3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

3.：拋物線的幾何性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e＝1通徑長(zhǎng)2p考點(diǎn)二：直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若Δ＝0，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)．考點(diǎn)三：直線和拋物線1．拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長(zhǎng)為2p.2．拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點(diǎn)技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、范圍）1．（2021·江蘇·高二專題）下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向右，焦點(diǎn)為C．開口向上，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為【答案】A【分析】利用拋物線方程，判斷開口方向以及焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為．若直線過交于，兩點(diǎn)，且，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】設(shè)，由表示為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得的值，利用弦長(zhǎng)公式即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則滿足，則即當(dāng)時(shí)，的最小值為，解得（舍負(fù)），即拋物線，焦點(diǎn)，設(shè)，，則，即，即線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，故選：B.3．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）拋物線與圓交于、兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)為劣弧上不同于、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】求出圓心坐標(biāo)，可得拋物線的焦點(diǎn)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長(zhǎng)為，聯(lián)立圓與拋物線可得B點(diǎn)坐標(biāo)，可得的取值范圍，可得答案.【詳解】解：如圖，可得圓心也是拋物線的焦點(diǎn)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得故的周長(zhǎng)，由可得，.的取值范圍為的周長(zhǎng)的取值范圍為故選：.題型二：拋物線的對(duì)稱性4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與拋物線相交于M，N，且，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】由圓與拋物線的對(duì)稱性及，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線得橫坐標(biāo)，求出即可得解.【詳解】因?yàn)閳A與拋物線相交于M，N，且，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，代入拋物線方程，則，解得，所以，故故選：B5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）是拋物線上的兩點(diǎn)，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可設(shè)，，利用的面積算出，再結(jié)合圖形求出.【詳解】如圖，∵，知兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，∴，解得，∴，∴，∴，∴.故選：C6．（2020秋·江蘇南通·高二如皋市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作垂直軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于、兩點(diǎn)，且，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓是以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，那么中，利用勾股定理求解.【詳解】由題意可知通徑，所以圓的半徑是，在中，，，解得：，所以拋物線方程：故選：B題型三：拋物線的弦長(zhǎng)問題7．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為（）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義以及方程得出，再由面積公式求解即可.【詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由及拋物線的定義可得，解得，代入拋物線方程得，所以，故選：C8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】設(shè)，，代入拋物線方程相減可得．【詳解】設(shè)，，∵是AB的中點(diǎn)，∴，由，相減得，所以直線的斜率，故選：B．9．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形的面積為（

）A．32 B．16 C．24 D．8【答案】A【分析】由兩條直線垂直，以及取得最小值時(shí)，有與，與關(guān)于軸對(duì)稱，可得直線的斜率為1，進(jìn)而可求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立寫出韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，再由相互垂直的四邊形面積公式求值即可．【詳解】因?yàn)椋棺钚?，而，由拋物線的對(duì)稱性可得與，與關(guān)于軸對(duì)稱，所以可得直線的斜率為1，又過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為：，，整理可得，，，所以可得，所以．故選：．題型四：拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)問題10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)FB交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】利用拋物線的定義結(jié)合條件可得，，進(jìn)而可得.【詳解】法一：由題意可知，，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為直線，則，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，，所?因?yàn)?，所以，解得，所以，點(diǎn)F到AM的距離為，所以.法二：因?yàn)椋?，所以，?連接FM，又，所以為等邊三角形.易得，所以.故選：A.11．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．32 B．48 C．64 D．72【答案】C【分析】設(shè)直線的方程為，可以先利用方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，借助韋達(dá)定理求出，由于直線，求時(shí)只需要將k換成即可，然后利用基本不等式求最值即得．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線，斜率存在，且均不為0．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得．則，所以．因?yàn)?，故的斜率為，同理可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即是取等號(hào)，故的最小值是64，故選：C12．（2023春·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，則，，則由題意可得：點(diǎn)，，則，由，得，所以，直線方程為，將直線的方程代入化簡(jiǎn)得，所以，所以，故選：D．題型五：拋物線中的參數(shù)范圍13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若在軸負(fù)半軸上存在一點(diǎn)，使得為銳角，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程結(jié)合韋達(dá)定理，再根據(jù)為銳角得到恒成立，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到的范圍.【詳解】由題意知，設(shè)直線的方程為，由，得．設(shè)，，則，，所以，．因?yàn)闉殇J角，所以恒成立，即，整理得，所以，而，所以對(duì)于任意恒成立，所以．由，解得，所以的取值范圍為．故選:A．14．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】結(jié)合拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，即直線是拋物線的準(zhǔn)線.拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，也即是到直線與焦點(diǎn)的距離之和，最小值為到直線的距離，即.故選：A15．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，直線，動(dòng)點(diǎn)M在C上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)M到直線l與l′的距離分別為d1，d2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)d1+d2最小時(shí)，cos∠MFO＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設(shè)MN⊥l'，垂足為N，d1+d2＝|MF|+|MN|，當(dāng)M、F、N三點(diǎn)共線時(shí)，d1+d2最小，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，以及直角三角形中的銳角的余弦值即可求出結(jié)果.【詳解】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設(shè)MN⊥l'，垂足為N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，當(dāng)M、F、N三點(diǎn)共線時(shí)，d1+d2最小，∵拋物線C：y2＝4x，∴焦點(diǎn)F（1，0），∴|FN|＝d＝，設(shè)直線l'與x軸的交點(diǎn)為D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．故選：A．題型六：拋物線的定值、定點(diǎn)問題16．（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)校）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，．(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，得到直線l方程為，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)求得p，即得答案；（2）求得a的值，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得根與系數(shù)的關(guān)系，利用，得到或，代入直線方程，分離參數(shù)，求得定點(diǎn)坐標(biāo)，證明結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，由題意知，則直線l方程為，代入，得，，∴，由拋物線定義，知，，∴，∴，∴拋物線的方程為.（2）證明：在拋物線上，，由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，則，且，又，，由題意，可知,,故，故，整理得，即，或，即或．若，則，此時(shí)直線過定點(diǎn)，不合題意；若，則，此時(shí)直線過定點(diǎn)，符合題意，綜上，直線過異于P點(diǎn)的定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線和拋物線的位置關(guān)系中，證明直線過定點(diǎn)問題，一般是設(shè)出直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，求得參數(shù)之間的關(guān)系式，再對(duì)直線分離參數(shù)，求得定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而證明直線過定點(diǎn).17．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，A、B為拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，于，定點(diǎn)使有最小值．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)（且）時(shí)，是否存在一定點(diǎn)T滿足為定值？若存在，求出T的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得為定值．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，然后三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最短，即可得到關(guān)系式；（2）由已知可得，直線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)出直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，表示出，整理完成得到，可知當(dāng)所有的形式前面的系數(shù)均為0時(shí)為定值，即可解出T的坐標(biāo)和該定值.【詳解】（1）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，，根據(jù)拋物線的定義有，則，即，所以（舍去負(fù)值），則拋物線的方程為．（2）∵，∴K、A、B三點(diǎn)共線．∴設(shè)直線AB方程為，設(shè)，，，聯(lián)立得，，則或.，，，，且有，而，因?yàn)椋娜我庑?，要使該值為定值，需滿足，可得，此時(shí).18．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切．(1)求動(dòng)圓的圓心所在軌跡的方程；(2)已知點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，點(diǎn)是軌跡上不同的兩點(diǎn)（點(diǎn)均不與點(diǎn)重合），設(shè)直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）由題意，作圖，根據(jù)圓切線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義，可得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，代入，可得答案.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，圓與直線的切點(diǎn)為，因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切，則，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，則動(dòng)圓的圓心軌跡的方程為．（2）若直線的斜率為0，則直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，設(shè)直線的方程為，消去可得：，則，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以，解得，，解得，代入，解得或，結(jié)合點(diǎn)均不與點(diǎn)重合，則，則，解得，故且或，所以直線即所以直線恒過定點(diǎn).【雙基達(dá)標(biāo)】單選題19．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線的定義求解即可.【詳解】拋物線的方程為，則其焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，由，可得：，，，根據(jù)拋物線定義，，因?yàn)?，所以，所以即，解得?故選：B.20．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線，P為C上一點(diǎn)，，，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】設(shè)，由拋物線的定義可得，，設(shè)化簡(jiǎn)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出的坐標(biāo)，即可求解【詳解】因?yàn)閽佄锞€，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，又，，則點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)，則，故，由拋物線的定義可得，，又，則設(shè)故，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，則，，將代入拋物線可得，所以故選：A21．（2022·江蘇·高二期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作y軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)A，且滿足，則的值為（

）A．4 B．1 C．2 D．8【答案】C【分析】由可得點(diǎn)在準(zhǔn)線上，則可得，由此可求.【詳解】由題意可知可知點(diǎn)在拋物線上，與軸垂直，所以與拋物線的準(zhǔn)線垂直，因?yàn)椋渣c(diǎn)在準(zhǔn)線上，又因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，所以，即，故選：C.22．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，Q為上一點(diǎn)，M為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)且為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在x軸上，且在點(diǎn)F的右側(cè)，，，，則準(zhǔn)線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義以及已知的幾何關(guān)系，判斷出為等邊三角形，再運(yùn)用焦半徑公式求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而解得的取值，求出準(zhǔn)線方程.【詳解】由題意得，如圖，點(diǎn)在焦點(diǎn)的右邊，且，，由拋物線的定義知，∵，∴，又，軸，∴為等邊三角形，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，又，∴，解得，∴準(zhǔn)線的方程為，故選：C.23．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由題意解出點(diǎn)橫坐標(biāo)，由拋物線的定義求解【詳解】，設(shè)，，，則，得，由拋物線定義得故選：D24．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且與E的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，點(diǎn)F是E的焦點(diǎn)，若的面積是的面積的2倍，則（

）A． B． C．10 D．17【答案】C【分析】設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立得到兩根之和，兩根之積，利用面積之比得到線段之比，進(jìn)而得到關(guān)系式，結(jié)合韋達(dá)定理求出，從而求出.【詳解】由題意得：，設(shè)直線：，與拋物線聯(lián)立得：，則，，拋物線準(zhǔn)線方程為：，則，所以，由可得：，即，又，故，所以，由可得：，整理得：，解得：，.故選：C25．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．B．C．直線AQ與BQ的斜率之和為0D．準(zhǔn)線l上存在點(diǎn)M，若為等邊三角形，可得直線AB的斜率為【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，利用斜率關(guān)系以及弦長(zhǎng)和距離公式，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，由，可得，故A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)題意得，焦點(diǎn)，則設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，則，，，，，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，連MN，過N作NH⊥直線l，H為垂足，根據(jù)B項(xiàng)可得N點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由為等邊三角形可得，則，則，由對(duì)稱性及MN⊥AB可知直線AB的斜率為，故D選項(xiàng)不正確．故選：C.26．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，.(1)求；(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與垂直的直線與拋物線交于，求四邊形的面積.【答案】(1)2(2)32【分析】（1）聯(lián)立和拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，利用弦長(zhǎng)公式即可求得答案；（2）求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程可得根與系數(shù)關(guān)系式，求出，根據(jù)四邊形面積的計(jì)算可得答案.【詳解】（1）設(shè)，由，可得，易得，所以，則，即，因?yàn)?，所?（2）由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為，直線的方程為.聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，則，設(shè)，則，則，因?yàn)椋?27．（2023春·江蘇鹽城·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)在拋物線：上.(1)求拋物線C的準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值.【答案】(1)(2)64【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，得出拋物線C的準(zhǔn)線方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，由結(jié)合韋達(dá)定理得出面積的最小值.【詳解】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，所以，拋物線的方程為，則拋物線準(zhǔn)線方程為：，（2）設(shè)，，易知直線的斜率存在，直線的方程為.聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去整理得，則，由韋達(dá)定理可得.又，所以，即，即，代入可得，解得或（不符合題意，舍去），此時(shí)恒成立.所以，所以，當(dāng)時(shí)，面積有最小值64.【高分突破】一、單選題28．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線C：y2＝2px（p＞0），過它的焦點(diǎn)F作直線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，可證明是一個(gè)定值m，則m＝（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)直線MN的方程，與拋物線聯(lián)立切線兩根之和，進(jìn)而求出MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再由拋物線的性質(zhì)可得弦長(zhǎng)|MN|的值，及|QF|的值，在△QFP中，求出|PF|的值，求出是一個(gè)定值，求出定值m．【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線的方程為：x，由題意可得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為：x＝ty，設(shè)t＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：，所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（t1+y2）+p＝2pt2+p，所以MN的中點(diǎn)Q（pt2，pt），由拋物線的性質(zhì)可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p（1+t2），|QF|pt，由直線MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由題意在Rt△QFP中，|PF|p（1+t2），所以為定值，所以m的值為，故選：A．29．（2021·高二單元測(cè)試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若、分別垂直準(zhǔn)線于、，四邊形的周長(zhǎng)為40，則（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】由已知得，代入拋物線方程化簡(jiǎn)得，根據(jù)四邊形為直角梯形，結(jié)合四邊形的周長(zhǎng)為40，列方程求解即可.【詳解】設(shè)，，由已知得，代入拋物線方程化簡(jiǎn)得，，，又四邊形的周長(zhǎng)為40，易知四邊形為直角梯形，所以，所以，所以，解得或由，得到，故舍去，故選：A．30．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）是拋物線C：上一定點(diǎn)，A，B是C上異于P的兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率，滿足為常數(shù)，，且直線AB的斜率存在，則直線AB過定點(diǎn)（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，結(jié)合題意可得①，設(shè)直線AB：并聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理及①求參數(shù)b關(guān)于的關(guān)系式，并將直線化為，利用其過定點(diǎn)求x、y，即可確定坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則，相減得，，同理得：，為常數(shù)，，，整理有，①設(shè)直線AB：，代入拋物線方程得：，，則，代入①，得：，有，代入AB的直線方程，得：，，，直線過定點(diǎn)，則，解得：，即，直線AB所過定點(diǎn).故選：C.31．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線：（）上的動(dòng)點(diǎn)，若的最小值為1，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式探求的幾何意義，再列式計(jì)算即可作答.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離，則，而拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義得，則有，因此，表示拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)N到直線的距離與到焦點(diǎn)F的距離的和的2倍減去p的差，顯然，拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)N到直線的距離與到焦點(diǎn)F的距離的和不小于焦點(diǎn)F到直線的距離，因點(diǎn)到直線：的距離，于是得的最小值是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N在過點(diǎn)F向直線所作垂線段上時(shí)取到最小值，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，過F垂直于的直線為：，由解得：，即過點(diǎn)F向直線所作垂線段的垂足是，拋物線：，由解得：或，顯然，點(diǎn)在線段FM上，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)N到直線的距離與到焦點(diǎn)F的距離的和等于焦點(diǎn)F到直線的距離，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線中，靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離或是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵．二、多選題32．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若，則的面積為C．若直線過焦點(diǎn)，且，則到直線的距離為D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A錯(cuò)誤，結(jié)合拋物線的定義，可判定B正確；結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，可判定C錯(cuò)誤；設(shè)直線的方程為（不妨設(shè)）求得和，結(jié)合基本不等式，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，拋物線可得其準(zhǔn)線方程為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，設(shè)，因?yàn)?，可得，解得，可得，所以，所以B正確；對(duì)于C中，拋物線，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，可得，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，所以直線的方程為，不妨取，所以到直線的距離為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，設(shè)直線的方程為（不妨設(shè)）由，可得，則，因?yàn)?，此時(shí)直線的方程為，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.故選：BD.33．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為2 B．拋物線關(guān)于軸對(duì)稱C．的最小值為4 D．過點(diǎn)且與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條【答案】CD【分析】根據(jù)拋物線的定義得到，然后根據(jù)拋物線的圖象即可得到當(dāng)在原點(diǎn)時(shí)，最小，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)拋物線的圖象即可判斷BD選項(xiàng)；根據(jù)拋物線的定義和幾何知識(shí)可以得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，然后求最小值即可判斷C選項(xiàng).【詳解】作出拋物線的準(zhǔn)線，過作的垂線，垂足為，則.當(dāng)在原點(diǎn)時(shí)，最小為1，A錯(cuò)誤；易知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤；，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為到準(zhǔn)線的距離為4，C正確.點(diǎn)在拋物線內(nèi)，故只有當(dāng)過的直線平行于對(duì)稱軸軸時(shí)，過的直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，D正確.故選：CD.34．（2022秋·高二單元測(cè)試）設(shè)點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】BC【分析】設(shè)，利用焦半徑公式求出，進(jìn)而求出，并結(jié)合，求出，即可判斷A；求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出向量，的坐標(biāo)，即可判斷B；已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，且，利用斜率公式可得，即可判斷C；由，求出的面積，即可判斷D.【詳解】如圖，設(shè)，，，，又，，即，解得：；故選項(xiàng)A不正確；由上述分析可知，又容易知，則，，故成立；故選項(xiàng)B正確；；故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D不正確；故選：BC．35．（2022秋·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為C．的最小值為D．的最大值為【答案】ACD【分析】當(dāng)時(shí)，求出判斷A；設(shè)切線與拋物線聯(lián)立使求出切線方程判斷B；利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解的最小值可判斷C；根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊判斷D．【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以準(zhǔn)線的方程是.對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故A正確;對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，令切線方程為:，與聯(lián)立得，令，解得，即切線方程為:，即，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為則，所以的最小值為故C正確.對(duì)于D，因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以，所以的最大值為故D正確.故選：ACD36．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F、準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)，則D．過點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】ABC【分析】利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)；設(shè)N為中點(diǎn)，點(diǎn)N在l上的射影為，可得即可判斷B選項(xiàng)；利用拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可判斷C選項(xiàng)；求出過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程，可判斷D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，又，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)N為中點(diǎn)，點(diǎn)N在l上的射影為，點(diǎn)Q在l上的射影為，則由梯形性質(zhì)可得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，（?dāng)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），故C正確；對(duì)于D，顯然直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)過M的直線為，聯(lián)立，可得，令，則，所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以過點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．37．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)到軸的距離為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為6B．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．若，則直線的方程為D．若,則面積的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A：利用拋物線定義，三角形三邊關(guān)系即可求解；對(duì)于B：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)性質(zhì)即可求解；對(duì)于C：聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消元后利用韋達(dá)定理，利用給定的條件即可求解；對(duì)于D：先求出直線所過的定點(diǎn)，利用面積公式即可求解.【詳解】對(duì)于A：如圖：設(shè)的中點(diǎn)為，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，因?yàn)榈捷S的距離為2，所以，由拋物線的定義知，,所以，因?yàn)?，所以，所以的最大值?.故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由題知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由得直線過點(diǎn)，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，化簡(jiǎn)得，則有.由于，所以，可得，解得，所以，所以，直線的方程為.故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)，，由，得，又，所以，由題知，，所以，又，故直線的方程為，又，所以，則有直線恒過點(diǎn)，所以，所以面積的最小值為16.故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.三、填空題38．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二江蘇省江都中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】4【分析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，由拋物線的定義可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為4.故答案為：4.39．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．【答案】或4【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性即可求得的值．【詳解】在中，由余弦定理可得．，．，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，或，或4．故答案為：或4．40．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，與的公共點(diǎn)為M，N，且，則的離心率是．【答案】/【分析】根據(jù)拋物線和雙曲線的對(duì)稱性可得，，且，利用雙曲線的定義可得的值，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)榕c交于點(diǎn)M，N，所以M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，所以．因?yàn)椋缘牧硪唤裹c(diǎn)為，所以，所以，所以．故答案為：.41．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，由已知關(guān)系，可用點(diǎn)坐標(biāo)表示出.在，有，進(jìn)而可推出，根據(jù)的范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，，.如圖，設(shè)點(diǎn)，則，，在中，有，易知，則，則，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題42．（2023春·江蘇南通·高二期末）拋物線的焦點(diǎn)，過C的焦點(diǎn)F斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，的面積為(1)求拋物線C的方程；(2)若P為C上位于第一象限的任一點(diǎn)，直線l與C相切于點(diǎn)P，連接PF并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)M，過P點(diǎn)作l的垂線交C于另一點(diǎn)N，求面積S的最小值．【答案】(1)(2)【分析】由已知，直線AB的方程為，將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，利用求出p，即可得到拋物線方程；設(shè)，，，切線l的方程為，由題意得到由直線l與拋物線相切，得，得直線PN的方程，得點(diǎn)M到直線PN的距離，將直線PN的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求出三角形的面積，利用基本不等式求最值即可．【詳解】（1）由已知，直線AB的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，可得，所以，于是，所以.故拋物線C的方程為（2）如下圖，設(shè)，，，切線l的方程為，則有，，由M，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，可知，即，因?yàn)椋?jiǎn)可得由，可得，因?yàn)橹本€l與拋物線相切，故，故所以直線PN的方程為：，即，點(diǎn)M到直線PN的距離為，將代入可得，聯(lián)立，消可得，消x可得，，所以，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，面積S的最小值為43．（2