的x的值．【思路點(diǎn)撥】（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；（2）求出DE=12，MN=10，把y=254代入y=-65x+12，解得：x=6，得到NQ=6，得出QM=4，由FQ=QB，BM=2FN（3）①連接EM并延長交BC于點(diǎn)H，易證四邊形DFME是平行四邊形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=4，MH=2，EH=6，由勾股定理得BH=23，BE=43,當(dāng)DP=DF時(shí)，求出BQ=223，得到②（Ⅰ）當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，y=0，則x=10；（Ⅱ）當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，則FQDP=CFCD（Ⅲ）當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，則PEBQ=AEAB，根據(jù)勾股定理得AE=63,則AB=103，x=【解題過程】解：（1）DE與BF的位置關(guān)系為：DE∥BF，理由如下：如圖1所示：∵∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分別平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=1∴∠ADE+∠ABF=1∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x=0，得y=12，∴DE=12，令y=0，得x=10，∴MN=10，把y=254代入解得：x=6，即NQ=6，∴QM=10-6=4，∵Q是BF中點(diǎn)，∴FQ=QB，∵BM=2FN，∴FN+6=4+2FN，解得：FN=2，∴BM=4，∴BF=FN+MN+MB=16；（3）①連接EM并延長交BC于點(diǎn)H，如圖2所示：∵FM=2+10=12=DE，DE∥BF，∴四邊形DFME是平行四邊形，∴DF=EM，∵AD=6，DE=12，∠A=90°，∴∠DEA=30°，∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∴∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∴∠DFM=∠DEM=120°，∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，∴∠MEB=∠FBE=30°，∴∠EHB=180°-30°-30°-30°=90°，DF=EM=BM=4，∴MH=1∴EH=4+2=6，由勾股定理得：BH=BM∴BE=EH當(dāng)DP=DF時(shí)，-65解得：x=302∴BQ=14-x=14-203∵223BQ＞BE；②（Ⅰ）當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，如圖3所示：y=0，則x=10；（Ⅱ）當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，如圖4所示：∵BF=16，∠FCB=90°，∠CBF=30°，CF=12CD=8+4=12，∵FQ∥DP，∴△CFQ∽△CDP，∴FQDP=∴2+x-6解得：x=103（Ⅲ）當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，如圖5所示：∵PE∥BQ，∴△APE∽△AQB，∴PEBQ=根據(jù)勾股定理得：AE=D∴AB=63+4∴12--解得：x=143由圖可知，PQ不可能過點(diǎn)B；綜上所述，當(dāng)x=10或x=103或x=143時(shí)，24．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，分別過OB，OC的中點(diǎn)D，E作AE，AD的平行線，相交于點(diǎn)F，已知OB=8．（1）求證：四邊形AEFD為菱形．（2）求四邊形AEFD的面積．（3）若點(diǎn)P在x軸正半軸上(異于點(diǎn)D)，點(diǎn)Q在y軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A，P，Q，G為頂點(diǎn)的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）結(jié)合正方形性質(zhì)求得△ACE≌△ABD，從而得到AE=AD，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．（2）連接DE，求出△ADE的面積即可解決問題．（3）首先證明AK=3DK，①當(dāng)AP為菱形的一邊，點(diǎn)Q在x軸的上方，有圖2