計算流體力學課件：有限體積法1

有限體積法（1）知識點：

1有限體積法的基本概念

無粘通量及粘性通量的計算

多塊網(wǎng)格2知識回顧：Roe格式平均斜率線性化，以平均增長率代替瞬時增長率[j,j+1]區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且可通過相似變換對角化

應當具有的性質(zhì)常系數(shù)方程的Riemann解3知識回顧2：LU-SGSStep1:求解Step2:求解

§7.1結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限體積法有限體積法主要優(yōu)勢：處理復雜網(wǎng)格差分法處理復雜外形——坐標變換無粘項需要計算9次導數(shù)，計算量大；守恒性被破壞（1）兩端同乘無粘項僅需計算三次導數(shù)5差分法有限體積法優(yōu)點簡單、計算量小、易于提高精度本身包含幾何信息，易處理復雜網(wǎng)格不足差分離散與幾何解耦，難以處理復雜網(wǎng)格復雜、不易提高精度均勻流場數(shù)值解（誤差），未必為0幾何誘導誤差：對于均勻場實際問題：外形復雜，光滑的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成困難不易保障幾何守恒性坐標變換函數(shù)必須足夠光滑——否則損失精度61.基本概念1）控制體節(jié)點（中心）型控制體與網(wǎng)格型控制體72）積分型控制方程在控制體上積分物理含義：

控制體內(nèi)總質(zhì)量/動量/能量的增加=穿過控制體邊界流入的凈質(zhì)量/動量/能量無粘通量粘性通量8物理含義：單位時間內(nèi)，無粘流動流過垂直于n方向的單位面積的質(zhì)量、動量和能量法向速度93）有限體積法中物理量的含義4）殘差殘差=凈通量=右端項含義：控制體內(nèi)的平均量（平均質(zhì)量密度、平均動量密度、平均能量密度）控制體幾何中心處的當?shù)孛芏?、動量密度、能量密度二階精度近似102.無粘通量的計算常用方法（流過AB邊的通量）：a.利用周圍點的值，計算出(I+1/2,J)點處的物理量；b.利用該處的物理量，計算出流過AB邊的流通量方法1：中心型有限體積法人工粘性項用中點的值代替AB面上的均值，二階精度11方法2：迎風型有限體積法Step1:

利用（偏）左側(cè)點及（偏）右側(cè)點的值，計算出I+1/2,J點的值計算方法：與差分法完全相同各種差分格式，均可直接使用也稱為“差分格式”該過程稱為“重構(gòu)”（很多文獻中稱為“插值”）有限體積與有限差分共通之處,可直接使用差分格式12常見的差分格式：2階NND格式minmod(a,b):a,b符號相反時取0，符號相同時取絕對值小的3階迎風3階MUSCL格式TVD,WENO,GVC,保單調(diào)格式……13重構(gòu)方式：原始變量、守恒變量及特征變量以NND格式為例：守恒變量重構(gòu)原始變量重構(gòu)特征變量重構(gòu)先算出UI+1/2(可用UI和UI+1的算術(shù)平均或Roe平均），再利用該值算出SI+1/2

是控制體內(nèi)的平均值

（稱為數(shù)值流通量）

的含義14重要概念澄清：重構(gòu)與插值A.有限體積法：j+1/2j-1/2確實為f在xj+1/2點的值！

通常做法：1）用計算出2）u在xj+1/2點的值！關鍵：是用計算（稱為重構(gòu)），而不是用計算（是標準的插值）；否則最高也只能達到2階精度。15重要概念澄清：重構(gòu)與插值B.有限差分法：j+1/2

h(x)為f(x)的“重構(gòu)函數(shù)”差分法與有限體積法的數(shù)值格式完全相同16Step2:

利用，計算出通量

方法1：流通矢量分裂（FVS）方法2：通量差分分裂(FDS)通過Riemann解，獲得通量可利用近似Riemann階（Roe,HLL,HLLC)Roe格式：xyx’y’方法3：AUSM方法壓力項單獨處理，其余項類似VanLeer分裂小技巧：利用局部坐標系，計算通量時簡化為1維問題AByx’y’“擴展的”一維問題x,y坐標系下的Riemann問題（二維）x’,y’坐標系下的Riemann問題（一維）x’,y’坐標系下，切向速度v’表現(xiàn)相當于被動標量183.粘性通量的計算關鍵問題：計算

對的導數(shù)同樣計算19方法1.利用Jacobian變換方法2.利用Green積分公式計算最終公式與方法1相同20

§7.2邊界條件及網(wǎng)格分塊1.邊界條件的處理方法常用方法：虛網(wǎng)格設置1或2層虛網(wǎng)格（如果采用高精度格式，需設置更多重虛網(wǎng)格）虛網(wǎng)格點上的值根據(jù)邊界條件給定

絕熱固壁邊界條件超聲速入口邊界條件超聲速出口邊界條件21亞聲速入口邊界條件外部計算域內(nèi)部邊界特征分析：內(nèi)點提供一個邊界條件，外部提供其余邊界條件調(diào)節(jié)作用，內(nèi)點速度降低時，增加入口壓力；

內(nèi)點速度增加時，降低入口壓力；22亞聲速出口邊界條件外部計算域內(nèi)部邊界特征分析：外部提供一個邊界條件；

通常情況下，指定背壓如果邊界處壓力比內(nèi)點高，則邊界處密度增加，速度降低；

如果邊界壓力比內(nèi)點低，則邊界處密度降低，速度升高；232.多塊網(wǎng)格復雜外形情況下，單塊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格很難實現(xiàn)，需要由多塊網(wǎng)格實現(xiàn)241）對接網(wǎng)格對接網(wǎng)格示意圖相鄰的網(wǎng)格塊共享交界網(wǎng)格點處理方法：

利用虛網(wǎng)格傳遞信息；

利用連接信息，將內(nèi)點的物理量復制給對應的虛網(wǎng)格點；Block2的值Block1虛網(wǎng)格的值252）重疊網(wǎng)格重疊網(wǎng)格示意圖處理方法：

使用虛網(wǎng)格交換信息；

利用插值，用網(wǎng)格內(nèi)點的信息計算出另一套網(wǎng)格虛網(wǎng)格上的信息。26

§7.2非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限體積法簡介1.結(jié)構(gòu)網(wǎng)格與非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)網(wǎng)格：網(wǎng)格以二維（或三維）表格的拓撲形式排列非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格：網(wǎng)格點無法以二維（或三維）表格的拓撲排列二維非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格單元：三角形、四邊形單元結(jié)構(gòu)網(wǎng)格是特殊的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格27非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格示意圖（多塊）結(jié)構(gòu)網(wǎng)格示意圖結(jié)構(gòu)網(wǎng)格非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格優(yōu)點計算效率高；易于提高精度；易于處理邊界層

易于網(wǎng)格生成；尤其適用于復雜外形不足復雜外形網(wǎng)格生成困難；處理復雜外形網(wǎng)格質(zhì)量不易保證，精度降低

計算效率較低；不易提高精度；不易處理邊界層（可采用混合網(wǎng)格）網(wǎng)格長寬比：1000邊界層內(nèi)的網(wǎng)格282.二階精度非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限體積法Step1:利用插值，計算出P點的物理量值

ABC梯度可以用周圍點的值計算插值過程中，可使用限制器（例如梯度型限制器等）例如，利用四個點處的值，計算P為AB面中心點29ABCStep2:

利用通量技術(shù)（FVS或FDS），

計算出P點的流通量

Step3:將P點的流通量乘以面AB的面積，得到穿過面AB的流通量（以中點的流通量代替整個面的平均流通量，二階精度）Step4:

時間推進303.高階精度有限體積法（k-exact）需要高精度計算面AB的通量需要計算該面上多個點的值（通常為高斯點）Step1:通過高階插值，計算出AB面上多個點的值：二維、三維的高階插值比較復雜ABC假設物理量為多項式分布k=1,2,3,4,5定出系數(shù)高精度插值，需要非常多的單元以確定系數(shù)，難度很大31Step2:

利用通量技術(shù)（FVS或FDS），

計算出Pa,Pb,Pc點的流通量

ABCStep3:

利用數(shù)值積分（例如高斯積分），計算面AB的通量Step4:

時間推進32（選作題）作業(yè)7.1編制有限體積程序,并計算圖示鈍楔繞流問題r=1幾何及流動參數(shù)