2022屆（全國(guó)乙卷）理科數(shù)學(xué)模擬試卷一（學(xué)生版+解析版）

保密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷一

（全國(guó)乙卷?理科）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)一二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

——------———、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（本題5分）已知集合4={x|-3<x<l},B={x\x+2>G],則（）

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x|-3<x<2}D.{x|-3<x<2}

2.體題5分）已知復(fù)數(shù)z滿足=則在復(fù)平面上z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為（）

A.直線B.線段C.圓D.等腰三角形

3.（本題5分）如圖，A是輪子外邊沿上的一點(diǎn)，輪子半徑為0.3m.若輪子從圖中位置向

右無滑動(dòng)滾動(dòng)，則當(dāng)滾動(dòng)的水平距離為2.2m時(shí)，下列描述正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：

7”21.991）

A.點(diǎn)4在輪子的左下位置，距離地面約為0.15m

B.點(diǎn)A在輪子的右下位置，距離地面約為0.15m

C.點(diǎn)A在輪子的左下位置，距離地面約為0.26m

D.點(diǎn)4在輪子的右下位置，距離地面約為0.04m

4.（本題5分）在等差數(shù)列{%}中，%=4,且％,生，偈，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差"=（）

A.0或2B.2C.0D.0或一2

5.體題5分）已知直線4：xsina+y-l=0,直線4:x-3ycosa+l=0,若I、工h，則

tana=()

A.-B.—C.3D.—3

33

iiQ

6.(本題5分)若隨機(jī)事件A,8滿足P(A)=§,P(B)=-,尸(A+8)=],則P(A|8)二

()

2

A.-B.一

93

1

C.-D.一

46

3

7.（本題5分）已知cos/-3sina=2,sin〃+3cosa=：,則sin（6-a）=（）

5「5「5-5

AA.-----B.—C.—D.—

242488

8.（本題5分）如圖一，矩形A3CD中，BC=2AB,交對(duì)角線80于點(diǎn)。，交

BC于點(diǎn)、M.現(xiàn)將△4?。沿8。翻折至VAB。的位置，如圖二，點(diǎn)N為棱AD的中點(diǎn)，

則下列判斷一定成立的是（）

圖一

A.BDLCNB.A'O_L平面BCO

C.CN//平面A0MD.平面A'OMl?平面BCD

2x-y<0

9.（本題5分）若變量X,y滿足約束條件，x+y-340,則（x-l>+丁的最小值為（）

47/s

A.1B.-C.—D.2

55

+xInJVx>0

10.（本題5分）已知函數(shù)｛g（x）；<0為奇函數(shù)，則g（x）在x=-l處的切線方

程為（）

A.x-y=0B.2x-y+l=0

C.x-2y+l=0D.3x-y+2=0

11.（本題5分）在正方體ABCD-A用CA中，球。I同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相

切，球。2同時(shí)與以G為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn)F.若以F為焦點(diǎn)，AB,

為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過Q，設(shè)球4,的半徑分別為？4,則“=（）

*2

A.B.癢近C.1--D.2-6

22

12.（本題5分）2021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步

減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，這個(gè)政策就是我們所說的“雙

減”政策，“雙減”政策極大緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，而“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)使人精

疲力竭.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文,

它的原意是“旋卷”或"纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始向外逐圈旋繞而形成的曲

線，如圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是?個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫

法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E,F,G,

作第2個(gè)正方形EFG”，然后再取正方形EFG"各邊的四等分點(diǎn)M,N,P,Q,

作第3個(gè)正方形MNPQ,依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.設(shè)正方

形A8CD邊長(zhǎng)為4,后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為外,生，…，?.....如圖（2）陰影部

分，設(shè)直角三角形AE"面積為4,后續(xù)各直角三角形面積依次為%，與，…，b,，….

下列說法箱考的是（）

AEeB

圖（1）

圖（2）

129

A.從正方形48co開始，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為了

4

C.使得不等式我>；成立的〃的最大值為4

D.數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和S“<4

評(píng)卷人得分

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（本題5分）已知向量a=（3x,l）,向量6=（2,1）,且://力，貝口=，

14.（本題5分）若=%+。/+管;2+…，則4+%+…+%的值為

15.（本題5分）已知橢圓的方程為￡+}=l（a>Z?>0）,￡,%為橢圓的左右焦點(diǎn)，P

為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，/為耳心的內(nèi)心，直線P/與x軸交于點(diǎn)。，橢圓的離

心率為g,若而=2汝，則2的值為.

16.（本題5分）在梯形438中，ZABC=ZBAD=90.A8=8C=；AO=1,M為AC

的中點(diǎn)，將AABC沿直線4c翻折成VABC，當(dāng)三棱錐4-AC。的體積最大時(shí)，過點(diǎn)M

的平面截三棱錐Bt-ACD的外接球所得截面面積的最小值為.

評(píng)卷人得分三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

(-)必考題：共60分

17.(本題12分)AABC中，AC=4m,8c=4bm,ACJ_BC,點(diǎn)/，N是邊AB上

（2）設(shè)NACM=6,當(dāng)JWNC的面積為2Gm2時(shí)，求。的值.

18.（本題12分）已知某闖關(guān)游戲，第一關(guān)在A3兩個(gè)情境中尋寶.每位參賽選手先在

兩個(gè)情境中選擇一個(gè)開始第一關(guān)，若尋寶失敗則比賽結(jié)束；若尋寶成功則進(jìn)入另一個(gè)情

境，無論尋寶成功與否，第一關(guān)比賽結(jié)束.A情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值2分，否則得0

分；B情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值3分，否則得0分.已知某玩家在A情境中尋寶成功的

概率為0.8,在B情境中尋寶成功的概率為0.6,且每個(gè)情境中尋寶成功的概率與選擇初

始情境的次序無關(guān).

（1）若該玩家選擇從A情境開始第一關(guān)，記X為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分的期望最大，該玩家應(yīng)選擇從哪個(gè)情境開始第一關(guān)？并說明

理由.

19.（本題12分深商品的包裝紙如圖1,其中菱形ABC。的邊長(zhǎng)為3,且NA8C=60°,

AE=AF=6BE=0尸=2石，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)￡,F,

M,N匯聚為一點(diǎn)P,恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹.

（1）證明PAL底面A8CO；

（2）設(shè)點(diǎn)T為8C上的點(diǎn)，且二面角3-%-7'的正弦值為巨，試求尸C與平面物7

14

所成角的正弦值.

20.（本題12分）已知雙曲線點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,@,過戶的直線/交雙曲

線C于點(diǎn)AB.

（1）若直線/又過C的左焦點(diǎn)尸，求AG8F的值；

（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為［。，-岑），求證：語(yǔ).礪為定值.

21.體題12分）已知函數(shù)〃x）=lnx,g（x）=7

（1）直接寫出曲線y=〃x）與曲線y=g（x）的公共點(diǎn)坐標(biāo)，并求曲線y=〃x）在公共

點(diǎn)處的切線方程;

（2）已知直線x=”分別交曲線y=和y=g（x）于點(diǎn)A,8.當(dāng)aw（0,e）時(shí)，設(shè)

的面積為S（〃），其中。是坐標(biāo)原點(diǎn)，求S（a）的最大值.

（二）選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做

的第一題計(jì)分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.（本題10分）如圖，在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)又（2,0）,曲線G是以極點(diǎn)。為圓心，以

QM為半徑的半圓，曲線G是過極點(diǎn)且與曲線相切于點(diǎn)（2,微）的圓.

（1）分別寫出曲線C-G的極坐標(biāo)方程；

（2）直線。=a（0<。<乃，0eR）與曲線C1,G分別相交于點(diǎn)A,8（異于極點(diǎn)）,

求面積的最大值.

［選修4—5:不等式選講］

23.（本題10分）已知函數(shù)/（*）=,+/-卜-訓(xùn)（%>0）的最大值為6.

（1）求m的值；

（2）若正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=,w,求證：y/xy+yfxz<4m.

保密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷一

（全國(guó)乙卷?理科）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)一二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

打包八——―、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題

給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（本題5分）已知集合4={x|-3<x<l},B={x\x+2>0],則ApB=（）

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<1}

C.{x|-3<x<2）D.{x|-3<x<2}

【答案】A

【分析】

根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，B={x\x>~2}：.AnB={x|-2<jr<l},選項(xiàng)A正確.

故選：A.

2.體題5分）已知復(fù)數(shù)z滿足=則在復(fù)平面上z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為（）

A.直線B.線段C.圓D.等腰三角形

【答案】A

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合卜-1|引z-i|,得到點(diǎn)P在線段48的垂直平分線匕即可求

解.

【詳解】

設(shè)復(fù)數(shù)2=》+皿,川2,

根據(jù)復(fù)數(shù)的兒何意義知：|z-l|表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)尸（x,y）與點(diǎn)41,0）的距離,

|z-i|表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)3(0,1)的距離，

因?yàn)閨z-l|=|z-i|,即點(diǎn)P(x,y)到4B兩點(diǎn)間的距離相等，

所以點(diǎn)P(x,y)在線段A3的垂直平分線上，所以在復(fù)平面上z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為直線.

故選：A.

3.(本題5分)如圖，4是輪子外邊沿上的一點(diǎn)，輪子半徑為0.3m.若輪子從圖中位置向

右無滑動(dòng)滾動(dòng)，則當(dāng)滾動(dòng)的水平距離為2.2m時(shí)，下列描述正確的是()(參考數(shù)據(jù)：

7*21.991)

A

A.點(diǎn)A在輪子的左下位置，距離地面約為0.15m

B.點(diǎn)A在輪子的右下位置，距離地面約為().15m

C.點(diǎn)A在輪子的左下位置，距離地面約為0.26m

D.點(diǎn)A在輪子的右下位置，距離地面約為0.04m

【答案】A

【分析】

計(jì)算出車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的周期數(shù)即可得結(jié)果.

【詳解】

車輪的周長(zhǎng)為2乃x0.3=0.6乃，

當(dāng)滾動(dòng)的水平距離為().7mna2.2m時(shí)，即車輪轉(zhuǎn)動(dòng)10+」個(gè)周期，

6

TT

即點(diǎn)A在輪子的左下位置，距離地面約為0.3-0.3xcos5=0.15m,

故選：A.

4.(本題5分)在等差數(shù)列｛4｝中，生=4,且4,%，劭，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差”=

()

A.0或2B.2C.0D.0或一2

【答案】A

【分析】

根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，可解得公差”得選項(xiàng).

【詳解】

解：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列｛4｝中，%=4,且％,%，%，構(gòu)成等比數(shù)列，所以必入網(wǎng)，

即(％+")-=(%-d)(%+7d),

所以(4+d7=(4-d)(4+7d),解得d=0或2,

故選：A.

5.(本題5分)已知直線4：xsina+y-I=(),直線4:x-3ycosa+l=0,若則

tana=()

A.-B.—C.3D.—3

33

【答案】C

【分析】

根據(jù)垂直可得斜率相乘等于-1，即可建立關(guān)系得出所求.

【詳解】

因?yàn)橐椎脙芍本€斜率都存在，且(-sina)?丁」=7,

3cosa

故選：C.

ii3

6.(本題5分)若隨機(jī)事件A,B滿足P(A)=§,=P(A+B)=-,則P(A|B)=

()

【答案】D

【分析】

根據(jù)P(A+B)=P(A)+P(B)—尸(AB),計(jì)算得到P(AS),然后根據(jù)條件概率的計(jì)算公

式計(jì)算即可.

【詳解】

由題可知:P(A+B)=P(A)+P(8)-P(A3)

1131

所以P(48)=尸(A)+P(8)-尸(A+8)=§+5-W=^

所以小忸)二篇耳

故選：D

7.(本題5分)己知cos/7-3sina=2sin夕+3cosc=—,則sin(尸一a)=()

【答案】C

【分析】

兩式平方后作和，根據(jù)兩角和差正弦公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】

由cos/7-3sina=2得：(cos/7-3sin<z)'=cos：!6-6cos/7sin^z+9sin2a=4…①；

由sin/7+3cosa=—得：(sin夕+3cosa]=sin2/?+6sin/?cosa+9sin2a=—

25

①+②得:10+6(sin/?cosa-cos^sina)=10+6sin(73-a)=—

sin(4-a)=-3.

故選：C.

8.（本題5分）如圖一，矩形ABC。中，BC=2AB,4加_￡3。交對(duì)角線8。于點(diǎn)0,交

8c于點(diǎn)現(xiàn)將沿8。翻折至VA3D的位置，如圖二，點(diǎn)N為棱A￡＞的中點(diǎn)，

則下列判斷一定成立的是（）

圖一圖二

A.BDLCNB.A'O_L平面BCD

C.CN〃平面AOMD.平面A0M_L平面5a）

【答案】D

【分析】

利用反證法可判斷A選項(xiàng)；由二面角A-Q-M的變化可判斷B選項(xiàng)；利用反證法結(jié)

合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

翻折前，BDLAO,BDL0M,

翻折后，對(duì)應(yīng)地有，BDIA'O.BD10M,

?.?A'OnOM=。，則平面

QBDu平面8a）,故平面AOM_L平面BCD,D選項(xiàng)一定成立；

對(duì)于B選項(xiàng)，由上可知，二面角A-Q-M的平面角為NAOM,

在翻折的過程中，/AOM會(huì)發(fā)生變化，則A。與。M不一定垂直,

即A'。與平面BCD不一定垂直，故B選項(xiàng)不一定成立；

AnAn

對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)3C=2TW=24,在圖一中，tanZABD=—=—=2,

ABOB

AO=2OB0R底

==J可得A0=￥"'。人孝

所以，

因?yàn)?M=ZABE>+Nfi4M,則NAMB=NAB￡）,

故tanN4M8=絲=2,所以，BM=-,

BM2

在圖二中，過點(diǎn)C在平面BCD內(nèi)作CE//OW交80于點(diǎn)E,連接NE,

則會(huì)=生=4,故BE=4B0=^^a,則OE=BO-BE=@”，

BOBM55

又因?yàn)?0=8。-08=f5〃，故E不為。。的中點(diǎn)，

5

因?yàn)?D10M,CEHOM,則BOJ_CE,

若BD1CN,且CEntW=C，則8￡）1平面OVE,

;NEu平面CNE,則

由于A'。、NEu平面ABD,且BD_LA'O,故4O//NE,

由于N為A'O的中點(diǎn)，則E為。。的中點(diǎn)，與已知條件矛盾，A選項(xiàng)不成立;

對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，因?yàn)镃E//OM,€￡<2平面4。0,。必<=平面4?！?

所以，CE〃平面A0M,

若CN〃平面A'OM，CNRCE=C,則平面CNE//平面A'OM,

因?yàn)槠矫鍭'B。。平面4QM=A。，平面A'BOfl平面CWE=NE,則A'O〃NE,

由于N為4。的中點(diǎn)，則E為。。的中點(diǎn)，與已知條件矛盾，C選項(xiàng)不成立.

故選：D.

2x-y<0

9.（本題5分）若變量X,y滿足約束條件卜+y-3W0,則（X-1）2+9的最小值為（）

x>0

A.1B.-C.也D.2

55

【答案】B

【分析】

畫出可行域，由(x-17+y’的幾何意義是可行域內(nèi)點(diǎn)與(1,0)的距離的平方，從而解

得.

【詳解】

結(jié)合題意作平面區(qū)域如下，

而(x-l)2+y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與(1,0)的距離的平方，

2

又(1,0)到直線2x-y=0的距離為忑

故(x-lpe+y的最小值為］4

故選：B

x~+xlnxx〉U

10.(本題5分)已知函數(shù)"X)=jg(x)；＜0為奇函數(shù)，則g(x)在X=-1處的切線方

程為()

A.x-y=0B.2x-y+l=0

C.x-2y+\=0D.3x-y+2=0

【答案】D

【分析】

利用函數(shù)/(X)為奇函數(shù)可得g(x)=-/(-x)=-x2+x\n(-x)，求導(dǎo)可求解g(-l)=-1,

g'(-l)=3,即得解

【詳解】

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

貝Uf(-x)=(-x)2+(-x)ln(-x)=x2-xln(-x),

此時(shí)g(x)=-f(-x)=-尤2+xln(-x),

則g'(x)=—2x+ln(-x)+l,則g(-l)=-1,g'(-1)=3,

所求切線方程為y+l=3(x+l),即3x-y+2=0.

故選：D

11.(本題5分)在正方體ABCO-AMGA中，球O1同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相

切，球。2同時(shí)與以q為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn)尸.若以廠為焦點(diǎn)，AB,

為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過q，5,設(shè)球q，Q的半徑分別為4,4,則2=()

r2

A.B.x/3->/2C.1--D.2->/3

22

【答案】D

【分析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面做處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點(diǎn)。2到

點(diǎn)F的距離即半徑4,也即點(diǎn)。2到面CDDG的距離，點(diǎn)02到直線A片的距離即點(diǎn)。2到

面ARBiA的距離因此球02內(nèi)切于正方體，設(shè)4=1，兩球球心和公切點(diǎn)都在體對(duì)角線

AG上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出片,進(jìn)而求解

【詳解】

根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)02到點(diǎn)F的距離與到直線A片的距離相等，其中點(diǎn)O?到點(diǎn)F的

距離即半徑小也即點(diǎn)5到面CDQG的距離，點(diǎn)02到直線A片的距離即點(diǎn)。2到面

AB4A的距離，因此球。2內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)弓=1，兩個(gè)球心G，Q和兩球的切點(diǎn)

F均在體對(duì)角線AG上，兩個(gè)球在平面ABg。處的截面如圖所示，則

O2F=r2=\,40=等=6，所以4F=A02_QF=6-1.又因?yàn)?F=AQ+q尸=6/5+彳，

因此(6+1h=6-1,得12-6，所以：=2-G.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思

想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

12.（本題5分）2021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步

減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，這個(gè)政策就是我們所說的“雙

減”政策，“雙減”政策極大緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，而“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)使人精

疲力竭.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文,

它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始向外逐圈旋繞而形成的曲

線，如圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫

法是這樣的：正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4,取正方形ABCO各邊的四等分點(diǎn)E,F,G,

”，作第2個(gè)正方形EFG”，然后再取正方形EFG"各邊的四等分點(diǎn)“，N,P,Q,

作第3個(gè)正方形MNPQ,依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.設(shè)正方

形ABCO邊長(zhǎng)為生,后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為“2，....冊(cè)，…；如圖（2）陰影部

分,設(shè)直角三角形何面積為耳，后續(xù)各直角三角形面積依次為打，伉，…，b?,....

下列說法里族的是（

圖⑴

圖(2)

A.從正方形布。開始，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為工

C.使得不等式4>；成立的"的最大值為4

D.數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S,,<4

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意得到數(shù)列｛《,｝是以4為首項(xiàng)，率為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求出｛4｝的通項(xiàng)公

式，再根據(jù)SJHE=SABCD：EFGH得到女=」丁,然后得出色｝的通項(xiàng)公式，最后驗(yàn)證

四個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

由題意，q=4,%=aJ+12"J=~^~a',

a>b)｛/J4(4卜.......

?'=「《"')+(>)岑%啜=用

于是數(shù)列｛4｝是以4為首項(xiàng)，乎為公比的等比數(shù)列,則…［用：

由題意可得：￡饞=當(dāng)/滬也，即之也2)22

_藥_/h_可一可+T

4'"4'

時(shí)”

日16-------16------?,

于是人=_L±J―』=半「

：42+(Vio)2+f|J=^,正確;

對(duì)A,連續(xù)三個(gè)正方形面積之和為：可=q+々+〃3二

易知B正確；

對(duì)c，”=|(JW=(5Y~l1“"5丫T1251

->一，而一=——〈一，錯(cuò)慶；

⑶3⑻5123

3嗚,「

對(duì)D,S,=--―理=41-<4，正確.

"2,5

1----_

8

故選：C.

【點(diǎn)睛】

新文化試題一定要讀懂題意,一定要反復(fù)讀幾遍理解題目所要表達(dá)的意思，新文化試題

會(huì)與我們所學(xué)知識(shí)相結(jié)合，本題入手不太難，難點(diǎn)在于運(yùn)算量.

評(píng)卷人得分

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（本題5分）已知向量a=（3x,l）,向量5=（2/），且?！?，則》=.

【答案】j2

【分析】

直接根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】

解：因?yàn)?。〃力?/p>

2

則3x=2,得x

一2

故答案為：—.

14.（本題5分）若（l-x）s=%+4》+%彳2+…則%+a2+...+?9的值為

【答案】-1

【分析】

賦值法，令x=O可求出％,再令x=l可求出4+4+,?,+%.

【詳解】

由條件得：在等式左右兩邊取x=O,計(jì)算得％=1,令x=l,計(jì)算得

%+4]+???+=。，于是4+。2+?一+49=-1?

故答案為：—1

?2

廠+?

15.（本題5分）已知橢圓的方程為/+鏟=l(a>6>0),K，鳥為橢圓的左右焦點(diǎn)，P

為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，/為片用的內(nèi)心，直線P/與x軸交于點(diǎn)Q,橢圓的離

心率為g,若而=2匝，則；I的值為.

【答案】4

【分析】

連接陰、/，/是△不苣的內(nèi)心，得到PQ為4年的角平分線，即。到直線PR、PF2

的距離相等，利用三角形的面積比，得到翳鬻^耳臀，，結(jié)合橢

圓的離心率的定義，即可求解.

【詳解】

解：如圖所示，連接陰、/馬，/是△尸耳心的內(nèi)心，所以陰、/5分別是NP耳鳥和NP巴耳

的角平分線,

由于經(jīng)過點(diǎn)P與△歷8的內(nèi)切圓圓心/的百線交x釉于點(diǎn)。,

則PQ為NRPF?的角平分線，則Q到直線PF、、PF2的距離相等,

S“Q叫Pl\明四二四

所以31同理可得7目=

^；=西=西百。「|/。「|瑞。|'

由比例關(guān)系性質(zhì)可知翳鼠皤

悔閭2cc

C匝1____

又橢圓的離心率e=5=萬(wàn)?=].所以尸/=3麴，所以「。=4/。，故;1=4,

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：

I、定義法：通過已知條件列出方程組，求得“，c得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于“，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次

方程求解：

3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

16.（本題5分）在梯形A8CO中，ZABC=ZBAD=90,AB=BC=^AD=\,M為AC

的中點(diǎn)，將△至C沿直線AC翻折成VA8。，當(dāng)三棱錐用-ACZ）的體積最大時(shí)，過點(diǎn)M

的平面截三棱錐4-ACD的外接球所得截面面積的最小值為.

【答案】v

【分析】

分析出當(dāng)平面4AC，平面ACD時(shí)，三棱錐耳-4CD的體積最大，取AD的中點(diǎn)。，分

析出點(diǎn)。為三棱錐旦-48的外接球的球心，求出球的半徑，計(jì)算出截面圓半徑為最

小值，結(jié)合圓的面積公式可得結(jié)果.

【詳解】

如下圖所示，連接g則與M_L4C,

設(shè)二面角4-4C-。的平面角為a,設(shè)三棱錐耳-ACO的高為九，則

....A/2.

h=BD,Msina=——sina,

12

v_lg,_1c夜.V2

VB,-ACD=g\ACD?〃=§5AACD,方Slna-S.ACD，

當(dāng)且僅當(dāng)a=90。時(shí)，等號(hào)成立,即當(dāng)平面4AC_L平面ACD時(shí),三棱錐瓦-ACO的體積

最大，

?;AC=近,AB=BC=\,ABC=90°,故AABC為等腰直角三角形，且NAC8=451

在梯形A8CD中，ZABC=NBAD=9(y,則8C7/A。，所以，ZCAD=ZACB=45,

在△ACD中，AC=6,AD=2,NC4O=45°，

由余弦定理可得8=4AC1+AD2-2AC-/l￡>cos450=0，故AC2+CD2=AD2，

:.CDYAC,

因?yàn)槠矫婕?c1平面AC。，平面B^cn平面ACD=AC,CDLAC,CDc平面ACD,

\CDA平面與4。，

?.?AB|U平面&4C,則AB1，C。，

因?yàn)開LB}C,B}Cr>CD=C,A耳1平面B,CD,

?.?瓦。匚平面80。，所以，AB1上B盧,

記AD中點(diǎn)為。，由0B|=0A=0C=0。得。為三棱錐B,-4CD的外接球的球心，

且球的半徑為OC=1AZ）=I,

設(shè)QM與過點(diǎn)〃的平面所成的角為。，設(shè)點(diǎn)。到截面的距離為d,則

,五,0

d—OMsinu——sin8?

2

故截面圓的半徑為r=5/^=卜母sin。q,

當(dāng)且僅當(dāng)6=90。時(shí)，過點(diǎn)M的平面截三棱錐外接球0所得截面面積最小，

所以截面圓面積的最小值為=y.

H

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平

面幾何問題求解，其解題思維流程如下：

（I）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，

球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各

種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

評(píng)卷人得5~|三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

(-)必考題：共60分

17.(本題12分)“ABC中，AC=4m,BC=4^m.ACLBC,點(diǎn)M,N是邊4?上

兩點(diǎn)，NMNC=30°.

(2)設(shè)&CM=。，當(dāng)AMNC的面積為2Gm2時(shí)，求。的值.

【答案】

(1)儉+26)?1

(2)6=30°或e=(r

【分析】

(1)在AACM中，由余弦定理求得CM,從而可得從而可求得/N,CN,

即可得出答案；

(2)在“可中，利用正弦定理求得CN,在△ACM中，利用正弦定理求得CM,再

根據(jù)AMVC的面積結(jié)合正弦函數(shù)得性質(zhì)即可得出答案.

(1)

解：VAC=4m,BC=4V3m,ACIBC,；.3=30。，A=60°,

在△ACM中，由余弦定理可得C"=AC2+AM2_2AC-AATCOSA

=16+4-2x4x2x1=12,

2

則CM=2。：.AC-=AM2+CM-,：.CMVAB,"：ZMCN=30°,

MV=CMtan3()°=2,:.CN=2MN=4,

AMVC的周長(zhǎng)為2+4+26=(6+2G)m;

(2)

解：在△ACN中，z/wc=90°—e,

CNCA,20

由sin600-sin(90。-。)CN='

CMCA26

又在AACM中，由訴二麗初兩，得3=麗齊硒，

3_________3_________

所以"CM'=-CMCN-sin30°=

2sin（^+60°）cos^1.zjzjV32a

一sinecos，+——cos0

22

6__________________12_______

sin2。Gcos263-2sin（26+60。）+G，

22-T

12r~

由2?（2。+6。。）+6=2G得疝儂+6。。）=存

V00<6><60°,所以60°426+60°4180°,

所以2，+60。=60?；?20°

所以6=30°或。=0°.

18.（本題12分）已知某闖關(guān)游戲，第一關(guān)在AB兩個(gè)情境中尋寶.每位參賽選手先在

兩個(gè)情境中選擇一個(gè)開始第一關(guān)，若尋寶失敗則比賽結(jié)束；若尋寶成功則進(jìn)入另一個(gè)情

境，無論尋寶成功與否，第一關(guān)比賽結(jié)束.A情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值2分,否則得0分；

8情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值3分，否則得0分.已知某玩家在A情境中尋寶成功的概率

為0.8,在8情境中尋寶成功的概率為0.6,且每個(gè)情境中尋寶成功的概率與選擇初始情

境的次序無關(guān).

（1）若該玩家選擇從A情境開始第一關(guān)，記X為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分的期望最大，該玩家應(yīng)選擇從哪個(gè)情境開始第一關(guān)？并說明

理由.

【答案】

（1）分布列見解析；

（2）應(yīng)從A情境開始第一關(guān)，理由見解析.

【分析】

（1）確定X所有可能的取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；

（2）分別求得從48兩個(gè)情境開始的得分期望值，根據(jù)大小關(guān)系可得結(jié)論.

（1）

由題意知：X所有可能的取值為0,2,5.

P（X=0）=l-0.8=0.2；P（X=2）=0.8x（1-0.6）=0.32；P（X=5）=0.8x0.6=0.48,

.?.X的分布列為:

X025

P0.20.320.48

（2）由（1）得：從A情境開始第?關(guān)，!?IJ￡（X）=0x0.2+2x0.32+5x0.48=3.04:

若從8情境開始第?關(guān)，記y為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，則y所有可能的取值為（），3,5,

P（y=0）=0.4；P（y=3）=0.6x（l-0.8）=0.12；P（y=5）=0.8x0.6=0.48,

/.E（y）=0x0.4+3x0.12+5x0.48=2.76；

???E（X）＞E（y）,.??應(yīng)從A情境開始第一關(guān).

19.（本題12分）某商品的包裝紙如圖1,其中菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3,且NA8C=60。,

AE=4F=G，BE=DF=20將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)E,凡

M,N匯聚為一點(diǎn)P,恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹.

EF

（1）證明小，底面ABC。；

（2）設(shè)點(diǎn)T為8c上的點(diǎn)，且二面角3-R4-T的正弦值為應(yīng)，試求尸C與平面R1T

14

所成角的正弦值.

【答案】

（1）證明見解析

⑵疸

14

【分析】

（1）由翻折之前的邊長(zhǎng)關(guān)系得A5_LAE，ADA.AF，進(jìn)而得翻折后有R4_LAB,

PAA.AD,進(jìn)而得PAJ_底面ABC。：

（2）解法一：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，過點(diǎn)A作A8的垂線為y軸，AP為z軸建立

空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)而得Nfi4T為二面角5-上4-7的平面角，再結(jié)合正弦定理得BT=1,

再寫坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求解即可.

解法二：由（1）知/BAT為二面角5—R4-T的平面角，即$出/區(qū)47=叵，進(jìn)而由

14

正弦定理得BT=1,再由余弦定理可得AT=4,設(shè)過點(diǎn)C作平面FT的垂線，垂足為

Q,連接PQ,所以/CP。為PC與面以T所成角，再利用匕“er=bw得CQ=￥^

進(jìn)而得答案:

解法三：由（I）得/RAT為二面角的平面角，B|JsinZBA7'=—.進(jìn)而得

14

cosZBAT=等，sinNCAT=率，再過點(diǎn)C作CQ垂直于AT于。，連接CQ、AC

進(jìn)而證明c。，面PAT,再根據(jù)兒何關(guān)系求解即可.

(1)

由菱形A8C￡>的邊長(zhǎng)為3,AE=AF=s/3,BE=DF=2道

可得：BE2AB2+AE2>即有

同理。尸=AC）2+A產(chǎn)，即有AD_LA尸

在翻折的過程中，垂直關(guān)系保持不變可得：PAYAB,PAA.AD，ABoAD^A.

可得尸A_L底面ABC。

(2)

解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，A8為x軸，過點(diǎn)A作A8的垂線為），軸，4P為z軸建

立空間直角坐標(biāo)系.

由第（1）問可得R4J_底面A8CO,可得：PA±AB,PAYAT.

則ZBAT為二面角B—R4—T的平面角，由題意可得：sinZBAT=—

14

考慮△BAT,ZAB7'=60°,nJWsinZ/lTO=sin(ZAfiT+60°)=^^.