培優(yōu)專題26相似三角形的一線三等角模型-原卷版

培優(yōu)專題26相似三角形的一線三等角模型【專題講解】1.常見基本類型：同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）異側(cè)型2.模型構(gòu)造圖中已存在“一線三等角”，則直接應(yīng)用模型結(jié)論解題.圖中存在“一線兩等角”，補(bǔ)上“一等角”，構(gòu)造模型解題.圖中某直線上只存在1個(gè)角，補(bǔ)上“兩等角”，構(gòu)造模型解題.如果直線上只有1個(gè)角，要補(bǔ)成“一線三等角”時(shí)，該角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：構(gòu)造特殊角的等角時(shí)，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形。“一線三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例求解長(zhǎng)度3.構(gòu)造步驟：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特別地：當(dāng)tanα=1/2、1/3等特定值時(shí)，α也可以是特殊角；定線——通常以“水平線”或者“豎直線”為“一線三等角”中的“一線”；特殊角度時(shí)也可以是45°等傾斜直線；構(gòu)相似——通常以“特殊角”為“中間角”，過“中間角”的兩邊與“一線”的交點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)含特殊角的Rt△；例：如右圖，當(dāng)∠ABP=45°時(shí)，∵∠ABP在y軸上，∴在y軸上分別構(gòu)造兩個(gè)等腰直角三角形△AOE，△PHG，則在y軸上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴4.模型特例——K型圖（三垂定理）性質(zhì)：性質(zhì)：普通”K型圖”可得左右兩個(gè)△相似，即△1∽△2【當(dāng)AB=BC時(shí)，△1≌△2】中點(diǎn)型”K型圖”亦可得三個(gè)△兩兩相似，即當(dāng)BD=BE時(shí)，△1∽△2∽△3以上性質(zhì)反之亦成立，即也可用于證明中點(diǎn)或角相等或線垂直。應(yīng)用：當(dāng)一個(gè)直角放在一條直線上時(shí)，通常要構(gòu)造“K型圖”解題當(dāng)一個(gè)直角放在平面直角坐標(biāo)系中時(shí)，亦常構(gòu)造“K型圖”解題由“K型圖”得到的相似比，基本都可以轉(zhuǎn)化成“特定角”的正切值來計(jì)算“K型圖”常和“A字圖”或“8字圖”類的平行相似結(jié)合在一起求長(zhǎng)度“K型圖”常見構(gòu)造方法：過直角訂單分別作水平或豎直的直線，再過直角兩邊頂點(diǎn)分別作直線的垂線。如圖：【專題訓(xùn)練】1．（2020·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點(diǎn)分別落在軸軸上，，AB=2BC則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，頂點(diǎn)A在反比例函y＝（x＞0）上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)頂點(diǎn)B也在反比例函數(shù)y＝上運(yùn)動(dòng)，則m的值為(

)A．-9 B．-12 C．-15 D．-183．（2021·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，邊BC上有一點(diǎn)E，以DE為邊作矩形EDFG，使FG過點(diǎn)A，則矩形EDFG的面積是（）A．16 B．8 C．8 D．164．（2020·重慶九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是正兩邊上的點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，當(dāng)時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．5．（2020·重慶九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是雙曲線在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)，以為邊作等邊，點(diǎn)在第二象限，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的位置也不斷變化，但點(diǎn)始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北襄陽(yáng)·一模）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為______．7．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=____．8．（2021·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________9．（2019·浙江·九年級(jí)期末）已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)點(diǎn)分別在邊上，，同時(shí)平分和，則的長(zhǎng)為_____．10．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是______．11．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過點(diǎn)P作，交射線DC于點(diǎn)E，已知，．設(shè)AP的長(zhǎng)為x．(1)___________；當(dāng)時(shí)，_________；(2)試探究：否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出的值．12．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長(zhǎng)．13．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．14．（2021·吉林·長(zhǎng)春市綠園區(qū)教師進(jìn)修九年級(jí)期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng)．16．（2021·浙江衢州·中考真題）【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，