新教材2023高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第2課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用分層演練新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

3.1橢圓3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第2課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.若直線y=kx+2與橢圓x23+y22=1相切,則斜率k的值是A.63B.-C.±63 D.±解析:由y=kx+2,x23+y22=1,得(3k2+2)x2+12kx+6=0.由題意,知Δ=144k答案:C2.若直線mx+ny=4與圓O:x2+y2=4沒有交點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓x29+y24=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0 B.1C.2 D.0或1解析:因?yàn)橹本€mx+ny=4與圓O:x2+y2=4沒有交點(diǎn),所以4m2+n2>2.所以0<m2+n2<4,所以m29+n24<1,所以點(diǎn)P(答案:C3.過(guò)橢圓x2+2y2=4的左焦點(diǎn)作傾斜角為π3的弦AB,則弦AB的長(zhǎng)為()A.67 B.C.716 D.解析:橢圓x2+2y2=4的左焦點(diǎn)為(-2,0),所以直線的方程為y=3(x+2).由y=3(x+2),x2+2y2=4消去y,整理得7x2+122x+答案:B4.橢圓C:x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P在橢圓C上,且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1的斜率的取值范圍是A.[12,34] B.[38C.[12,1] D.[34解析:由題意,知A1(-2,0),A2(2,0).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則x024+y023=1,kP于是kPA1·kPA2=y02x02-因?yàn)閗PA2∈[-2,-1],所以k答案:B5.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則OP·解析:由橢圓方程x24+y23=1可得F(-1,0).設(shè)P(x,y),-2≤x≤2,則OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以O(shè)P·FP=x2+x+y2=x214x2+x+3=14(x+2)2+2,當(dāng)x=2時(shí),OP·FP取得最大值6.已知點(diǎn)P(x,y)是橢圓x29+y24=1上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l:y=x+解析:設(shè)直線y=x+m與橢圓相切,由x29+y24=1,y=x+m,得因?yàn)棣?(18m)2-4×13×(9m2-36)=0,所以m=±13,所以切線方程為y=x+13和y=x-13,與l距離較遠(yuǎn)的是直線y=x-13,所以所求最大距離為d=|-13-57.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為22,直線y=k(x-(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)△AMN的面積為103時(shí),求k的值解:(1)由題意,得a=2,所以橢圓C的方程為x24+y2(2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=4k21+2k2,x1所以|MN|=(=(=2(又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離d=|k所以△AMN的面積為S=12|MN|·d=|由|k|·4+6化簡(jiǎn),得7k4-2k2-5=0,解得k=±1.B級(jí)能力提升8.若AB是過(guò)橢圓x216+y225=1中心O的弦,F1為橢圓的焦點(diǎn),則△F1AB面積的最大值是A.6 B.12C.24 D.48解析:設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB).因?yàn)椤鱂1AB的面積可以看成△OF1A與△OF1B的面積之和,所以S△F1AB=12c·|xA-xB|,故當(dāng)直線AB垂直于y軸時(shí),|xA-xB|max=2b=8,所以△F1AB面積的最大值為12×答案:B9.已知橢圓x216+y24=1,過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),若AF=3FB,則k=A.1 B.2C.3 D.2解析:由題意,得右焦點(diǎn)F(23,0),過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線為x=my+23,m=1k設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由方程組x216+y24=1,x=my+23,得(4+m2)y2+43my-4=0,則因?yàn)锳F=3FB,所以(23-x1,-y1)=3(x2-23,y2),所以y1=-3y2即k2=2.因?yàn)閗>0,所以k=2.答案:B10.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是橢圓C的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓C上的一點(diǎn),且滿足∠MAB=30°,∠MBA=45°,設(shè)橢圓C的離心率為e,則e2解析:設(shè)M(x0,y0),A(-a,0),B(a,0).因?yàn)椤螹AB=30°,∠MBA=45°,所以kBM=y0x0-a=-1,kAM=y0x又因?yàn)镸在橢圓C上,所以x02a2+y02b2=1,即(2-3)2a2a211.橢圓mx2+ny2=1與直線x+y=1相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)AB的中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率為22,則mn=解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),由題意可得,kOM=y0x0=22,kAB=y2-y1x2-x1=-1.由AB的中點(diǎn)為M,可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由A,B在橢圓上,可得mx12+ny12=1,mx22+ny12.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)連線的斜率的積為定值-12(1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx+1與曲線C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=423時(shí),求直線l解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),由題意,得kPA·kPB=-12所以yx+2·yx-2=-12,化簡(jiǎn)整理,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是x22+y2=1(x≠±2(2)設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),由y得(1+2k2)x2+4kx=0(x≠±2).所以x1+x2=-4k1+2k2,x1·所以|MN|=1+k2·(x整理,得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍去).所以k=±1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.所以直線l的方程是y=x+1或y=-x+1,即x-y+1=0或x+y-1=0.13.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-3,0)和F2(3,0),且橢圓過(guò)點(diǎn)（1,-32）(1)求橢圓方程;(2)過(guò)點(diǎn)（-65,0）作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M,N兩點(diǎn),A為橢圓的左頂點(diǎn),試判斷∠MAN的大小是否為定值,并說(shuō)明理由解:(1)由題意可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2由c=3,a2=b2+c2,得x2b2+3+又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)1,-32,所以1b解得b2=1或b2=-94(舍去),所以a2=4所以橢圓的方程為x24+y2=(2)是定值.理由:設(shè)直線l的方程為x=ky-65聯(lián)立直線l和橢圓的方程可得x消去x,得(k2+4)y2-125ky-6425=由題意,知A(-2,0).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1y2=-6425(k2+4),y則AM·AN=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(k2+1)·y1y2+45k(y1+y2)+1625即可得∠MAN=π2(定值)14.(2021全國(guó)卷Ⅱ)已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=3.(1)解:由題意可得,橢圓的離心率ca=63,又c=2,所以a=3,則b2=a2-c2=1,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y(2)證明:先證明必要性,若M,N,F三點(diǎn)共線時(shí),設(shè)直線MN的方程為x=my+2,則圓心O(0,0)到直線MN的距離為d=2m2+1=1,解得m2=1,聯(lián)立方程組x=my+2,x23+y2=1,可得(m2+3)y2+22my-1=0,即4y2+22my-1下面證明充分性,當(dāng)|MN|=3時(shí),設(shè)直線MN的方程為x=ty+s,此時(shí)圓心O(0,0)到直線MN的距離d=|s|t2+1=1,則s2-t2=1,聯(lián)立方程組x=ty+s,x23+y2=1,可得(t2+3)y2+2tsy+s2-3=0.則Δ=4t2s2-4(t2+3)·(s2-3)=12(t2-s2+3)=24,因?yàn)閨MN|=1+t2·24t2+3=3,所以t2=1,s2=2,因?yàn)橹本€MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切,所以s>0,則s=2.則直線MN的方程為x=ty+2恒過(guò)焦點(diǎn)F(C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新15.多選題已知直線y=3x+2被橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦長(zhǎng)為8,則下列直線中被橢圓截得的弦長(zhǎng)也為A.y=3x-2 B.y=3x+1C.y=-3x-2 D.y=-3x+2解析:因?yàn)闄E圓關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱,所以與直線y=3x+2關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱的直線被橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦長(zhǎng)也為8.直線y=3x+2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為y=3x-2,關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為y=-3x-2,關(guān)于y軸對(duì)稱的直線為y=-答案:ACD16.多選題如圖,某月球探測(cè)衛(wèi)星發(fā)射后,該衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和