新教材2023高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何質(zhì)量評估新人教A版選擇性必修第一冊

第一章質(zhì)量評估一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),則a·(a+3b)=()A.(0,34,10) B.(-3,19,7)C.44 D.23解析:因?yàn)閍+3b=(-3,2,5)+3(1,5,-1)=(0,17,2),則a·(a+3b)=(-3,2,5)·(0,17,2)=0+34+10=44.答案:C2.已知直線l1的方向向量為a=(1,2,-2),直線l2的方向向量為b=(-2,3,m),若l1⊥l2,則m等于()A.1 B.2 C.12解析:若l1⊥l2,則a⊥b,所以a·b=0,所以1×(-2)+2×3+(-2m)=0,解得m=2.答案:B3.已知二面角α-l-β的大小為π3,m,n為異面直線,且m⊥α,n⊥β,則m,n所成的角為()A.π6 B.π3 C.π解析:設(shè)m,n的方向向量分別為m,n.由m⊥α,n⊥β知m,n分別是平面α,β的法向量.因?yàn)閨cos<m,n>|=cosπ3=12,所以<m,n>=π3因?yàn)閮僧惷嬷本€所成角的范圍為0,所以異面直線m,n所成的角為π3答案:B4.如圖所示,點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD,PA=AB,則PB與AC所成的角是()A.90° B.60° C.45° D.30°解析:由題意,知PA,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)PA=AB=1,則P(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),所以PB=(1,0,-1),AC=(1,1,0).設(shè)PB與AC所成的角為α,則cosα=|PB·AC||PB||答案:B5.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為上底面對角線A1C1的中點(diǎn),若BE=AA1+xAB+yAD,則(A.x=-12,y=12 B.x=12C.x=-12,y=-12 D.x=12解析:BE=BA+AA1+A1E=-AB+AA1+12(AA1+12AB+12AD=AA1-12AB答案:A6.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為()A.83 B.38 C.4解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),A1(2,0,4),所以AB1=(0,2,4),(-2,0,4),AA1=設(shè)平面AB1D1的法向量n=(x,y,z),則A即2令x=2,得y=-2,z=1.所以n=(2,-2,1)是平面AB1D1的一個(gè)法向量.所以A1到平面AB1D1的距離為d=|AA1答案:C7.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2,D為AA1上一點(diǎn).若二面角B1-DC-C1的大小為60°,則AD的長為()A.2 B.3 C.2 D.2解析:如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),B1(0,2,2).設(shè)AD=a(0≤a≤2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0,a),CD=(1,0,a),CB1=設(shè)平面B1CD的法向量為m=(x,y,z),則m·C令z=-1,得x=a,y=1.所以m=(a,1,-1)是平面B1CD的一個(gè)法向量.因?yàn)槠矫鍯1DC的一個(gè)法向量為(0,1,0),記為n,則由cos60°=|m·n||m||n|,得1a2+2=1答案:A8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,側(cè)棱長等于底面邊長,A1在底面的射影是△ABC的中心,則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()A.13 B.23 C.3解析:如圖,設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)△ABC邊長為1,則A33,0,0所以AB1=由題意,知平面ABC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),所以AB1與底面ABC所成角α的正弦值為sinα=|cos<AB1,n>|=63答案:B二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量a=(1,1,0),則與a共線的單位向量e=()A.-2C.22解析:因?yàn)橄蛄縜=(1,1,0),所以|a|=12+1根據(jù)單位向量的關(guān)系式e=±a|可得e=-22,-22故選AC.答案:AC10.已知空間三點(diǎn)A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),則下列結(jié)論正確的是()A.AB·AC=3 B.AB∥ACC.|BC|=23 D.cos<AB,AC>=3解析:因?yàn)锳(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),所以AB=(0,2,1),AC=(-2,0,3),BC=(-2,-2,2),所以AB與AC不平行,AB·AC=3,|BC|=23,cos<AB,AC>=35×13故選AC.答案:AC11.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a與b的夾角為120°,則λ的值為()A.17 B.-17 C.-1 D.1解析:因?yàn)閍=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a與b的夾角為120°,所以cos120°=a·b|a||解得λ=-1或λ=17.故選AC.答案:AC12.(2021全國卷Ⅰ)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,點(diǎn)P滿足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則(A.當(dāng)λ=1時(shí),△AB1P的周長為定值B.當(dāng)μ=1時(shí),三棱錐P-A1BC的體積為定值C.當(dāng)λ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1P⊥D.當(dāng)μ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1B⊥平面AB1解析:對于A,當(dāng)λ=1時(shí),BP=BC+μBB1,即CP=μBB1,所以CP∥BB1,故點(diǎn)P在線段CC1上,此時(shí)△AB1P的周長為AB1+B1P+AP,當(dāng)點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn)時(shí),△AB1P的周長為5+2,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C1處時(shí),△AB1P的周長為22+1,對于B,當(dāng)μ=1時(shí),BP=λBC+BB1,即B1P=λBC,所以B1P∥BC,故點(diǎn)P在線段B1C1上,因?yàn)锽1C1∥平面A1BC,所以直線B1C1上的點(diǎn)到平面A1BC的距離相等,又△A1BC的面積為定值,所以三棱錐P-A1BC對于C,當(dāng)λ=12時(shí),取線段BC,B1C1的中點(diǎn)分別為M,M1,連接M1M,因?yàn)锽P=12BC+μBB1,即MP=μBB1,所以MP∥BB1,則點(diǎn)P在線段M1M上,當(dāng)點(diǎn)P在M1處時(shí),A1M1⊥B1C1,A1M1⊥B1B,又B1C1∩B1B=B1,所以A1M1⊥平面BB1C1C,又BM1?平面BB1C1C,所以A1M1⊥BM1,即A1P⊥BP,同理,當(dāng)點(diǎn)P在M處,A對于D,當(dāng)μ=12時(shí),取CC1的中點(diǎn)D1,BB1的中點(diǎn)D,連接D1D,因?yàn)锽P=λBC+12BB1,即DP=λBC,所以DP∥BC,則點(diǎn)P在線段DD1上,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D1處時(shí),取AC的中點(diǎn)E,連接A1E,BE,因?yàn)锽E⊥平面ACC1A1,又AD1?平面ACC1A1,所以AD1⊥BE,在正方形ACC1A1中,AD1⊥A1E,又BE∩A1E=E,BE,A1E?平面A1BE,故AD1⊥平面A1BE,又A1B?平面A1BE,所以A1B⊥AD1,在正方形ABB1A1中,A1B⊥AB1,又AD1∩AB1=A,AD1,AB1?平面AB1D1,所以A1B⊥平面AB1D1,因?yàn)檫^定點(diǎn)A與定直線A1B垂直的平面有且只有一個(gè),故有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1B⊥平面AB1P答案:BD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知平面α的一個(gè)法向量為u=(1,2,-1),平面β的一個(gè)法向量為v=(λ2,2,8),若α⊥β,則λ=±2.解析:α⊥β?u⊥v?u·v=0?λ2+4-8=0?λ=±2.14.如圖,在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對角線,G為△ABC的重心,E是BD上一點(diǎn),BE=3ED,若以{AB,AC,AD}為基底,則GE=-112AB-13解析:連接AG(圖略).由題圖,知GE=GA+AD+DE=-13(AB+AC)+AD+14(AB-AD)=-112AB-15.如圖,在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=1,AB=2,側(cè)棱與底面所成的角為60°,則異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為14解析:如圖,設(shè)上、下底面中心分別為O1,O,則OO1⊥平面ABCD,以O(shè)為原點(diǎn),直線BD,AC,OO1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳B=2,A1B1=1,所以AC=BD=22,A1C1=B1D1=2.因?yàn)槠矫鍮DD1B1⊥平面ABCD,所以∠B1BO為側(cè)棱與底面所成的角.由題意,知∠B1BO=60°.設(shè)棱臺(tái)的高為h,則tan60°=h2所以h=62所以A(0,-2,0),D1-22,0,62,B所以AD1=B1C=所以cos<AD1,B1C>=故異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為1416.如圖,等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為33,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則EM,AN所成角的余弦值為1解析:如圖所示,過點(diǎn)C作CO⊥平面ABDE,垂足為O,取AB的中點(diǎn)F,連接CF,OF,OA,OB,則∠CFO為二面角C-AB-D的平面角,所以cos∠CFO=33設(shè)AB=1,則CF=32,所以O(shè)F=12,OC=所以O(shè)為正方形ABDE的中心.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則E0,-22,0,A22,所以EM=24,22,所以cos<EM,AN>=EM·AN|四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c與b+c夾角的余弦值.解:(1)因?yàn)閍∥b,所以x-2=4y解得x=2,y=-4,所以a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).因?yàn)閎⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1),得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),設(shè)a+c與b+c的夾角為θ,所以cosθ=5-12+33818.(12分)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°.(1)設(shè)CD=a,CB=b,CC1=c,試用a,b,c表示(2)已知O為A1C的中點(diǎn),求CO的長.解:(1)由CD=a,CB=b,CC1=c,得CA1=a+b+c,所以A1C=-(2)由已知條件,得|a|=|b|=2,|c|=3,a·b=0,<a,c>=60°,<b,c>=60°.由(1),得CA1=a+b+則|CA1|2=CA12=(a+=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=22+22+32+0+2×2×3×cos60°+2×2×3×cos60°=29.所以A1C的長為29,所以CO的長為29219.(12分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=π2,D是棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=2(1)求證:AB1∥平面BC1D.(2)求異面直線AB1與BC1所成角的大小.(1)證明:如圖,連接B1C交BC1于點(diǎn)O,連接OD.因?yàn)镺為B1C的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn),所以O(shè)D∥AB1.因?yàn)锳B1?平面BC1D,OD?平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.(2)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2).所以AB1=(0,-2,2),Bcos<AB1,BC1>=AB設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ,則cosθ=12因?yàn)棣取?,π2,所以20.(12分)(2022全國卷甲)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.(1)證明:BD⊥PA.(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.(1)證明:因?yàn)镻D⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,所以PD⊥BD,如圖取AB中點(diǎn)E,連接DE,因?yàn)锳D=DC=CB=1,AB=2,所以BE=CD,又CD∥AB,所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以DE=CB=1,所以△ADE為正三角形,所以∠DAE=∠AED=60°,又BE=DE,所以∠DBE=30°,所以∠ADB=90°,所以BD⊥AD,又PD∩AD=D,PD?平面PAD,AD?平面PAD,所以BD⊥平面PAD,又PA?平面PAD,所以BD⊥PA.(2)解:由(1)知,PD,AD,BD兩兩互相垂直,故建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,BD=AB2-則D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),所以PD=(0,0,-3),PA=(1,0,-3),AB=(-1,3,0),設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·PA=x-設(shè)PD與平面PAB所成的角為θ,則sinθ=|cos<PD,n>|=|PD·n|PD||n||=5521.(12分)(2022全國卷Ⅰ)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,△A1BC的面積為22.(1)求點(diǎn)A到平面A1BC的距離.(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.解:(1)由于V三棱柱ABC-A1所以V三棱錐A-設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h,所以V三棱錐A-A1BC所以h=4S△A1BC(2)因?yàn)镈為A1C的中點(diǎn),又平面A1BC⊥平面ABB1A1,直三棱柱平面ABC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABC=BC,所以BC⊥平面ABB1A1,又AB?平面ABB1A1,所以BC⊥AB.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,過點(diǎn)A作AH⊥A1B,因?yàn)锳H?平面ABB1A1,BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AH,又因?yàn)锳1B∩BC=B,所以AH⊥平面A1BC,故AH的長度為點(diǎn)A到平面A1BC的距離,AH=2,因?yàn)锳A1=AB,A1B=2AH=22,所以AB=AA1=2,由S△A1BC=22=1所以BC=2.以B為原點(diǎn),以BC,BA,BB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(2,0,0),A(0,2,0),A1(0,2,2),D(1,1,1),設(shè)n⊥平面ABD,n為(x,y,z),則n·BA令x=1,所以n=(1,0,-1),設(shè)m⊥平面BCD,m為(x0,y0,z0),則m·BC令y0=1,所以m=(0,1,-1),所以|cos<m·n>|=12×2所以sin<m·n>=32所以二面角A-BD-C的正弦值為3222.(12分)在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為長方形,SB⊥底面ABCD,其中BS=2,BA=2,BC=λ,λ的可能取