3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第二課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第二課時(shí)）班級(jí)姓名【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)2能解決簡(jiǎn)單的直線與雙曲線問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥ay∈Ry≤－a或y≥ax∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：____2a____；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：____2b____；半實(shí)軸長(zhǎng)：___a_____，半虛軸長(zhǎng)：____b____離心率e＝ca∈(1，＋∞漸近線y＝±bay＝±ab將y＝kx＋m與x2a2?y2b2＝1聯(lián)立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－aΔ的取值位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)k＝±ba且m≠相交只有___1_____交點(diǎn)k≠±ba且Δ有____2____交點(diǎn)k≠±ba且Δ相切只有___1_____交點(diǎn)k≠±ba且Δ＜相離____0____公共點(diǎn)雙曲線中的幾個(gè)常用結(jié)論(1)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.(2)實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．(3)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)．(4)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為eq\f(2b2,a)，(5)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的△ABF2的周長(zhǎng)為4a＋2|AB|.(6)雙曲線的離心率公式可表示為e＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).典型例題例1已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、距離之差的絕對(duì)值為．（1）求動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，求直線的方程．例2已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，滿足短軸長(zhǎng)等于焦距，且長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)與上頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）若雙曲線與（1）中橢圓有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例3已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程（2）如圖，若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q，P，且，求的最小值．例4過(guò)雙曲線Γ：的左焦點(diǎn)F1的動(dòng)直線l與Γ的左支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)Γ的右焦點(diǎn)為F2.(1)若是邊長(zhǎng)為4的正三角形，求此時(shí)Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若存在直線l，使得，求Γ的離心率的取值范圍.【課堂檢驗(yàn)】1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．2．已知點(diǎn)F是雙曲線（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．參考答案例1．（1）；（2）．【詳解】解：（1）由題意知：，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且，，∴，故曲線的方程為：；（2）設(shè)，，滿足，兩式相減得，即，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，故，∴，即直線的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，故直線的方程為：，即．例2（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為；（2）.【詳解】（1）由題意得：在橢圓中，，且.根據(jù)，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.橢圓的離心率為.（2）由題意，橢圓的焦點(diǎn)為和.因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義，得，所以，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例3（1）；（2）24.【詳解】因?yàn)椋?，．所以雙曲線的方程為，即．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以．所以所求雙曲線的方程為．設(shè)直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，由，得，所以．同理可得，，所以．設(shè)，則，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值24．例4(1)；(2).【詳解】（1）依題意，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性得，，所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，，，b2＝c2－a2＝2，此時(shí)Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意知直線l的斜率不為0，設(shè)l的方程為x＝my－c，聯(lián)立，消去，得，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，，由AF2⊥BF2得，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，整理得，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，則(m2＋1)b4＝4a2c2，所以，故4a2c2≥(c2－a2)2，所以c4＋a4－6a2c2≤0，兩邊除以，得e4－6e2＋1≤0，解得，又因?yàn)閑>1，所以，故，又A，B在左支且l過(guò)F1，所以y1y2<0，即，故，所以，所以，即4a2<b2＝c2－a2，則，故e2>5，即，綜上：，即.課堂檢驗(yàn)1．B【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（