2022屆北京市101中學高三（上）統(tǒng)練數(shù)學試卷（學生版+解析版）

2022屆北京市101中學高三（上）統(tǒng)練數(shù)學試卷

一、選擇題共io小題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

2

1.(5分)設(shè)集合A={y|y=2"},8={x\y=log2(S-x)},則AG8=()

A.{x\-1<X<1}B.{x|0<x<l}C.[x\x>\]D.0

177

2.(5分)數(shù)列{a〃}旃足aiWO,a〃+i=2。〃1),Sn表不{a〃}的刖〃項和，且S〃=2。2，

則〃=()

A.6B.7C.8D.9

3.(5分)在△ABC中，若c=2〃cosB,則△ABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.銳角三角形

4.(5分)若/(尤)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足/(I)=8,則/(2010)-/(2009)

=()

A.6B.7C.8D.9

5.(5分)函數(shù)產(chǎn)sin(2x-J)在區(qū)間[一方用的簡圖是()

V

y

c.

y

-八卜

x

DV

6.(5分)設(shè)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且/(1+x)(-x).若f(-g)=g，則/

(-)=()

3

5115

A.一5B.--XC,一D.一

3333

7.(5分)設(shè)等比數(shù)列｛期｝的前〃項和為S〃，則“m<0”是“S2021V0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.(5分)已知y=k)g”(3-or)在[0,1]上是尢的減函數(shù)，則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(0,3)D.[3,+8)

9.(5分)在aABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若<?=(〃-/>)2+6,C=則

△ABC的面積為()

9V33V3-

A.3B.-----C.-----D.3^3

22

10.(5分)已知函數(shù)/(x)=[/-Qx+2,*'a,若對于任意正數(shù)%,關(guān)于x的方程/(x)

(|x+a\,x<a

=%都恰有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)〃的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無數(shù)

二、填空題共5小題。

11.(5分)已知品為數(shù)列｛〃”｝的前〃項和，若品=2?！?2,則S5-S4=.

b+mb

12.(5分)能夠說明“若a,6,機均為正數(shù)，則——>一”是假命題的一組整數(shù)a,b的

a+ma

值依次為.

13.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3x+軟3>0),若f(x)2)(-同對任意的實數(shù)x都成立,則

3的最小值為.

14.(5分)已知數(shù)列｛所｝的通項公式廝=1。例寢de。*)，設(shè)其前〃項和為S”，則使當

<-3成立的最小的自然n為.

15.(5分)一種藥在病人血液中的量保持在1500,咫以上時才有療效，而低于500，即時病

人就有危險.現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥2500〃?g,如果藥在血液中以每小時20%的

比例衰減，設(shè)經(jīng)過x小時后，藥在病人血液中的量為ymg.

(1)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；

(2)要使病人沒有危險，再次注射該藥的時間不能超過小時.(精

確到0.1)

(參考數(shù)據(jù)：0.2°，3%0.6170,0.82-3?0.5986,0.872?0.2006,0.873?0.1916)

三、解答題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

16.(12分)已知函數(shù)/'(x)=sinoix+V5COS3X(3>0).

(I)當3=1時，求黑)的值；

71

(II)當函數(shù)/(X)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是3時，.

從①②③中任選一個，補充到上面空格處并作答.

①求/(X)在區(qū)間［0,身上的最小值；

②求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

③若/(x)》0,求x的取值范圍.

17.(12分)已知(”｝(nGN*)是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，1=16,2a3+3及=32.

(I)求｛如｝的通項公式;

(II)設(shè)加=310g24",求數(shù)列｛員｝的前"項和品，并求S”的最大值.

18.(12分)在△48C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ba=b(sinC+V5cosC).

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若4=不。為△A8C外一點，DB=2,CD=\,求四邊形ABOC面積的最大值.

19.(12分)己知函數(shù)/(x)=/-fcv+F.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有三個零點，求人的取值范圍.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=3^(a6R).

(I)當a=-l時;求/(X)在x=0處的切線方程；

(II)已知/(X)W1對任意x6R恒成立，求a的值.

21.(15分)已知｛〃“｝是無窮數(shù)列，a\=a,ai=b,且對于｛〃“｝中任意兩項如aj(Z<j)>在

｛如｝中都存在一項以使得以=2勾-訪.

(I)若a=3,b=5,求〃3;

(1【)若。=6=0,求證：數(shù)列｛板｝中有無窮多項為0；

(III)若a#b,求數(shù)列｛板｝的通項公式.

2022屆北京市101中學高三（上）統(tǒng)練數(shù)學試卷（一）

參考答案與試題解析

一、選擇題共io小題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

2

1.（5分）設(shè)集合A={y|y=2*},B={x\y-log20--x）},則AC8=（）

A.{x\-1<X<1}B.{x|0<x<l}C.{x\x>\}D.0

【解答】解：集合A={y|y=2X}={y|y>0},

2

B=（x\y=log2（l—%）}={x\-1<X<1},

?"G8=30Vx〈l}.

故選:B.

197

2.（5分）數(shù)列兩足a\WO,a〃+i=2如（1）,Sn表不{?！▆的刖n項和，且Sn=:“2，

貝ljn—（）

A.6B.7C.8D.9

【解答】解:根據(jù)題意，數(shù)列{如}滿足mWO,m+i=2〃〃，

則數(shù)列{.}為等比數(shù)列，且公比q=警=2,

an

「.127?,ai（l-2n）127

又由S”=~^-ay則------------XaiX2,

221-22

解可得〃=7；

故選：B.

3.（5分）在△ABC中，若c=2acosB,則△ABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.銳角三角形

【解答】解：利用余弦定理：cosB=a2+2acb2

則：c=2acosB=。

解得：a—b

所以：△ABC的形狀為等腰三角形.

故選：B.

4.（5分）若/（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足/（1）=8,則/（2010）-/（2009）

=（）

A.6B.7C.8D.9

【解答】解：???函數(shù)f（x）是周期為5的周期函數(shù),

：.f(2009)=/(2010-1)=/(-1),/(2010)=/(0),

V/(x)是奇函數(shù)，且滿足/(I)=8,

?V(0)=0,/(-1)=-8,

則/(2010)-/<2009)=/(0)-/(-1)=0-(-8)=8,

故選：C.

v

【解答】解：當x=-芻時，y=sin[(2x(-*)-芻=-sin(yr+亨)=sig=j>0,故

排除A,D；

當x=,時，y=sin(2x=sin0—0,故排除C;

故選：B.

11

6.(5分)設(shè)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且/(1+尢)=/(-x).若f(一斗=~,則/

5

(-)=()

3

5115

A.—□B.—?C.-D.一

3333

【解答】解：由題意得/(-幻=-/(外，

又/(1+x)=/(-X)=-f(x),

所以/(2+無)=/(x),

又一(一上=|,

則/(『5=/(2—弓1)=/(一1力1=1.

故選：C.

7.(5分)設(shè)等比數(shù)列伍”｝的前〃項和為S”，則“m<0”是“S2021V0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛板｝的公比為4，

若《=1,則$2021=20210,則“小<0”Q“S2021<0”.

1-O2021

若4片1,則S202i=ar-------,1-q與1-/。21的符號相同，則"m<0"q"$2021<

1-Q

0”.

綜上可得：“m<0”="S2021〈0”.

...“0<0”是“S2021V0”的充要條件.

故選：C.

8.(5分)已知y=log。(3-ax)在［0,1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(0,3)D.［3,+00)

【解答】??,>'=log,,(3-ax)在［0,1］上是尤的減函數(shù)

.*.0<3-aW3-axW3

即a<3①

又..julog”(3-ax)在［0,1］上是x的減函數(shù)，且3-辦是減函數(shù)

.\a>l②

綜上所述：l<a<3

9.（5分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若/=（〃-。）？+6,。=泉則

△ABC的面積為（）

9733y/3「

A.3B,---C.---D,3^3

22

【解答】解:?.?-=（〃-b）2+6,

?\c1=a2-2ab+b2+6,

即a2+b2-c1=2ah-6,

-C=3,

na2+b2-c22ab-61

I.cos-=---------=-------=-，

32ab2ab2

解得ab=6,

則三角形的面積S=&MnC=2X6x空=萼，

故選：C.

丫2—QY+2.Y>/7

一，若對于任意正數(shù)左，關(guān)于X的方程/（X）

｛\x+a\,x<a

=&都恰有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)。的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無數(shù)

【解答】解：函數(shù))，=|x+a|的圖象形狀大致如下，

①當。＞0時，要使/(x)=k有兩個不相等的實數(shù)根，即/(x)的圖象與直線)，=&有兩

個交點，如圖，

2

當y=7-ax+2的對稱軸x=多在x=a的左邊，且兩段在a處相交時，可滿足題意，此時

0<2<a,解得a=l；

a2—a-a+2=|a4-a|

②當“V0時，如圖,

要滿足條件，需在x=a處相接，且y=7-ax+2在x=3處的函數(shù)值為0,則

2

a—Q?a+2\a+a\

a2a2無解;

不一2+2=0

③當〃=0時，f（x）=1/+2'X~0,顯然不合題意；

（|x|,x<0

綜上，滿足條件的。有1個.

故選：B.

二、填空題共5小題。

11.（5分）已知品為數(shù)列｛〃”｝的前〃項和，若際=2的-2,則S5-義=32.

【解答】解：因為S”為數(shù)列｛“”｝的前〃項和，

彳jSn=2（ln-2,①

則a\=2a\-2=m=2；

則Sn-1=-I-2,②

①-②得：。〃=2版-24〃一1=〃〃=2〃〃一1=數(shù)列｛板｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列；

故4/1=2"；

???S574=25=32.

故答案為：32.

b+mb

12.（5分）能夠說明“若小瓦機均為正數(shù)，則——>一”是假命題的一組整數(shù)〃，人的

a+ma

值依次為1,2（答案不唯一）.

【解答】解：因為當a,b,m均為正數(shù)時，----<-=ab+amWba+bm0afnWbm=aWb,

a+ma

所以“若a,b,，”均為正數(shù)，則是假命題的一組整數(shù)a,b的值依次為1,2

a+ma

（只要《、〃為整數(shù)且“Wb即可）.

故答案為：1,2（答案不唯一）.

13.（5分）設(shè)函數(shù)/（x）=sin（3%+*?>0）,若/（x）2/（-今對任意的實數(shù)x都成立，則

3的最小值為2.

【解答】解：若/Xx)2/(—9對任意的實數(shù)X都成立，

可得了⑴的最小值為了(苫)，

可得—可3+石=2/51—2，4ez,

即有3=2-6%,kez,

由3>0,

可得3的最小值為2,此時％=0.

故答案為：2.

14.(5分)已知數(shù)列｛〃”｝的通項公式即=，0。2需(n6N*),設(shè)其前〃項和為S”則使S,

￡-3成立的最小的自然”為14.

【解答】解：因為=log2黑[neN*),

所以5〃=。1+。2+。3+…

234n+1

=log2?+log244-log25+…+log2九+2

=]og2京粕x-x露

2

=10g2n+2.

22T

:.SnW-3<=>log2九+2<-3=九+2<2=〃214.

故答案為：14.

15.(5分)一種藥在病人血液中的量保持在1500mg以上時才有療效，而低于500mg時病

人就有危險.現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥2500/咫，如果藥在血液中以每小時20%的

比例衰減，設(shè)經(jīng)過五小時后，藥在病人血液中的量為"zg.

(1)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=2500X0.8\x日0,+8)；

(2)要使病人沒有危險，再次注射該藥的時間不能超過」2_小時.(精確到。.1)

(參考數(shù)據(jù)：0.20-3%0.6170,0.82-3?0.5986,0.872?0.2006,0.87-3?0.1916)

【解答】解：(1)由題意可知，藥在血液中以每小時20%的比例衰減，

所以給病人注射了這種藥2500,咫，經(jīng)過x小時后，藥物在病人血液中的量為y=2500X

(1-20%)x=2500X0.8S

所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=2500X0.8'xG[0,+°°).

(2)因為藥在病人血液中的量保持在1500mg以上時才有療效，而低于500/咫時病人就

有危險，

所以令2500X0.8x2500,得0.8。0.2,

V0.87-2^0.2006,0.873??0.1916,

，xW7.2,

故要使病人沒有危險，再次注射該藥的時間不能超過7.2小時.

故答案為：j=2500X0.8xxG［0,+~)；7.2.

三、解答題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

16.(12分)已知函數(shù)/(x)=sin3x+V5cos3%(3>0).

(I)當3=1時，求魔)的值；

7T

(II)當函數(shù)jo圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是3時，

從①②③中任選一個，補充到上面空格處并作答.

①求/(X)在區(qū)間［0,身上的最小值；

②求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

③若/(x)20,求x的取值范圍.

【解答】解：(/)3=1時，f(x)=siru+V5cosX,

故/(g)=4+苧X魂=2,

(IDf(x)=2sin(<ox+5),

J3

TC

由函數(shù)/(x)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是w得T=ir,3=2,

故/(x)=2sin(2%+4)，

選①：由0SxS*得等，

所以一堂Wsin(2x+^)Wl,

所以/(x)在區(qū)間［0,月上的最小值—百；

②求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間，

令2/OT—2W2x+可W2/CTT+于得kn—WxWkn+keZ,

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間即-將也+金|,k￡Z,

③若/(x)20,則2/CTT42x+142/CTT+兀，kCZ,

解得kn—工工工式ku+可，ZcGZ?

O3

故X的取值范圍[也一5，配+&，k&Z.

OD

17.(12分)已知｛的｝(nGN*)是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，m=16,2/3+3公=32.

(I)求｛“"｝的通項公式；

(II)設(shè)加=310g24",求數(shù)列｛為｝的前n項和Sn,并求％的最大值.

【解答】解：(I)設(shè)｛〃”｝的公比為q,因為m=16,2a3+3〃2=32,

所以2『+3q-2=0.

解得q=-2(舍去)或q=

因此｛〃”｝的通項公式為即=16x(3"-i=25-n.

(II)由(I)得bn—3(5-n)log22=15-3〃,

當〃22時，bn-b“一1=-3,

故｛為｝是首項為4=12,公差為-3的單調(diào)遞減等差數(shù)列.

1Q

則又——■12n+2n(n—1)(—3)———](n^一9n).

又加=0,所以數(shù)列｛加｝的前4項為正數(shù)，

所以當〃=4或5時，S取得最大值，且最大值為S4=S5=30.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,^V3a=b(sinC+y/3cosC).

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若4=去。為△ABC外一點，DB=2,8=1,求四邊形ABOC面積的最大值.

【解答】解：(1)由正弦定理得，一工=一二，

sinAsinB

,:聒a=b(sinC+V^cosC),

/.V3sinA=sinB(sinC+6cosC),即+C)=sinBsinC+遮sinBcosC,

/.yJScosBsinC=sinBsinC,

'.'sinCWO,:,痘cosB=sinB,即tcmB=V3,

?:BE(0,ii),

(2)在△BCD中，30=2,CD=1,

由余弦定理知，BC2^CD2+BD2-2CZ).BZ)COSD=12+22-2X1X2XcosD=5-4cosD,

V/l=J,B=".?.△ABC為等邊三角形,

?*.S4ABC=)BC2Xsin——.；-y/3cosD,

1

又S^BDC=訝xBDxDCxsinD=sinD,

???SABDC=—y/^cosD+sin￡)=+2sin(D—可),

故當。+=今即。=第時，四邊形ABDC的面積取得最大值，為督+2.

19.(12分)已知函數(shù)f(x)—x3-kx+k1.

(1)討論_/a)的單調(diào)性；

（2）若f（x）有三個零點，求4的取值范圍.

【解答】解：(l)f(x)=?-kx+k2./(x)=3?-k,

kWO時，/(x)20,/(x)在R遞增,

Q0時,令，(x)>0,解得:

令/(x)<0,解得:

：.f（X）在（-8,一夠）遞增，在（-E）遞減，在（4，+8）遞增,

綜上，AWO時，f（x）在R遞增,

—遞增，在，—"jl，遞減，在+8）

%>0時，f(x)在(-8遞增;

=/（J號），f（X）極大值=f（

（2）由（1）得：k>0,f（x）極小值

若f（X）有三個零點,

rk>0

只需屋）<。，解得：0<k<^,

八也）>。

4

故依（0,一）.

27

20.（12分）已知函數(shù)f（x）=與手（aeR）.

（I）當a=-1時，求/（x）在x=0處的切線方程;

（II）已知F（x）W1對任意xeR恒成立，求”的值.

【解答】解：(1)當。=-1時，/'(X)=黃，f'口)=舞，

所以/(0)=1,f(0)=-2

切線/的斜率為&=/(0)=-2.

所以/(X)在x=0處的切線方程為y=-2x+l.

(II)依題意，火x)Wl對任意X6R恒成立,f'Q)=(1+。久)'eJQ+a久)(靖)，=-ax+a-1,

0)e

當a=0時，f>(x)=—由于，>0,則/(x)<0恒成立，

所以/(x)在R內(nèi)單調(diào)遞減，

因為f(0)=1,

故當冗V0時，f(x)>1,不符合題意.

當。羊0時，令/(X)=0,得x=

當“<0時，x=l-i>0,因為/(O)=1,那么x,/(x),/(x)的變化情況如下表:

X/d1、1

(-8,I-")1--a(1-0，+00)

f(x)-0+

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以結(jié)合/(x)的單調(diào)性知：當x<0時，/(x)>1,不符合題意.

當〃>0時，x,f(x),f(x)的變化情況如下表:

X/，1、1

(-8,1一》)1--a(1-石，+0°)

f(X)4-0-

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

1

當OVaCl時，x=1-<0,因為/(0)=1,

所以結(jié)合/(x)的單調(diào)性知當xe(1-1,0)時，/(x)>1,不符合題意.

當”>1時，x=l-i>0,因為/(0)=1,

所以結(jié)合f(x)的單調(diào)性知當xe(O,1-6時，/(x)>1,不符合題意.

當。=1時，1—1=0.由f(x)的單調(diào)性可知，f(x)“皿=/(0)=1,所以符合題意.

綜上，a=\.

21.(15分)已知｛a”｝是無窮數(shù)列，ai—a,ai—b,且對于｛a”｝中任意兩項0