2023-2024學(xué)年河南省濮陽市高二上冊(cè)9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省濮陽市高二上冊(cè)9月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．已知空間向量，，且，則（

）A．6 B．10 C．8 D．42．如圖，設(shè)，若，則（

）A． B．C． D．3．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線和平面的位置關(guān)系是（

）A． B．C．或 D．4．已知平行六面體的各棱長均為1，，，則（

）

A． B． C． D．5．已知經(jīng)過點(diǎn)的平面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B．2 C． D．6．在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．正方體棱長為2，是棱的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.）9．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為10．已知，，是空間的三個(gè)單位向量，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，兩兩共面，則，，共面C．對(duì)于空間的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)，，，使得D．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底11．在正方體中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．直線與平面所成角的正弦值為定值C．平面∥平面 D．點(diǎn)到平面的距離為定值12．如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足平面的點(diǎn)的軌跡長度為B．滿足的點(diǎn)的軌跡長度為C．存在唯一的點(diǎn)滿足D．存在點(diǎn)滿足三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．試寫出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：，使之與點(diǎn)，三點(diǎn)共線．14．已知?是空間相互垂直的單位向量，且，，則的最小值是.15．已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面圖形中，，．現(xiàn)將矩形CDEF沿CD進(jìn)行如圖所示的翻折，滿足面ABCD垂直于面CDEF．設(shè)，，若面DBN，則實(shí)數(shù)的值為．16．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵中，，M是的中點(diǎn)，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點(diǎn)H，則，.四、解答題：本題共6小題，70分，其中第17題10分，其余均12分.17．如圖所示，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，以，，方向上的單位向量為基底，求．

18．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的重心．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分別是PC、AD中點(diǎn)．(1)求直線DE和PF夾角的余弦值；(2)求點(diǎn)E到平面PBF的距離．20．如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)恰好是菱形對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)棱中點(diǎn)，若，，．(1)求證：平面⊥平面；(2)點(diǎn)在線段上，且，求二面角的平面角的正弦值．21．如圖，直三棱柱中，是邊長為的正三角形，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．22．長方形中，，M是中點(diǎn)（圖1），將沿折起，使得（圖2），在圖2中

(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存點(diǎn)E，使得平面與的夾角為，請(qǐng)說明理由．1．A【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，解得，則.故選：A.2．A【分析】利用向量的加法及減法的三角形法則，結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算及共線向量定理即可求解.【詳解】由，得,由，得,所以，故選：A.3．A【分析】利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求得，即，進(jìn)而可知直線和平面的位置關(guān)系.【詳解】由，，，所以，即，所以.故選：A4．D【分析】分析得出，利用空間向量數(shù)量積可求得的值.【詳解】由已知可得，，又，所以，所以．故選：D．5．D【分析】求出的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法計(jì)算作答.【詳解】依題意，，所以點(diǎn)P到平面的距離為.故選：D6．C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出異面直線與所成角的余弦值作答.【詳解】在平行六面體中，，，，，則，而，且，于是，

因此，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C7．B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該正面體的棱長為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B8．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，利用向量的數(shù)量積及體積最大值求得，從而得到與平面所成角的正弦值.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，由于為定值，要想三棱錐的體積最大，則F到底面ADE的距離最大，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)?，所以的最大值為，所以，，平面的法向量，所以與平面所成角的正弦值為故選：A9．BD【分析】利用向量垂直，平行的坐標(biāo)關(guān)系判斷A，B，根據(jù)向量夾角公式判斷C，根據(jù)投影向量和投影數(shù)量的關(guān)系計(jì)算求解判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，不垂直，A錯(cuò)，因?yàn)?，所以，B對(duì)，因?yàn)椋?，所以不是鈍角，C錯(cuò)，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄?，D對(duì)，故選：BD.10．AD【詳解】根據(jù)空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念逐項(xiàng)判斷即可.解：，，是空間的三個(gè)單位向量，由，，則，故A正確；，，兩兩共面，但是，，不一定共面，，，可能兩兩垂直，故B錯(cuò)誤；由空間向量基本定理，可知只有當(dāng)，，不共面，才能作為基底，才能得到，故C錯(cuò)誤；若是空間的一組基底，則，，不共面，可知也不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確．故選：AD.11．B【分析】設(shè)正方體的棱長為1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合正方體的性，利用空間向量逐個(gè)計(jì)算判斷即可【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，，即，所以，設(shè)，，即，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則不是定值，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由選項(xiàng)A可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面∥平面，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為，為定值，所以D正確，故選：B12．AC【分析】利用線面平行的判定定理可以證得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，為正方形上的點(diǎn)，可設(shè)，且，，進(jìn)而對(duì)BCD各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可判斷并得到答案.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，對(duì)于B，，即，又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，,且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然，只有時(shí)，，即，故存在唯一的點(diǎn)滿足，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，故，故不存在點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤.故選：AC13．（答案不唯一）【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量共線得到，求出，寫出一個(gè)符合要求的即可.【詳解】根據(jù)題意可得，設(shè)，則設(shè)，即故，不妨令，則，故．故14．3【分析】利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算公式得到，求出最小值，進(jìn)而求出答案.【詳解】因?yàn)榛ハ啻怪?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為9，則的最小值為3.故315．3【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出面DBN的法向量，表示出，由求出的值即可.【詳解】易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，則面CDEF，又面CDEF，則，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又，同理可得，設(shè)面DBN的法向量為，則，令，則，又，又面DBN，則，解得.故3.16．6-42【分析】延長MG與延長線交于點(diǎn)K，連接KN確定點(diǎn)H，再利用塹堵的結(jié)構(gòu)特征列式計(jì)算即得；利用空間向量加法及數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】如圖，延長MG，交的延長線于K，連接KN，顯然平面，平面，因此，平面MNG與AB的交點(diǎn)H，即為KN與AB交點(diǎn)，在塹堵中，，則，即，又，則，而，于是得，所以，因，，所以.故6；-42結(jié)論點(diǎn)睛：首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．17．【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用基底表示出，計(jì)算向量的模，即可求得答案.【詳解】令，，方向上的單位向量分別為，，，則是單位正交基底．因?yàn)?，所以，所以的長度為．18．證明見解析【分析】利用重心的性質(zhì)并利用平面向量的加減法則將向量可表示成，根據(jù)空間向量的共面定理即可得出證明.【詳解】如圖，分別連接PE，PF，PG，PH并延長交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)M，N，Q，R，連接EG，MQ，EF，EH．

由于E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R分別為所在邊的中點(diǎn)，即，，且；所以順次連接M，N，Q，R所得的四邊形為平行四邊形，且有，，，．由于四邊形MNQR為平行四邊形，可得．由于三個(gè)向量有公共點(diǎn)E，根據(jù)空間向量的共面定理可得向量共面；所以四點(diǎn)共面.19．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.（2）由（1）求出平面PBF的法向量，利用空間向量即可求出點(diǎn)E到平面PBF的距離.【詳解】（1）因PD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，則PD、DA、DC三線兩兩互相垂直，如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，則直線DE的方向向量，直線PF的方向向量，，所以直線DE和PF夾角的余弦值為.（2）由（1）知，，，，設(shè)平面PBF的法向量，則，令，得，所以點(diǎn)E到平面PBF的距離為.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明可得，同理可得，即可證明平面，得出答案；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系即可求出.【詳解】（1）由題，平面，所以，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，，所以，在中，，，∴，因此，是中點(diǎn)，可得：，同理：，∵，∴平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以，，分別為，，軸建系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，所以，設(shè)二面角的平面角為，∴．21．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）連接，由（1）知⊥平面，又直線與平面所成的角的正切值為，可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用二面角的坐標(biāo)公式計(jì)算大小可得答案．【詳解】（1）是正三角形，為的中點(diǎn)，．又是直三棱柱，平面ABC，．又，平面．（2）連接，由（1）知平面，∴直線與平面所成的角為，．是邊長為2的正三角形，則，．在直角中，，，．建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，．，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得平面的法向量為．，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得平面的法向量為．設(shè)平面與平面夾角