2022-2023學(xué)年山西大學(xué)附中高三（上）診斷數(shù)學(xué)試卷（8月份）（附答案詳解）

2022-2023學(xué)年山西大學(xué)附中高三（上）診斷數(shù)學(xué)試卷（8月份）

1.已知全集〃=/?,集合4={用1<%<4},8={燈2*>8},則40((：1/8)=()

A.(1,3)B.(1,3]C.(2,3]D.(3,4)

2.己知角a的終邊在直線y=-2x上，則cosa=()

A.等B.fC.±gD.土等

3.已知復(fù)數(shù)2滿足2?(1+。2=(1-山)2(￡16/?),則2為實數(shù)的一個充分條件是()

A.a=0B.a=1C.V2D.a=2

4.已知|五|=3,|b|=2,五與石的夾角為半則|2五一3至|=()

A.6B.3V6C.3V6-3V2D.3V2

5.函數(shù)f（x）=淺^+xcosx在［一2幾,27rl上的圖象大致為（）

03*。4=15,O.2+Q5=8，石過九=21,則71=()

A.9B.10C.11D.12

x2y2

已知雙曲線及的一條漸近線方程為丫=則下列說法正確的是（）

7.4m=13%+20,

A.E的焦點到漸近線的距離為2B.m=6

的離心率為當(dāng)

C.E的實軸長為6D.E

8.已知a,￡是平面,m,幾是直線,則下列命題不正確的是（）

A.若m〃幾，m1a,則n1aB.若m1a,m上0,則?！ā?/p>

C.若？n_La,mjfn.nu則aJL￡D.若m//a,aC\0=n,則zn//?i

9.（1+頡1+刀）6展開式中一的系數(shù)為（）

A.15B.20C.30D.35

Y2

10.己知雙曲線3―y2=i(a>0)的左、右交點分別為&、F2,過點尸2作一條漸近線的垂線，

垂足為P.若aPFiF2的面積為2VL則該雙曲線的離心率為()

A.3B.當(dāng)C.等D.平

11.已知a=lnV5,b=e-1,c=(9—31n3)e-3,則a,b,c的大小為()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

12.設(shè)函數(shù)/'(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)((嗎，VxG7?,有/O)-f(T)=爐,在(0,+8)上有

2/，W-3x2>0,若/(m-2)-/(m)2-3巾2+6m-4，則實數(shù)巾的取值范圍為()

A.[-1,1]B.(-8,1]

C.[1,+°O)D.(-00,-1]u[l,+oo)

13.若曲線f(x)=aex+er在點(0/(0))處的切線與直線x+3y=0垂直，貝b=.

14.2020年年初，新冠肺炎疫情襲擊全國.口罩成為重要的抗疫物資，為了確保口罩供應(yīng)，

某工廠口罩生產(chǎn)線高速運轉(zhuǎn)，工人加班加點生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)依次為Xi，

x2>x3,x4,%5(單位：十萬只)，若這組數(shù)據(jù)X2>x3,x4,%5的方差為L44,且在，據(jù)，

xl，xl，潞的平均數(shù)為4,則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩十萬只.

15.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=4,a=4V2sinA,且C為銳角，則

△ABC面積的最大值為.

16.三棱錐P-4BC中，平面PAC平面ABC,ABA.AC,PA=PC=AC=2,AB=4,則三

棱錐P-4BC的外接球的表面積為.

17.在△ABC中，是A,B,C所對應(yīng)的分邊別為a,b,c,且滿足asinB=bsin2A

(1)求角A；

(2)若a=2,AABC的面積為b，求△ABC的周長.

18.在數(shù)列｛a"中，%=l,a+i=1--二，其中neN*.

nirCLfiL.￡

(1)證明數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，并寫出證明過程；

(2)設(shè)。=懸,n>2,且0=2,數(shù)列｛cn｝的前〃項和為7；，求〃?

19.如圖，在四棱錐S-ABC。中，四邊形ABCO是矩形，△SA。是正三角形，且平面SADJ■平

面ABC。，AB=1,P為棱AB的中點，四棱錐S-4BC。的體積為竽.

(1)若E為棱SB的中點，求證：PE〃平面SCO；

(2)在棱必上是否存在點M,使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為等？若存

在，指出點M的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.

20.某學(xué)校的自主招生考試中有一種多項選擇題，每題設(shè)置了四個選項ABC。，其中至少兩項、

至多三項是符合題目要求的.在每題中，如果考生全部選對得5分，有選錯的得0分，部分

選對的得2分.小明同學(xué)參加考試時遇到一道這樣的多選題，他沒有能力判斷每個選項正確

與否，只能瞎猜.假設(shè)對于每個選項，正確或者錯誤的概率均為去

(1)寫出正確選項的所有可能情況；如果小明隨便選2個或3個選項，求出小明這道題能得5

分的概率；

(2)從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來看，小明應(yīng)該只選一個選項？還是兩個選項？還是三個選項？

21.已知橢圓C：^+'=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2，點”(0,2)是橢圓C的一

個頂點，AFiMB是等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點M分別作直線MA,例8交橢圓于A,B兩點，設(shè)兩直線MA,MB的斜率分別為七，k2,

且自+&=8,證明：直線AB過定點.

22.已知函數(shù)f(x)=mxlnx—x2—x(m6/?).

(1)若m=討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若方程/(%)+%=0有兩個不同的實數(shù)根％2?

⑴求力的取值范圍；

(ii)若2次>3與，求證：>”.(參考數(shù)據(jù)：Ini.5yo.405)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為4={x|l<x<4},B={x\2x>8}=[x\x>3},

所以an(GJB)={x|i<X<4}n{x\x<3}=(1,3].

故選：B.

由已知先求B,然后結(jié)合集合的補集與交集運算可求.

本題主要考查了集合的交集與補集運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：???角a的終邊在直線y=—2x上，，.tana=—2,a的終邊在第二或第四象限，

若a的終邊在第二象限，則史”=-2,sin2a+cos2a=1,且sina為正數(shù)，cosa為負(fù)數(shù)，求得cosa=

cosa

_V5

若a的終邊在第四象限，則剋吧=-2,sin2a+cos2a=1,且sina為負(fù)數(shù)，cosa是正數(shù)，求得cosa=

cosa

V5

T

故選：c.

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求cosa的值即可.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3【答案】B

【解析】解：???z?(1+i)2=(1—ai)2(a6/?),

2

...z=1―2；。2=_2出一a)(-i)=-Q+咚1匕

若Z為實數(shù)，則且U=0,解得a=±l,

則z為實數(shù)的一個充分條件是a=1,

故選：B.

利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)為實數(shù)的充分條件即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)為實數(shù)的充分條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由題意，

可知|2方一33|2=(2a-36)2

=4|a|2-2-2a-3K+9|6|2

=4-9—12-|a|-|h|-cos<a,b>4-9?4

1

=72-12-3-2

=36,

A\2a-3b\=6.

故選：A.

先根據(jù)平面向量的運算及數(shù)量積計算出|2萬一3方/，即(23-3]產(chǎn)的值，進(jìn)一步即可計算出|2H—

331的值，從而可得正確選項.

本題主要考查平面向量的運算，以及數(shù)量積的運算.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，向量的運算，以及

邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，f(x)=今群+xcosx,xe[-271,2n],

則/(-x)=-(^+xcosx)=-/(x),則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除。，

，(2兀)=+(2TT)COS(2兀)=2兀>0,排除B,

在區(qū)間(0,0上，sinx>0,cosx>0,有/'(x)>0,函數(shù)圖象在x軸上方，排除A,

故選：C.

根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性排除D,求出/(2兀)的值排除B,進(jìn)而可得在區(qū)間(0,方上，有/Q)>

0,排除A,即可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，一般用間接法分析，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列通項公式及性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)等差數(shù)列｛冊｝公差為d,根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知=8,結(jié)合=15可求得

。3、a4>然后求得"，最后結(jié)合即=21求得"值.

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列｛an｝公差為d,

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知。2+=8,

又?:a3-a4=15且｛a"為遞增的等差數(shù)列，

工解得：a3=3,CZ4=5；d=5-3=2,

又：an=21,

a3+(n-3)d=21,即3+2(n-3)=21,

解得n=12.

故選D

7.【答案】D

【解析】解：雙曲線E：1-已=1的一條漸近線方程為3x+2y=0,

可得孚=|,可得巾=9,所以B不正確，E的焦點到漸近線的距離為b=3,所以A不正確.

實軸長為2a=4,所以C不正確；離心率為：￡=浮，所以。正確.

a2

故選：D.

利用雙曲線方程，求解如然后判斷選項的正誤.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：對于A：<m〃n,m-La,*由直線與平面垂直的判定定理得nJ_a,故A正確；

對于B：1.■m1a,ml/?,.,.由平面與平面平行的判定定理得a〃/?,故B正確；

對于C：?；m1a,m//n,nu/?,.,.由平面與平面垂直的判定定理得a10,故C正確；

對于。：vm//a,aC0=n,；.rn與〃平行或異面，故。錯誤.

故選：D.

對于4由直線與平面垂直的判定定理得n_La；對于8：由平面與平面平行的判定定理得a〃八

對于C：由平面與平面垂直的判定定理得a，夕；對于。：〃7與〃平行或異面.

本題考查直線與平面、直線與直線及平面與平面的位置關(guān)系的判斷，考查基本性質(zhì)與判定的理解，

屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式特定項的系數(shù)，屬于中檔題.

將(1+妥)(1+I分兩部分討論求解即可.

【解答】

解：由(1+X)6的二項式展開式的通項公式可得娛

(1+妥)Q+X)6展開式中：

若1+妥提供常數(shù)項1,貝也+X)6提供含有/的項，

可得展開式中/的系數(shù)為盤=15；

若1+妥提供5項，則(1+x)6提供含有P的項，

可得展開式中小的系數(shù)為4=15；

.1.(1+=)(1+x)6展開式中一的系數(shù)為：15+15=30.

故選C.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的性質(zhì)、點到直線的距離公式及三角形面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.

由雙曲線的方程可得右焦點尸2及漸近線的方程，進(jìn)而求出右焦點到漸近線的距離，/,由勾股定理

再求|OP|的值，進(jìn)而求出△OPF2的面積，由AOPFi與AOPF2等底|0&1=1。尸2|，同高|yp|，可得

△P&F2等于△。2尸2的2倍，由題意求出c的值及a的值即可.

【解答】

v2

解：設(shè)尸2(60)，由雙曲線混一y2=1(">0),可知漸近線的方程為久土ay=0,且c2=Q2+1,

所以Fz到漸近線的距離d=滯言=1,

222

所以|0P|=7|OF2|—d=Vc—1,

所以S^OPF?=\|0P|,d=9.y/c2-1-1=y/c2-1,

因為與^OPF2等底|O0|=QF2I，同高|yp|,所以SMP&=S^PF?，

所以SNFIFZ=2s&OPFZ=2-I-Vc2-1=Vc2-1=2V2,

解得?2=9,a2=8,

所以離心率。=(=矗=苧，

故選D.

I1.【答案】B

【解析】解：令函數(shù)/(x)=?(xNe),

則/'(%)=今竺<0在［e,+8)上恒成立，

所以f(x)在［e,+8)上單調(diào)遞減，

又a=^=f⑶，b=?=/(e),,=^^=/=/(當(dāng)，

T

且e<3<持，

/(e)>/(3)>/(y),即b>a>c,

故選：B.

根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)/(x)=e),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

本題主要考查了利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔

題.

12.【答案】B

【解析】解：令g(%)=/(x)~\x3,

???gO)-g(-x)=以x)-|x3-/,(-%)-1%3=o,

函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

??,x€(0,+8)時，g'(%)=/'(%)—5x?>o,

???函數(shù)g(%)在(0,+8)上是增函數(shù),

?,?函數(shù)g(%)在(一8,0)上是減函數(shù)，

:.f(m—2)—f(m)=g(m—2)4-(m—2)3—g(m)—1m3=g(m—2)—g(rn)—3m2+6m—

4N—37712+6TH—4,

???g(m-2)>5(m),

|m-2|>|m|,

解得：m<1,

.,.實數(shù)〃?的取值范圍(一8口，

故選：B.

構(gòu)造函數(shù)9(無)=/(%)-4/，由g(x)—g(_x)=0,可得函數(shù)g(X)為偶函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)

g(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

13.【答案】4

【解析】解：/(%)=aex+eT在的導(dǎo)數(shù)為尸(x)=aex—e~x,

即有/(x)在x=0處的切線斜率為k=a-l,

由在x=。處的切線與直線x+3y=0垂直，

即有。一1=3,

解得a-4.

故答案為：4.

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切點處的切線的斜率，即可解得。的值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，同時考查兩直線

垂直的條件，正確求出導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】1.6

【解析】解：設(shè)該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩為3

由題意可得出當(dāng)出=4,

則好+%2+X3+X4+X5=20,

—2一2

由（X]T）+.：+（X5T）=144,

222xx2

可得（與-x）+（x2-x）+-"（x5一%）=xf+%2+^3+4+5+5^-2（勺+X2+X3+X4+

町方

=20+5x2-10x2=20-5x2=7.2,

解得久=1.6.

故答案為：1.6.

設(shè)該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩為3運用〃個數(shù)的平均數(shù)公式和方差公式，列方程，解方程可

得所求值.

本題考查統(tǒng)計知識在實際問題中的應(yīng)用，考查方程思想和化簡運算能力，是一道基礎(chǔ)題.

15.【答案】4+4V2

【解析】

【分析】

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，

考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

利用正弦定理求出C=；,利用余弦定理和基本不等式得出abW瑞=8（2+企），再利用三角形

面積公式得出最大面積.

【解答】

解：因為c=4,又=4夜，

sines】nA

所以sinC=多又C為銳角，所以C弋

2222

因為a=a+b-2abcosC=a+b-y[2ab>（2—y[2）ab9

所以abW瑞=8（2+夜），當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=j8（2+企）時等號成立，

即SMBC=gabsinC=-^ah<4+4V2,

即當(dāng)a=b=J8(2+e)時，△ABC面積的最大值為4+4企.

故答案為4+4V2.

16.【答案】支

【解析】解：由P4=PC=4C=2,可得三角形PAC為等邊三角形，

又4BL4C,得三角形A8C為直角三角形，而平面PAC_L平面ABC,

設(shè)三角形尸4c的外心為E,8c的中點為。，

如圖所示，過E作平面PAC的垂線，過。作底面ABC的垂線，兩垂線交

于0，

則0為三棱錐P-4BC的外接球的球心.

由已知可得P尸=V22—12=遮,EF=y,

則0D=EF=y,而DC=jfiC=ix2V5=V5,

三棱錐的外接球半徑R=J(V5)2+(y)2=后,

則三棱錐外接球的表面積S=4兀x(碧產(chǎn)=若

故答案為：等.

首先確定球心的位置，進(jìn)一步確定球的半徑，再由球的表面積公式求解.

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中

檔題.

17.【答案】解：(1)因為asinB=bsin24由正弦定理可知：號=芻,

、'cm4cmR

則篇=磊=肅？所以sin24=sim4,即2cos4=1,

又因為OV/VTT,所以/=1

(2)因為SMBC=|bcsinA=V3,所以be=4,

又由余弦定理小=爐+-2bccos/得，4=b24-c2-2-4-

所以爐+c2=8,又由b+c=yjb2+c2+2bc=4,

所以△ABC的周長為：6.

【解析】(1)利用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)恒等變形公式對已知式子化簡變形可求出

(2)由三角形的面積可得兒=4,再利用余弦定理可求出b+c,從而可求出三角形的周長.

本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】證明：(1)數(shù)列｛即｝中，的=1,即+1=1-去,b=一彳，

^an4即一,

所以8n+l=2aI1

Zan+1-1

故%+1-b=T—---1=------\-------1=1(常數(shù))，

n2即+1-12a-l2x(1-4)-12a-l'7

n'4a/n

山丁瓦=五匕=1'

故數(shù)列｛%｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)得：hn=1+(n-1)=n,

r-KI2b2n4n

所r以“=灑n言=嚴(yán)=干，

設(shè)4=云，

所以S”=di+cl2+…+dn=5H—j+…+/，①，

乙2，

2sn=*+套+…+^T'②’

①-②得:|5n=?+*+…+/)―^T=2；_」一^T=1-

所以S”=2-

故〃=4Sn=8-竽.

【解析】(1)直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

(2)利用(1)的結(jié)論，首先求出數(shù)列｛%｝的通項公式，進(jìn)一步利用乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的

應(yīng)用求出數(shù)列的和.

本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列的求和，乘公比錯位相

減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)取SC中點凡連EF、DF.

1

VE,F為梭SB,SC的中點，.”?"BC,且EF=”C,

???四邊形ABC。是矩形，P為棱AD的中點，

???PD//BC,PD=^BC,

EF//PD,EF=PD,.?.四邊形PEFC是平行四邊形，

???PE//FD,

又,：FDu平面SCD,PEC平面SCD,

???PE〃平面SCD；

(2)假設(shè)在棱SA上存在點M滿足題意，

在等邊三角形SA。中，P為4。的中點，所以SP_L4D,

又平面SAD1_平面ABC。，平面S4DC平面4BCD=AD,SPu平面SAZ),

SP，平面4BCD,二SP是四棱錐S-4BCD的高.

設(shè)4D=>0),則SP=^m,^ABCD=M,

:'V四棱錐s-ABCD=飛S矩形ABCD,SP=x2m=亍，..m=2.

以點P為原點，PA，丙的方向分別為x,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0),S(0,0,V3),

???PA=(1,0,0),麗=(1,1,0),AS=(-1,0,V3).

設(shè)祠=XAS=(-A,0,V3A)(0<A<1),

=PA+AM=(1-A,0,V3A).

設(shè)平面PM8的一個法向量為七=(x,y,z),

則『?星=a-機+孰=。一.元=(同一⑸八1),

易知平面SAD的一個法向量為記=(0,1,0),

,,一一、?|-V3A|2V3

|COS<九1,H>|=,■==—,

J7A2-2A+1

解得；I=I,

???存在點M,使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為等.

【解析】(1)取SC中點F,連EF、DF.可證四邊形PEFQ是平行四邊形，從而可證PE〃平面SCD；

(2)假設(shè)在棱SA上存在點M滿足題意，利用體積先求得4。=2,以點P為原點，PA,方的方向

分別為x,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

AM==(-2,0,732)(0<A<1),先表示出兩平面的法向量，從而可求;I的值.

本題考查線面平行的證明，考查面面角的求法，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)依題意，對于這道多選題，可能的正確答案AB,AC,AD,BC,BD,CD,

ABC,ABD,ACD,BCD,共有廢+盤=10種，

且這10種正確答案是等可能的.記事件A為“小明這道題隨便選2個或3個選項能得5分”，根

據(jù)古典概型的概率計算公式，有P(A)=*,

(2)如果小明只選一個選項，那么他這道題的得分X的所有可能取值為。和2,且P(X=2)=

喏=|,P(X=0)=1-P(X=2)=|.

故X的分布列為

X02

23

P

55

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x|+2x|=|

如果小明只選兩個選項，那么他這道題的得分y的所有可能取值為0,2,5.

P(X=5)=余P(x=2)=*=i,P(X=0)=1—P(X=5)-P(X=2)=/.

Y025

P711

105To

7119

,■?F(r)=Oxio+2x5+5xio=io-

如果小明只選三個選項,那么他這道題的得分Z的所有可能取值為0,5.P(Z=5)=2,P(Z=0)=

9

1-P(Z=5)=行

故Z的分布列為

Z05

91

P

1010

911

E(Z)=0x而+5x而=天

???E(x)>E(y)>E(z),從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來看，小明應(yīng)該只選一個選項.

【解析】(1)依題意，對于這道多選題，可能的正確答案是從A8C。中選兩個或三個的所有情況,

且這些種正確答案是等可能的.記事件A為“小明這道題隨便選2個或3個選項能得5分”，根

據(jù)古典概型的概率計算公式即可得出PQ4).

(2)如果小明只選一個選項，那么他這道題的得分X的所有可能取值為。和2,可得P(X=2)=

果1,P(X=0)=l—P(X=2),進(jìn)而得出X的分布列與X的數(shù)學(xué)期望E(X).如果小明只選兩個

選項，那么他這道題的得分y的所有可能取值為0,2,5.P(X=5)/,P(x=2)=樂P(X=

o)=i-p(x=5)-p(x=2),進(jìn)而得出丫的分布列與E(y).如果小明只選三個選項，那么他這道

題的得分Z的所有可能取值為0,5.P(Z=5)==,P(Z=0)=l-P(Z=5),進(jìn)而得出Z的分

布列與E(Z).經(jīng)過比較E(X),E(Y),E(Z)的大小情況即可得出結(jié)論.

本題考查了“離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望、分類討論方法，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意可得b=2,再由AF1MF2是等腰直角三角形可得b=c=2,

所以M=h2+c2=4+4=8,

所以橢圓的方程為：<+4=1;

(2)證明：當(dāng)直線A3的斜率存在時，設(shè)直線A8的方程為：y=kx+3CW2,

設(shè)/(%1，，B(%2,、2)，

聯(lián)立8'整理可得：(1+2%2)%2+4ktx+2t2-8=0,

〃、c,4kt2t2-8

/>0,%】+&=一詢'照2=由'

由題意的+&=9+”二=，(依1+-2)+打(-2+.2)=2"+?_2)?*,

XiX22t—8

由題意可得2/c4-(t—2)*=%

整理可得?-2)(21+4-/0=0,142,

可得2t+4-k=0,

所以k=2t+4,

即直線方程為：y=(2t+4)x+t=t(2x+1)+4x,

所以2x+1=0月一y=4x,

即恒過定點(T，—2),

當(dāng)直線4B的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x=t,(-2夜,2企),

代入橢圓的方程可得y2=4(1-即y=±2^1-p

設(shè)A(t,-2]1-%,B(t,J1-J),

由題意可得一；=8,可得￡=一分

即直線A8的方程為x=—；,也過定點(—今一2),

綜上所述：可證得直線A8恒過定點(-a-2).

【解析】(1)由頂點坐標(biāo)可得5的值，再由等腰直角三角形可得b=c,進(jìn)而求出〃的值，求出橢