3.3.2拋物線的簡單幾何性質

3.：拋物線的幾何性質【考點梳理】考點一：拋物線的簡單幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點坐標O(0,0)離心率e＝1通徑長2p考點二：直線與拋物線的位置關系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點．當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點．考點三：直線和拋物線1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為2p.2．拋物線的焦點弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡單性質（頂點、焦點、范圍）1．（2021·江蘇·高二專題）下列關于拋物線的圖象描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向右，焦點為C．開口向上，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】A【分析】利用拋物線方程，判斷開口方向以及焦點坐標即可.【詳解】拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點坐標為.故選：A.【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質的應用，屬于基礎題.2．（2022·江蘇·高二專題練習）已知為拋物線的焦點，為上任意一點，且點到點距離的最小值為．若直線過交于，兩點，且，則線段中點的橫坐標為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】設，由表示為關于的函數(shù)，結合二次函數(shù)的性質可得的值，利用弦長公式即可得結果.【詳解】設，則滿足，則即當時，的最小值為，解得（舍負），即拋物線，焦點，設，，則，即，即線段中點的橫坐標為3，故選：B.3．（2021·江蘇·高二專題練習）拋物線與圓交于、兩點，圓心，點為劣弧上不同于、的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】求出圓心坐標，可得拋物線的焦點，過作準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長為，聯(lián)立圓與拋物線可得B點坐標，可得的取值范圍，可得答案.【詳解】解：如圖，可得圓心也是拋物線的焦點，過作準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得故的周長，由可得，.的取值范圍為的周長的取值范圍為故選：.題型二：拋物線的對稱性4．（2023·高二課時練習）已知圓與拋物線相交于M，N，且，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】由圓與拋物線的對稱性及，可得點縱坐標，代入拋物線得橫坐標，求出即可得解.【詳解】因為圓與拋物線相交于M，N，且，由對稱性，不妨設，代入拋物線方程，則，解得，所以，故故選：B5．（2023秋·高二課時練習）是拋物線上的兩點，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可設，，利用的面積算出，再結合圖形求出.【詳解】如圖，∵，知兩點關于軸對稱，設，∴，解得，∴，∴，∴，∴.故選：C6．（2020秋·江蘇南通·高二如皋市第一中學校考階段練習）已知為拋物線的焦點，過作垂直軸的直線交拋物線于、兩點，以為直徑的圓交軸于、兩點，且，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓是以焦點為圓心，為半徑的圓，那么中，利用勾股定理求解.【詳解】由題意可知通徑，所以圓的半徑是，在中，，，解得：，所以拋物線方程：故選：B題型三：拋物線的弦長問題7．（2022·江蘇·高二專題練習）已知為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為（）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義以及方程得出，再由面積公式求解即可.【詳解】由題意可得拋物線的焦點為，準線方程為，由及拋物線的定義可得，解得，代入拋物線方程得，所以，故選：C8．（2023·高二課時練習）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于A，B兩點，若點是線段AB的中點，則直線的斜率為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】設，，代入拋物線方程相減可得．【詳解】設，，∵是AB的中點，∴，由，相減得，所以直線的斜率，故選：B．9．（2022·江蘇·高二專題練習）已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，則當取得最小值時，四邊形的面積為（

）A．32 B．16 C．24 D．8【答案】A【分析】由兩條直線垂直，以及取得最小值時，有與，與關于軸對稱，可得直線的斜率為1，進而可求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立寫出韋達定理和弦長公式，再由相互垂直的四邊形面積公式求值即可．【詳解】因為，要使最小，而，由拋物線的對稱性可得與，與關于軸對稱，所以可得直線的斜率為1，又過拋物線的焦點，所以直線的方程為：，，整理可得，，，所以可得，所以．故選：．題型四：拋物線的焦點弦性質問題10．（2023·高二課時練習）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，延長FB交準線于點C，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】利用拋物線的定義結合條件可得，，進而可得.【詳解】法一：由題意可知，，則，拋物線的準線方程為直線，則，，因為，所以，所以，所以，所以，，所以.因為，所以，解得，所以，點F到AM的距離為，所以.法二：因為，所以，所以，即.連接FM，又，所以為等邊三角形.易得，所以.故選：A.11．（2022·江蘇·高二專題練習）已知點為拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點，直線與交于兩點，則的最小值為（

）A．32 B．48 C．64 D．72【答案】C【分析】設直線的方程為，可以先利用方程聯(lián)立，利用弦長公式，借助韋達定理求出，由于直線，求時只需要將k換成即可，然后利用基本不等式求最值即得．【詳解】拋物線的焦點，因為，所以直線，斜率存在，且均不為0．設直線的方程為，聯(lián)立，化簡得．則，所以．因為，故的斜率為，同理可得，所以，當且僅當，即是取等號，故的最小值是64，故選：C12．（2023春·江蘇南京·高二南京市秦淮中學?？茧A段練習）過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，若，則（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【解析】設點為第一象限內(nèi)的點，設點、，利用拋物線的定義可求得點的坐標，進而可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由韋達定理可求得點的橫坐標，進而可求得.【詳解】設點為第一象限內(nèi)的點，設點、，則，，則由題意可得：點，，則，由，得，所以，直線方程為，將直線的方程代入化簡得，所以，所以，故選：D．題型五：拋物線中的參數(shù)范圍13．（2023·高二課時練習）已知為拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于，兩點，若在軸負半軸上存在一點，使得為銳角，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程結合韋達定理，再根據(jù)為銳角得到恒成立，轉化為坐標運算，即可得到的范圍.【詳解】由題意知，設直線的方程為，由，得．設，，則，，所以，．因為為銳角，所以恒成立，即，整理得，所以，而，所以對于任意恒成立，所以．由，解得，所以的取值范圍為．故選:A．14．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】結合拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，即直線是拋物線的準線.拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和，也即是到直線與焦點的距離之和，最小值為到直線的距離，即.故選：A15．（2021·江蘇·高二專題練習）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，直線，動點M在C上運動，記點M到直線l與l′的距離分別為d1，d2，O為坐標原點，則當d1+d2最小時，cos∠MFO＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設MN⊥l'，垂足為N，d1+d2＝|MF|+|MN|，當M、F、N三點共線時，d1+d2最小，再結合點到直線的距離公式，以及直角三角形中的銳角的余弦值即可求出結果.【詳解】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設MN⊥l'，垂足為N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，當M、F、N三點共線時，d1+d2最小，∵拋物線C：y2＝4x，∴焦點F（1，0），∴|FN|＝d＝，設直線l'與x軸的交點為D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．故選：A．題型六：拋物線的定值、定點問題16．（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級中學校）已知拋物線C：的焦點為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點，．(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線C上一點作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點（異于點P），證明：直線恒過定點，并求出該定點坐標．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，得到直線l方程為，設，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)拋物線的弦長求得p，即得答案；（2）求得a的值，設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得根與系數(shù)的關系，利用，得到或，代入直線方程，分離參數(shù)，求得定點坐標，證明結論.【詳解】（1）設，由題意知，則直線l方程為，代入，得，，∴，由拋物線定義，知，，∴，∴，∴拋物線的方程為.（2）證明：在拋物線上，，由題意，直線的斜率不為0，設直線的方程為，設，由，得，則，且，又，，由題意，可知,,故，故，整理得，即，或，即或．若，則，此時直線過定點，不合題意；若，則，此時直線過定點，符合題意，綜上，直線過異于P點的定點．【點睛】方法點睛：直線和拋物線的位置關系中，證明直線過定點問題，一般是設出直線方程，利用根與系數(shù)的關系化簡，求得參數(shù)之間的關系式，再對直線分離參數(shù)，求得定點坐標，進而證明直線過定點.17．（2023·江蘇·高二專題練習）設拋物線的準線為l，A、B為拋物線上兩動點，于，定點使有最小值．(1)求拋物線的方程；(2)當（且）時，是否存在一定點T滿足為定值？若存在，求出T的坐標和該定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點，使得為定值．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義將拋物線上的點到準線的距離轉化為到焦點的距離，然后三點共線時，距離和最短，即可得到關系式；（2）由已知可得，直線經(jīng)過點，設出直線方程和點的坐標，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，得到，，表示出，整理完成得到，可知當所有的形式前面的系數(shù)均為0時為定值，即可解出T的坐標和該定值.【詳解】（1）設拋物線焦點為F，，根據(jù)拋物線的定義有，則，即，所以（舍去負值），則拋物線的方程為．（2）∵，∴K、A、B三點共線．∴設直線AB方程為，設，，，聯(lián)立得，，則或.，，，，且有，而，因為，的任意性，要使該值為定值，需滿足，可得，此時.18．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．(1)求動圓的圓心所在軌跡的方程；(2)已知點是軌跡上一點，點是軌跡上不同的兩點（點均不與點重合），設直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點，并求出定點的坐標．【答案】(1)(2)證明見解析，定點【分析】（1）由題意，作圖，根據(jù)圓切線的性質，結合拋物線的定義，可得答案；（2）設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，寫出韋達定理，代入，可得答案.【詳解】（1）設點，圓與直線的切點為，因為動圓過點，且與直線相切，則，所以點的軌跡是以原點為頂點，以點為焦點的拋物線，則動圓的圓心軌跡的方程為．（2）若直線的斜率為0，則直線與拋物線只有1個交點，不合要求，設直線的方程為，消去可得：，則，因為為拋物線上一點，所以，解得，，解得，代入，解得或，結合點均不與點重合，則，則，解得，故且或，所以直線即所以直線恒過定點.【雙基達標】單選題19．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學?？计谀┮阎獮閽佄锞€的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，結合韋達定理和拋物線的定義求解即可.【詳解】拋物線的方程為，則其焦點，設直線的方程為，由，可得：，，，根據(jù)拋物線定義，，因為，所以，所以即，解得：.故選：B.20．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線，P為C上一點，，，當最小時，點P到坐標原點的距離為（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】設，由拋物線的定義可得，，設化簡可得當時，取得最小值，求出的坐標，即可求解【詳解】因為拋物線，則焦點為，準線為，又，，則點為拋物線的焦點，過作準線的垂線，垂足為，設，則，故，由拋物線的定義可得，，又，則設故，則，當時，取得最小值為，則，，將代入拋物線可得，所以故選：A21．（2022·江蘇·高二期末）已知拋物線：的焦點為，過點作y軸的垂線交拋物線C于點A，且滿足，則的值為（

）A．4 B．1 C．2 D．8【答案】C【分析】由可得點在準線上，則可得，由此可求.【詳解】由題意可知可知點在拋物線上，與軸垂直，所以與拋物線的準線垂直，因為，所以點在準線上，又因為準線方程為，所以，即，故選：C.22．（2022·江蘇·高二專題練習）已知拋物線：的焦點為F，Q為上一點，M為的準線上一點且為坐標原點，P在x軸上，且在點F的右側，，，，則準線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義以及已知的幾何關系，判斷出為等邊三角形，再運用焦半徑公式求出邊長，進而解得的取值，求出準線方程.【詳解】由題意得，如圖，點在焦點的右邊，且，，由拋物線的定義知，∵，∴，又，軸，∴為等邊三角形，∴點的橫坐標為，∴，又，∴，解得，∴準線的方程為，故選：C.23．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）已知拋物線的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由題意解出點橫坐標，由拋物線的定義求解【詳解】，設，，，則，得，由拋物線定義得故選：D24．（2022·江蘇·高二專題練習）過點的直線與拋物線：交于，兩點，且與E的準線交于點C，點F是E的焦點，若的面積是的面積的2倍，則（

）A． B． C．10 D．17【答案】C【分析】設出直線方程，與拋物線聯(lián)立得到兩根之和，兩根之積，利用面積之比得到線段之比，進而得到關系式，結合韋達定理求出，從而求出.【詳解】由題意得：，設直線：，與拋物線聯(lián)立得：，則，，拋物線準線方程為：，則，所以，由可得：，即，又，故，所以，由可得：，整理得：，解得：，.故選：C25．（2022·江蘇·高二專題練習）拋物線C：的焦點為F，準線l交x軸于點，過焦點的直線m與拋物線C交于A，B兩點，則（

）A．B．C．直線AQ與BQ的斜率之和為0D．準線l上存在點M，若為等邊三角形，可得直線AB的斜率為【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的性質，以及直線和拋物線的位置關系，結合韋達定理，利用斜率關系以及弦長和距離公式，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對于A，由，可得，故A選項不正確；對于B，設A，B兩點的坐標分別為，，根據(jù)題意得，焦點，則設直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，則，，，，，故B選項不正確；對于C，，故C選項正確；對于D，如圖，設AB的中點為N，連MN，過N作NH⊥直線l，H為垂足，根據(jù)B項可得N點坐標為，則，由為等邊三角形可得，則，則，由對稱性及MN⊥AB可知直線AB的斜率為，故D選項不正確．故選：C.26．（2023秋·高二課時練習）已知直線與拋物線交于兩點，.(1)求；(2)設拋物線的焦點為，過點且與垂直的直線與拋物線交于，求四邊形的面積.【答案】(1)2(2)32【分析】（1）聯(lián)立和拋物線方程，可得根與系數(shù)關系式，利用弦長公式即可求得答案；（2）求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程可得根與系數(shù)關系式，求出，根據(jù)四邊形面積的計算可得答案.【詳解】（1）設，由，可得，易得，所以，則，即，因為，所以.（2）由題意可得拋物線的焦點為，直線的方程為.聯(lián)立，化簡可得，則，設，則，則，因為，所以.27．（2023春·江蘇鹽城·高二?？计谥校┮阎c在拋物線：上.(1)求拋物線C的準線方程；(2)設直線與C交于A，B兩點，O為坐標原點，且，求面積的最小值.【答案】(1)(2)64【分析】（1）將點代入拋物線方程，得出拋物線C的準線方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，由結合韋達定理得出面積的最小值.【詳解】（1）將點代入拋物線方程，可得，解得，所以，拋物線的方程為，則拋物線準線方程為：，（2）設，，易知直線的斜率存在，直線的方程為.聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去整理得，則，由韋達定理可得.又，所以，即，即，代入可得，解得或（不符合題意，舍去），此時恒成立.所以，所以，當時，面積有最小值64.【高分突破】一、單選題28．（2023·高二課時練習）已知曲線C：y2＝2px（p＞0），過它的焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】設直線MN的方程，與拋物線聯(lián)立切線兩根之和，進而求出MN的中點Q的坐標，再由拋物線的性質可得弦長|MN|的值，及|QF|的值，在△QFP中，求出|PF|的值，求出是一個定值，求出定值m．【詳解】由拋物線的方程可得焦點F（，0），準線的方程為：x，由題意可得直線MN的斜率不為0，設直線MN的方程為：x＝ty，設t＞0，設M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：，所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（t1+y2）+p＝2pt2+p，所以MN的中點Q（pt2，pt），由拋物線的性質可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p（1+t2），|QF|pt，由直線MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由題意在Rt△QFP中，|PF|p（1+t2），所以為定值，所以m的值為，故選：A．29．（2021·高二單元測試）設拋物線的焦點為F，過點F且斜率為的直線交拋物線C于A，B兩點，若、分別垂直準線于、，四邊形的周長為40，則（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】由已知得，代入拋物線方程化簡得，根據(jù)四邊形為直角梯形，結合四邊形的周長為40，列方程求解即可.【詳解】設，，由已知得，代入拋物線方程化簡得，，，又四邊形的周長為40，易知四邊形為直角梯形，所以，所以，所以，解得或由，得到，故舍去，故選：A．30．（2022·江蘇·高二專題練習）是拋物線C：上一定點，A，B是C上異于P的兩點，直線PA，PB的斜率，滿足為常數(shù)，，且直線AB的斜率存在，則直線AB過定點（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，結合題意可得①，設直線AB：并聯(lián)立拋物線，應用韋達定理及①求參數(shù)b關于的關系式，并將直線化為，利用其過定點求x、y，即可確定坐標.【詳解】設，則，相減得，，同理得：，為常數(shù)，，，整理有，①設直線AB：，代入拋物線方程得：，，則，代入①，得：，有，代入AB的直線方程，得：，，，直線過定點，則，解得：，即，直線AB所過定點.故選：C.31．（2022·江蘇·高二專題練習）已知點是拋物線：（）上的動點，若的最小值為1，則拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結合點到直線的距離公式探求的幾何意義，再列式計算即可作答.【詳解】因為點到直線：的距離，則，而拋物線的焦點為，由拋物線的定義得，則有，因此，表示拋物線E上的動點N到直線的距離與到焦點F的距離的和的2倍減去p的差，顯然，拋物線E上的動點N到直線的距離與到焦點F的距離的和不小于焦點F到直線的距離，因點到直線：的距離，于是得的最小值是，解得，當且僅當點N在過點F向直線所作垂線段上時取到最小值，當時，點，過F垂直于的直線為：，由解得：，即過點F向直線所作垂線段的垂足是，拋物線：，由解得：或，顯然，點在線段FM上，即當點的坐標為時，點N到直線的距離與到焦點F的距離的和等于焦點F到直線的距離，所以拋物線的準線方程為.故選：B【點睛】關鍵點睛：頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線中，靈活運用拋物線上一點到焦點的距離或是解決相關問題的關鍵．二、多選題32．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，，是拋物線上的兩點，為坐標原點，則（

）A．拋物線的準線方程為B．若，則的面積為C．若直線過焦點，且，則到直線的距離為D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質，可判定A錯誤，結合拋物線的定義，可判定B正確；結合拋物線的焦點弦的性質和點到直線的距離公式，可判定C錯誤；設直線的方程為（不妨設）求得和，結合基本不等式，可判定D正確.【詳解】對于A中，拋物線可得其準線方程為，所以A錯誤；對于B中，設，因為，可得，解得，可得，所以，所以B正確；對于C中，拋物線，可得其焦點坐標為，當直線的斜率不存在時，可得，不符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設，可得，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，所以直線的方程為，不妨取，所以到直線的距離為，所以C錯誤；對于D中，設直線的方程為（不妨設）由，可得，則，因為，此時直線的方程為，可得，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以D正確.故選：BD.33．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的焦點為，點為上任意一點，點，下列結論正確的是（

）A．的最小值為2 B．拋物線關于軸對稱C．的最小值為4 D．過點且與拋物線有一個公共點的直線有且只有一條【答案】CD【分析】根據(jù)拋物線的定義得到，然后根據(jù)拋物線的圖象即可得到當在原點時，最小，即可判斷A選項；根據(jù)拋物線的圖象即可判斷BD選項；根據(jù)拋物線的定義和幾何知識可以得到當三點共線時最小，然后求最小值即可判斷C選項.【詳解】作出拋物線的準線，過作的垂線，垂足為，則.當在原點時，最小為1，A錯誤；易知拋物線關于軸對稱，B錯誤；，∴當三點共線時最小，最小值為到準線的距離為4，C正確.點在拋物線內(nèi)，故只有當過的直線平行于對稱軸軸時，過的直線與拋物線有一個公共點，D正確.故選：CD.34．（2022秋·高二單元測試）設點為拋物線：的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為（為坐標原點）【答案】BC【分析】設，利用焦半徑公式求出，進而求出，并結合，求出，即可判斷A；求出三點的坐標，從而求出向量，的坐標，即可判斷B；已知兩點坐標，且，利用斜率公式可得，即可判斷C；由，求出的面積，即可判斷D.【詳解】如圖，設，，，，又，，即，解得：；故選項A不正確；由上述分析可知，又容易知，則，，故成立；故選項B正確；；故選項C正確；，故選項D不正確；故選：BC．35．（2022秋·江蘇泰州·高二泰州中學?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，為上一動點，點，則（

）A．當時，B．當時，在點處的切線方程為C．的最小值為D．的最大值為【答案】ACD【分析】當時，求出判斷A；設切線與拋物線聯(lián)立使求出切線方程判斷B；利用拋物線的定義轉化求解的最小值可判斷C；根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊判斷D．【詳解】因為拋物線，所以準線的方程是.對于，當時，，此時，故A正確;對于B，當時，，令切線方程為:，與聯(lián)立得，令，解得，即切線方程為:，即，故B錯誤;對于C，過點分別作準線的垂線，垂足為則，所以的最小值為故C正確.對于D，因為焦點，所以，所以的最大值為故D正確.故選：ACD36．（2022·江蘇·高二專題練習）已知拋物線的焦點為F、準線為l，過點F的直線與拋物線交于，兩點，點P在l上的射影為，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準線l相切C．設，則D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條【答案】ABC【分析】利用拋物線焦點弦長公式可判斷A選項；設N為中點，點N在l上的射影為，可得即可判斷B選項；利用拋物線的定義結合三點共線可判斷C選項；求出過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線的方程，可判斷D選項．【詳解】對于A，因為，所以，又，所以，故A正確；對于B，設N為中點，點N在l上的射影為，點Q在l上的射影為，則由梯形性質可得，故B正確；對于C，因為，所以，（當P，M，F(xiàn)三點共線時取等號），故C正確；對于D，顯然直線與拋物線只有一個公共點，當直線的斜率存在且不為0時，設過M的直線為，聯(lián)立，可得，令，則，所以直線與拋物線也只有一個公共點，所以過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線有3條，故D錯誤，故選：ABC．37．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚中高級中學?？计谀┮阎獮樽鴺嗽c，拋物線的方程為的焦點為，直線與交于兩點，且的中點到軸的距離為2，則下列結論正確的是（

）A．的最大值為6B．的焦點坐標為C．若，則直線的方程為D．若,則面積的最小值為【答案】ACD【分析】對于A：利用拋物線定義，三角形三邊關系即可求解；對于B：根據(jù)拋物線的焦點性質即可求解；對于C：聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消元后利用韋達定理，利用給定的條件即可求解；對于D：先求出直線所過的定點，利用面積公式即可求解.【詳解】對于A：如圖：設的中點為，分別過作準線的垂線，垂足分別為，因為到軸的距離為2，所以，由拋物線的定義知，,所以，因為，所以，所以的最大值為6.故選項A正確；對于B：由題知，拋物線的標準方程為，所以焦點坐標為.故選項B錯誤；對于C：由得直線過點，直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立方程得，化簡得，則有.由于，所以，可得，解得，所以，所以，直線的方程為.故選項C正確；對于D：設，，由，得，又，所以，由題知，，所以，又，故直線的方程為，又，所以，則有直線恒過點，所以，所以面積的最小值為16.故選項D正確；故選：ACD.三、填空題38．（2023春·江蘇揚州·高二江蘇省江都中學?？奸_學考試）已知點F為拋物線的焦點，，點P為拋物線上一動點，則的最小值為．【答案】4【分析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過作拋物線準線的垂線，垂足為，連接，由拋物線的定義可知，則，當且僅當共線時等號成立，故的最小值為4.故答案為：4.39．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的焦點為F，點A，B在拋物線上．若，則當取得最大值時，．【答案】或4【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再結合拋物線的對稱性即可求得的值．【詳解】在中，由余弦定理可得．，．，，當且僅當時，等號成立．根據(jù)拋物線的對稱性可知，或，或4．故答案為：或4．40．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）已知拋物線的焦點F與雙曲線的右焦點重合，與的公共點為M，N，且，則的離心率是．【答案】/【分析】根據(jù)拋物線和雙曲線的對稱性可得，，且，利用雙曲線的定義可得的值，進而求解.【詳解】因為與交于點M，N，所以M，N關于x軸對稱，所以，所以．因為，所以的另一焦點為，所以，所以，所以．故答案為：.41．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點，向圓作兩條切線和，切點分別為，，則的取值范圍是．【答案】【分析】設點，由已知關系，可用點坐標表示出.在，有，進而可推出，根據(jù)的范圍，即可得到結果.【詳解】由已知，，.如圖，設點，則，，在中，有，易知，則，則，因為，，所以當時，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題42．（2023春·江蘇南通·高二期末）拋物線的焦點，過C的焦點F斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，的面積為(1)求拋物線C的方程；(2)若P為C上位于第一象限的任一點，直線l與C相切于點P，連接PF并延長交C于點M，過P點作l的垂線交C于另一點N，求面積S的最小值．【答案】(1)(2)【分析】由已知，直線AB的方程為，將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，利用求出p，即可得到拋物線方程；設，，，切線l的方程為，由題意得到由直線l與拋物線相切，得，得直線PN的方程，得點M到直線PN的距離，將直線PN的方程與拋物線方程聯(lián)立，結合弦長公式，求出三角形的面積，利用基本不等式求最值即可．【詳解】（1）由已知，直線AB的方程為，設，，聯(lián)立，可得，所以，于是，所以.故拋物線C的方程為（2）如下圖，設，，，切線l的方程為，則有，，由M，F(xiàn)，P三點共線，可知，即，因為，化簡可得由，可得，因為直線l與拋物線相切，故，故所以直線PN的方程為：，即，點M到直線PN的距離為，將代入可得，聯(lián)立，消可得，消x可得，，所以，所以，，故，當且僅當時，等號成立，此時，面積S的最小值為43．（2