2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)楓楊外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)楓楊外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．下列哪種影子不是中心投影（）A．月光下房屋的影子 B．晚上在房間內(nèi)墻上的手影 C．都市冤虹燈形成的影子 D．皮影戲中的影子2．關(guān)于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能確定3．下列說法中錯誤的是（）A．相似多邊形的對應(yīng)邊成比例 B．相似多邊形的對應(yīng)角相等 C．相似多邊形的邊數(shù)相同 D．對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形4．在一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球4個，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，那么可以估算出m的值為（）A．8 B．12 C．16 D．205．已知，則的值是（）A． B． C． D．6．如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形 B．當(dāng)∠BAO＝∠DAO時，四邊形ABCD是菱形 C．當(dāng)OA＝OB時，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)AB＝AC時，四邊形ABCD是菱形7．大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），如果AB的長度為10cm，那么BP的長度是（）A． B． C． D．8．如圖，將視力表中的兩個“E”放在平面直角坐標(biāo)系中，兩個“E”字是位似圖形，位似中心點O，①號“E”與②號“E”的相似比為2：1．點P與Q為一組對應(yīng)點，若點Q坐標(biāo)為（﹣2，3），則點P的坐標(biāo)為（）A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6）9．如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B．D為圓心，大于BD的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點，作直線PQ，分別與AD、BC交于點M、N，連接BM、DN．若AB＝3，BC＝6，則四邊形MBND的周長為（）A．15 B．9 C． D．10．如圖，在△ABC中，，，，點P為邊BC上一動點，過點P分別作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，點F為AP中點，連接DF，則線段DF最小值為（）A． B． C． D．二.填空題（共5小題，每題3分，共15分）11．關(guān)于x的方程（k﹣3）x|k﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，則k的值為．12．2023年10月31日神舟十六號載人航天飛船返回艙成功著陸，神舟十六號飛行乘組3位航天員平安落地，飛行任務(wù)取得圓滿成功．我校為了致敬中國英雄，致敬中國航天，加強學(xué)生對我國航天知識的了解，準(zhǔn)備在全校范圍內(nèi)開展航天知識競賽．現(xiàn)打算從備選的四位同學(xué)中（兩名男生和兩名女生）隨機選取兩名同學(xué)來當(dāng)節(jié)目主持人，則選中一男一女的概率是．13．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，ED：EC＝2：3，若△DEF的面積是4，則△ABF的面積是．14．如圖，點D、E是△ABC邊BC、AC上的點，BD：CD＝2：5，連接AD、BE，交點為F，DF：AF＝1：4，那么的值是．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，連接BD，點M，N分別是邊BC，DC上的動點，連接MN，將△CMN沿MN折疊，使點C的對應(yīng)點P始終落在BD上，當(dāng)△PBM為直角三角形時，線段MC的長為．三.解答題（共8小題，共75分）16．解下列方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）．17．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的一個根是另一個根的3倍，求m的值．18．代數(shù)推理：例題：求x2+8x+21的最小值解：x2+8x+21＝x2+2x?4+42﹣42+21＝（x+4）2+5無論x取何值，（x+4）2總是非負數(shù)，即（x+4）2≥0所以（x+4）2+5≥5所以：當(dāng)x＝﹣4時，x2+8x+21有最小值，最小值為5閱讀材料：利用完全平方式，將多項式x2+bx+c變形為（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可以求出多項式x2+bx+c的最小值．根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）填空：x2﹣12x+＝（x﹣）2；（2）將多項式x2+16x﹣1變形為（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣1的最小值；（3）若一個長方形的長和寬分別為（2a+3）和（3a+5），面積記為S1，另一個長方形的長和寬分別為5a和（a+3），面積記為S2，試比較S1和S2的大小，并說明理由．19．鹽城著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”大洋灣景區(qū)在2021年五一小長假期間，共接待游客達5萬人次，在2023年五一小長假期間接待游客達7.2萬人次．（1）求大洋灣景區(qū)2021至2023年五一小長假期間接待游客人次的年平均增長率；（2）大洋灣景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價格每降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2023年五一小長假期間，店家決定進行降價促銷活動，則當(dāng)每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？20．某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個項目學(xué)習(xí)，測量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝57米，D、E之間有一個花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點B、D、E、G在同一水平線上．請你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計）21．如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF∥AE．（1）求證：四邊形BECF是菱形；（2）當(dāng)∠A＝°時，四邊形BECF是正方形；（3）在（2）的條件下，若AC＝4，則四邊形ABFC的面積為．22．如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB＝4cm，AC＝3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒．動點E到達點C時運動終止．連接DE、CD、AE．（1）當(dāng)動點運動時間t＝秒時，△BDE與△ABC相似．（2）在運動過程中，當(dāng)CD⊥DE時，t為何值？請說明理由．23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點M，N分別是AC，BC的中點，點P是直線MN上一點，連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，連接AQ，CQ．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖（1），當(dāng)點P與點M重合時，線段CQ與PN的數(shù)量關(guān)系是，∠ACQ＝．【探究證明】（2）當(dāng)點P在射線MN上運動時（不與點N重合），（1）中結(jié)論是否一定成立？請利用圖（2）中的情形給出證明．（3）連接PC，當(dāng)△PCQ是等邊三角形時，請直接寫出的的值．2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)楓楊外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．下列哪種影子不是中心投影（）A．月光下房屋的影子 B．晚上在房間內(nèi)墻上的手影 C．都市冤虹燈形成的影子 D．皮影戲中的影子【分析】由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影，由此即可判斷．解：晚上在房間內(nèi)墻上的手影，都市冤虹燈形成的影子，皮影戲中的影子，是中心投影，月光下下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．故選：A．【點評】本題考查中心投影，關(guān)鍵是掌握中心投影定義．2．關(guān)于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能確定【分析】先計算根的判別式的值，利用非負數(shù)的性質(zhì)得到Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．3．下列說法中錯誤的是（）A．相似多邊形的對應(yīng)邊成比例 B．相似多邊形的對應(yīng)角相等 C．相似多邊形的邊數(shù)相同 D．對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)和判定一一判斷即可．解：A、相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，正確，本選項不符合題意；B、相似多邊形的對應(yīng)角相等，正確，本選項不符合題意；C、相似多邊形的邊數(shù)相同，正確，本選項不符合題意；D、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形，錯誤，對應(yīng)角不一定相等，本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)以及判定方法．4．在一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球4個，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，那么可以估算出m的值為（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，根據(jù)紅球的個數(shù)除以總數(shù)等于頻率，求解即可．解：∵大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，∴任意摸出一個球，摸到紅球的概率為0.2，∴＝0.2，∴m＝20．故選：D．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，解答此題的關(guān)鍵是利用紅球的個數(shù)除以總數(shù)等于頻率．5．已知，則的值是（）A． B． C． D．【分析】直接利用已知表示出a，b，c的值，進而代入化簡得出答案．解：∵，∴設(shè)a＝2x，b＝3x，c＝5x，∴＝＝．故選：A．【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示各數(shù)是解題關(guān)鍵．6．如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形 B．當(dāng)∠BAO＝∠DAO時，四邊形ABCD是菱形 C．當(dāng)OA＝OB時，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)AB＝AC時，四邊形ABCD是菱形【分析】利用矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．解：A．∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故結(jié)論正確，但不符合題意；B．∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故結(jié)論正確，但不符合題意；C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝AC，BO＝BD，又∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故結(jié)論正確，但不符合題意；D．當(dāng)AB＝AC時，四邊形ABCD不一定是菱形，故結(jié)論錯誤，符合題意．故選：D．【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法，牢記判定方法是解答本題的關(guān)鍵．7．大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），如果AB的長度為10cm，那么BP的長度是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．解：∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，故選：B．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．8．如圖，將視力表中的兩個“E”放在平面直角坐標(biāo)系中，兩個“E”字是位似圖形，位似中心點O，①號“E”與②號“E”的相似比為2：1．點P與Q為一組對應(yīng)點，若點Q坐標(biāo)為（﹣2，3），則點P的坐標(biāo)為（）A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，將Q點的橫、縱坐標(biāo)乘以2，即可求解．解：∵①號“E”與②號“E”的相似比為2：1，點Q坐標(biāo)為（﹣2，3）∴點P的坐標(biāo)為（﹣2×2，3×2），即（﹣4，6），故選：D．【點評】此題考查了位似變換的性質(zhì)：如果兩個圖形位似，那么任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對應(yīng)邊都互相平行（或在一條直線上），熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B．D為圓心，大于BD的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點，作直線PQ，分別與AD、BC交于點M、N，連接BM、DN．若AB＝3，BC＝6，則四邊形MBND的周長為（）A．15 B．9 C． D．【分析】利用作圖過程可得PQ為BD的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明四邊形MBND為菱形，利用勾股定理求得BM，則結(jié)論可得．解：由作圖過程可得：PQ為BD的垂直平分線，∴BM＝MD，BN＝ND．設(shè)PQ與BD交于點O，如圖，則BO＝DO．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，在△MDO和△NBO中，，∴△MDO≌△NBO（AAS），∴DM＝BN，∴四邊形BNDM為平行四邊形，∵BM＝MD，∴四邊形MBND為菱形，∴四邊形MBND的周長＝4BM．設(shè)MB＝x，則MD＝BM＝x，∴AM＝AD﹣DM＝6﹣x，在Rt△ABM中，∵AB2+AM2＝BM2，∴32+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴四邊形MBND的周長＝4BM＝15．故選：A．【點評】本題主要考查了基本作圖，作線段的垂直平分線，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，判定四邊形MBND為菱形是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，，，，點P為邊BC上一動點，過點P分別作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，點F為AP中點，連接DF，則線段DF最小值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理是逆定理求出∠BAC＝90°，根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到DF＝AP，根據(jù)垂線段最短解答即可．解：∵AB＝2，AC＝，BC＝，∴AB2+AC2＝10，BC2＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴BC邊上的高為：＝，∵PD⊥AB，點F為AP中點，∴DF＝AP，當(dāng)AP最小時，DF最小，∵當(dāng)AP⊥BC時，AP最小，最小值為，∴DF的最小值為，故選：C．【點評】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、垂線段最短，根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形的面積公式求出BC邊上的高是解題的關(guān)鍵．二.填空題（共5小題，每題3分，共15分）11．關(guān)于x的方程（k﹣3）x|k﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，則k的值為k＝﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)．解：由關(guān)于x的方程（k﹣3）x|k﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，得|k﹣1|＝2且k﹣3≠0．解得k＝﹣1．故答案為：k＝﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．12．2023年10月31日神舟十六號載人航天飛船返回艙成功著陸，神舟十六號飛行乘組3位航天員平安落地，飛行任務(wù)取得圓滿成功．我校為了致敬中國英雄，致敬中國航天，加強學(xué)生對我國航天知識的了解，準(zhǔn)備在全校范圍內(nèi)開展航天知識競賽．現(xiàn)打算從備選的四位同學(xué)中（兩名男生和兩名女生）隨機選取兩名同學(xué)來當(dāng)節(jié)目主持人，則選中一男一女的概率是．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及選中一男一女的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．解：記兩名男同學(xué)分別為男1，男2，兩名女同學(xué)分別為女1，女2，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中選中一男一女的結(jié)果有：（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，男1），（女1，男2），（女2，男1），（女2，男2），共8種，∴選中一男一女的概率是．故答案為：．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．13．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，ED：EC＝2：3，若△DEF的面積是4，則△ABF的面積是25．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可證得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得答案．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝2：3，∴DE：CD＝DE：AB＝2：5，∵△DEF的面積是4，∴＝＝，∴S△DEF：S△ABF＝4：25，∴S△ABF＝25．故答案為：25．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．如圖，點D、E是△ABC邊BC、AC上的點，BD：CD＝2：5，連接AD、BE，交點為F，DF：AF＝1：4，那么的值是．【分析】過D作DG∥BE，交AC于G，依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得到BD：CD＝EG：GC，DF：AF＝EG：AE，進而可得的值．解：如圖所示，過D作DG∥BE，交AC于G，則BD：CD＝EG：GC＝2：5，即：，，∴DF：AF＝EG：AE＝1：4，即：AE＝4EG，∴．故答案為：．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，連接BD，點M，N分別是邊BC，DC上的動點，連接MN，將△CMN沿MN折疊，使點C的對應(yīng)點P始終落在BD上，當(dāng)△PBM為直角三角形時，線段MC的長為或．【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)∠PMB＝90°時，四邊形PMCN是正方形，設(shè)CM＝PM＝PN＝CN＝x．如圖2中，當(dāng)∠BPM＝90°時，點N與D重合，設(shè)MC＝MP＝y(tǒng)．分別求解即可．解：如圖1中，當(dāng)∠PMB＝90°時，四邊形PMCN是正方形，設(shè)CM＝PM＝PN＝CN＝x．∵PM∥CD，∴＝，∴＝，∴x＝，∴CM＝．如圖2中，當(dāng)∠BPM＝90°時，點N與D重合，設(shè)MC＝MP＝y(tǒng)．∵CD＝8，BC＝6，∠C＝90°，∴BD＝＝＝10，∵PD＝CD＝8，∴PB＝BD﹣PD＝10﹣8＝2，∵BM2＝PB2+PM2，∴（6﹣y）2＝22+y2，∴y＝，∴CM＝，綜上所述，CM的值為或．故答案為：或．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．三.解答題（共8小題，共75分）16．解下列方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）．【分析】（1）利用十字相乘法把方程左邊分解為（2x﹣1）（x﹣1）＝0求解即可；（2）先移項，然后利用提公因式法把方程因式分解解答即可．解：（1）2x2﹣3x+1＝0，因式分解得（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x1＝，x2＝1；（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1），移項得（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，因式分解第（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝4．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．17．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的一個根是另一個根的3倍，求m的值．【分析】（1）利用一元二次方程的根的判別式即可求解；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于m的方程即可求解．解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×[﹣m（m+4）]＝4（m2+4m+4）＝4（m+2）2≥0，∴該方程總有兩個實數(shù)根；（2）∵方程的一個根是另一個根的3倍，∴設(shè)方程的一個根為x，則另一個根為3x，∴根據(jù)韋達定理得：x+3x＝4，∴x＝1，∴x?3x＝﹣m（m+4）＝3，∴m＝﹣1或﹣3．【點評】此題主要考查了一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于m的方程解決問題．18．代數(shù)推理：例題：求x2+8x+21的最小值解：x2+8x+21＝x2+2x?4+42﹣42+21＝（x+4）2+5無論x取何值，（x+4）2總是非負數(shù)，即（x+4）2≥0所以（x+4）2+5≥5所以：當(dāng)x＝﹣4時，x2+8x+21有最小值，最小值為5閱讀材料：利用完全平方式，將多項式x2+bx+c變形為（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可以求出多項式x2+bx+c的最小值．根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）填空：x2﹣12x+36＝（x﹣6）2；（2）將多項式x2+16x﹣1變形為（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣1的最小值；（3）若一個長方形的長和寬分別為（2a+3）和（3a+5），面積記為S1，另一個長方形的長和寬分別為5a和（a+3），面積記為S2，試比較S1和S2的大小，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進行計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式對原式進行整理，根據(jù)完全平方公式的非負性求值即可；（3）根據(jù)S1﹣S2的值判斷即可．解：（1）由完全平方公式可得x2﹣12x+36＝（x﹣6）2，故答案為：36；6．（2）x2+16x﹣1＝x2+2x?8+82﹣82﹣1＝（x+8）2﹣65，無論x取何值，（x+8）2總是非負數(shù)，即（x+8）2≥0，∴（x+8）2﹣65≥﹣65，∴x2+16x﹣1的最小值為﹣65．（3）由題意得：，，∴＝a2+4a+15＝a2+2a?2+22﹣22+15＝（a+2）2+11，無論a取何值，（a+2）2總是非負數(shù)，即（a+2）2≥0，∴（a+2）2+11≥11，∴S1﹣S2的最小值為11，∴S1﹣S2＞0，∴S1＞S2．【點評】本題考查了完全平方公式，完全平方公式的非負性，解題的關(guān)鍵是配方求最小值：把式子化為a2+b的形式，當(dāng)a＝0時取得最小值為b．19．鹽城著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”大洋灣景區(qū)在2021年五一小長假期間，共接待游客達5萬人次，在2023年五一小長假期間接待游客達7.2萬人次．（1）求大洋灣景區(qū)2021至2023年五一小長假期間接待游客人次的年平均增長率；（2）大洋灣景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價格每降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2023年五一小長假期間，店家決定進行降價促銷活動，則當(dāng)每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？【分析】（1）設(shè)年平均增長率為x，由題意得關(guān)于x的一元二次方程，解方程并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可；（2）設(shè)每杯售價定為y元，由題意得關(guān)于y的一元二次方程，解方程并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可．解：（1）設(shè)年平均增長率為x，由題意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），答：大洋灣景區(qū)2021至2023年五一小長假期間接待游客人次的年平均增長率為20%；（2）設(shè)當(dāng)每杯售價定為y元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額，由題意得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，整理得：y2﹣41y+420＝0，解得：y1＝20，y2＝21，∵讓顧客獲得最大優(yōu)惠，∴y＝20．答：當(dāng)每杯售價定為20元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額．【點評】本題考查一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并正確地列出方程是解題的關(guān)鍵．20．某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個項目學(xué)習(xí)，測量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝57米，D、E之間有一個花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點B、D、E、G在同一水平線上．請你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計）【分析】先證明△CDE∽△FGE，求出DE的長，再證明△ABE∽△CDE即可求出答案．解：∵CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，∴∠CDE＝∠FGE＝90°，∵∠CED＝∠FEG，∴△CDE∽△FGE，∴，∵CD＝4，F(xiàn)G＝1.6，EG＝2.4，∴，解得：DE＝6，∵BD＝57，∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，∵AB⊥BG，CD⊥BG，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得：AB＝42，∴凌霄塔的高度AB為42米．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．21．如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF∥AE．（1）求證：四邊形BECF是菱形；（2）當(dāng)∠A＝45°時，四邊形BECF是正方形；（3）在（2）的條件下，若AC＝4，則四邊形ABFC的面積為12．【分析】（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE＝EC，BF＝FC，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷；（2）若四邊形BECF是正方形，則∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，則∠ACE＝45°，若∠A＝45°，則∠AEC＝90°，可得四邊形BECF是正方形；（3）根據(jù)梯形面積公式即可得到答案．【解答】（1）證明：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠FCB＝∠FBC，∵CF∥AE∴∠FCB＝∠CBE，∴∠FBC＝∠CBE，∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，∴△FDB≌△EDB（ASA），∴BF＝BE，∴BE＝EC＝FC＝BF，∴四邊形BECF是菱形；（2）解：當(dāng)∠A＝45°時，四邊形BECF是正方形，理由如下：若四邊形BECF是正方形，則∠ECB＝∠FCB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝45°，∵∠A＝45°，∴∠AEC＝90°，由（1）知四邊形BECF是菱形，∴四邊形BECF是正方形；故答案為：45；（3）解：由（2）知，四邊形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，∴四邊形ABFC的面積為＝12，故答案為：12．【點評】本題考查特殊平行四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握菱形、正方形的判定定理．22．如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB＝4cm，AC＝3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒．動點E到達點C時運動終止．連接DE、CD、AE．（1）當(dāng)動點運動時間t＝或秒時，△BDE與△ABC相似．（2）在運動過程中，當(dāng)CD⊥DE時，t為何值？請說明理由．【分析】設(shè)D點運動時間為t秒，則AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤t≤）；（1）分類：當(dāng)∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BAC；當(dāng)∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC時，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t的值；（2）先計算出DF＝AB﹣AD﹣BF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t．解：設(shè)D點運動時間為t秒，則AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤t≤），（1）當(dāng)∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴BD：BA＝BE：BC，即（4﹣t）：4＝2t：5，∴t＝；當(dāng)∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC時，Rt△BDE∽Rt△BCA，∴BD：BC＝BE：BA，即（4﹣t）：5＝2t：4，∴t＝；所以當(dāng)動點運動秒或秒時，△BDE與△ABC相似；故答案為：或；（2）當(dāng)CD⊥DE時，t＝秒．理由如下：如圖，過點E作EF⊥AB于F，DF＝AB﹣AD﹣BF＝4﹣t﹣＝4﹣t，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠∠ADC+∠EDF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠FDE，∵∠CAD＝∠DFE，