2023-2024學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題12個小題，每小題4分，共48分）1．（4分）下列各數(shù)中最大的是（）A．5 B．0 C．﹣2 D．2．（4分）若使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤23．（4分）以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．9，13，174．（4分）已知x＞y，則下列不等式成立的是（）A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣5．（4分）如圖，已知△ABC≌△AB'C'，且AC′∥BC，若∠BAC＝80°，∠C'＝68°，則∠B′AC的度數(shù)為（）A．32° B．20° C．15° D．12°6．（4分）估算（+2）×在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間7．（4分）下列說法正確的是（）A．9的平方根是3 B．任意實數(shù)都有立方根 C．三角形三條中線的交點到三角形三個頂點的距離相等 D．兩邊和一個角分別相等的兩個三角形全等8．（4分）2023年杭州亞運會期間，吉祥物瓊瓊、宸宸、蓮蓮因其靈動可愛的形象受到了大家的喜愛．為了提高銷量，某店家推出了吉祥物套裝禮盒，一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其他吉祥物的鑰匙扣．已知一個玩偶的進價為60元，一個鑰匙扣的進價為20元，該店家計劃用5000元購進一批玩偶和鑰匙扣，使得剛好配套，設(shè)購進x個玩偶，y個鑰匙扣，則下列方程組正確的是（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，有一條東西走向的隧道AB，小南從隧道的一端點A沿正南方向行走400m達到點C處，再向正東方向行走300m到達點D處，此時測得隧道另一端點B在點D的北偏東60°方向上，則隧道AB的長為（）A． B． C．500m D．800m10．（4分）按如圖所示的運算程序，能使輸出的結(jié)果為2的是（）A．x＝2，y＝2 B．，y＝﹣1 C．，y＝1 D．x＝﹣2，y＝﹣211．（4分）如圖，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為邊BC上一點，連接AD，AE＝AD且∠DAE＝90°，連接CE、BE，若，BD＝8，則CE的長為（）A．15 B． C．18 D．12．（4分）已知兩個二次根式，進行如下操作：令n＝1，將A加上B，結(jié)果記為，令n＝2，將A加上B，結(jié)果記為；令n＝3，將A加上B，結(jié)果記為，以此類推，下列說法正確的個數(shù)是（）①C1的最小值為0；②當(dāng)x＝1時，；③；④若，則有唯一解．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：（本題共10個小題，每小題3分，共30分）請將答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．13．計算：＝．14．若，那么代數(shù)式（2a﹣2b+6）4的值為．15．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，AC＝10，則S△ABC＝．16．如圖，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，則∠DBA＝．17．已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡＝．18．南開數(shù)學(xué)組于每年3月14日舉辦數(shù)學(xué)節(jié)“πDay”，計劃購進A、B兩款的魔方，每個A款魔方的價格是15元，每個B款魔方的價格是22元．若數(shù)學(xué)組計劃購進這兩款魔方共40個，其中B款魔方的數(shù)量不少于A款魔方的數(shù)量，學(xué)校最多能夠提供資金776元，則最少購買個A款魔方．19．關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．20．如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于點H，以AH為邊向左側(cè)作等邊△AHM，Q為線段AM上一動點，連接BQ，QH，則△QBH的周長最小值為．21．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點，連接AD，將△ABD沿AD折疊至△ABC所在平面內(nèi)，得到△ADE，AE與BC交于點F，連接CE，若AD∥CE，∠BAC＝∠AFC＝120°，，則AB的長為．22．有兩個三位數(shù)m＝100a+10b+c和n＝100d+10e+f（1≤a，b，c，d，e，f≤9），若m，n滿足F（m，n）＝為整數(shù)時，則稱m，n為最佳“搭檔數(shù)”，p＝467+110x，q＝200y+z+37（0≤x≤3，0＜y≤4，3＜z≤9），若p，q是最佳“搭檔數(shù)”，且q的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被12整除，則p＝．三、解答題（本大題共7個小題，23題16分，24題～26題每小題16分，27題～28題每小題16分，29題12分，共72分）23．（16分）計算：（1）；（2）解方程組：；（3）解方程組：．24．（8分）先化簡，再求值：，其中x＝﹣2，y＝1．25．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點，E為△ABC外一點，AB＝AE，連接AD，連接DE交AB于F，且AD平分∠CDE．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點A作DE的垂線，垂足為M；（不寫作法，不下結(jié)論，保留作圖痕跡）（2）求證：∠BDF＝∠EAF．請根據(jù)下列證明思路完成填空：證明：∵∠C＝90°，∴CA⊥CD．∵AD平分∠CDE，CA⊥CD，AM⊥DE，∴．∵AM⊥DE，∴∠AME＝∠C＝90°．在Rt△ABC和Rt△AEM中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEM（）．∴．∵∠BFE＝∠B+∠BDF，∠BFE＝∠E+∠EAF，∴∠B+∠BDF＝．∴∠BDF＝∠EAF．26．（8分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC∥AD且BC＝2AD，AE平分∠BAC，并與BD交于點F．（1）求證：△AFD≌△EFB；（2）若∠BAC＝60°且AB＝6，求AF的長．27．一年一度的NK校慶及運動會圓滿結(jié)束，為表彰在校慶及運動會中表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)，初二某班班委會分兩次購買了A、B兩種文創(chuàng)產(chǎn)品作為獎品，每次購進同一種獎品的單價相同，具體情況如下表所示：購進數(shù)量（件）所花費用（元）AB第一次1520520第二次2017616（1）求A、B兩種獎品的單價分別是多少元？（2）考慮到啦啦隊和后勤服務(wù)的同學(xué)也做出了很多貢獻，班委會計劃用不超過480元再購買一批獎品，要求三次一共購進A、B兩種獎品共100件，且第三次購進A獎品的數(shù)量不少于B獎品的數(shù)量，請問第三次有哪幾種購進方案？28．對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞．即：當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果，則＜x＞＝n，反之，當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則．例如：＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.67＞＝＜1.46＞＝1，＜3.5＞＝＜4.13＞＝4，＜2＞＝2．試解決下列問題：（1）填空：①＜π﹣1＞＝（π為圓周率）；②＝；（2）②如果＜x﹣1＞＝4，則實數(shù)x的取值范圍為；（3）若關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是；（4）求滿足的所有非負實數(shù)x的值，并寫出必要過程．29．（12分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC、點D為BC上一點，連接AD．（1）如圖1，若AB＝6，AD＝4，且∠ADC＝60°，求線段CD的長度；（2）如圖2，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，以AB為斜邊作等腰直角△ABG，過點G作GF∥BC交DA延長線于點F、且BE＝AF，求證：CD﹣BD＝AD；（3）如圖3，在（2）問的條件下，，∠CGH＝30°，過點G作GH⊥AD交BC于點H，點M為GH延長線上一動點，將線段MH繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)150°至MN，連接HN，過點C作CP⊥HN于點P，連接CM并延長交直線HN于點Q，當(dāng)CP﹣CM取得最大值時，直接寫出△CHQ的面積．2023-2024學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題12個小題，每小題4分，共48分）1．（4分）下列各數(shù)中最大的是（）A．5 B．0 C．﹣2 D．【分析】先進行大小比較再取最大的數(shù)即可．解：﹣2＜﹣＜0＜5，故最大的數(shù)是5．故選：A．【點評】本題考查實數(shù)大小比較和算術(shù)平方根，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵．2．（4分）若使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤2【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．解：∵二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故選：A．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（4分）以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．9，13，17【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．解：A、12+22≠32，故不是直角三角形，故此選項不合題意；B、22+32≠42，故不是直角三角形，故此選項不合題意；C、32+42＝52，故是直角三角形，故此選項符合題意；D、92+132＝172，故不是直角三角形，故此選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．4．（4分）已知x＞y，則下列不等式成立的是（）A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．解：A、∵x＞y，∴﹣2x＜﹣2y，故本選項不符合題意；B、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴6﹣x＜6﹣y，故本選項不符合題意；C、∵x＞y，∴3x＞3y，故本選項符合題意；D、∵x＞y，∴﹣＜﹣，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．5．（4分）如圖，已知△ABC≌△AB'C'，且AC′∥BC，若∠BAC＝80°，∠C'＝68°，則∠B′AC的度數(shù)為（）A．32° B．20° C．15° D．12°【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠B′AC′＝80°，∠C＝∠C'＝68°，再利用平行線的性質(zhì)得到∠CAC′＝∠C＝68°，然后計算∠B'AC′﹣∠CAC′即可．解：∵△ABC≌△AB'C'，∴∠BAC＝∠B′AC′＝80°，∠C＝∠C'＝68°，∵AC′∥BC，∴∠CAC′＝∠C＝68°，∴∠B′AC＝∠B'AC′﹣∠CAC′＝80°﹣68°＝12°．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等．也考查了平行線的性質(zhì)．6．（4分）估算（+2）×在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【分析】先將原式計算后再進行估算即可．解：原式＝+2，∵16＜18＜25，∴4＜＜5，則6＜+2＜7，即原式的值在6和7之間，故選：C．【點評】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算無理數(shù)大小的方法是解題的關(guān)鍵．7．（4分）下列說法正確的是（）A．9的平方根是3 B．任意實數(shù)都有立方根 C．三角形三條中線的交點到三角形三個頂點的距離相等 D．兩邊和一個角分別相等的兩個三角形全等【分析】根據(jù)平方根的定義對A選項進行判斷；根據(jù)立方根的定義對B選項進行判斷；根據(jù)三角形的外心的性質(zhì)對C選項進行判斷；根據(jù)全等三角形的判定方法對D選項進行判斷．解：A．9的平方根為±3，所以A選項不符合題意；B．任意實數(shù)都有立方根，所以B選項符合題意；C．三角形三邊的中垂線的交點到三角形三個頂點的距離相等，所以C選項不符合題意；D．兩邊和它們所夾的角分別相等的兩個三角形全等，所以D選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．也考查了平方根、立方根和線段垂直平分線的性質(zhì)．8．（4分）2023年杭州亞運會期間，吉祥物瓊瓊、宸宸、蓮蓮因其靈動可愛的形象受到了大家的喜愛．為了提高銷量，某店家推出了吉祥物套裝禮盒，一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其他吉祥物的鑰匙扣．已知一個玩偶的進價為60元，一個鑰匙扣的進價為20元，該店家計劃用5000元購進一批玩偶和鑰匙扣，使得剛好配套，設(shè)購進x個玩偶，y個鑰匙扣，則下列方程組正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合購進玩偶和鑰匙扣數(shù)量間的關(guān)系，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．解：∵一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其他吉祥物的鑰匙扣，∴購進鑰匙扣的數(shù)量是購進宸宸玩偶數(shù)量的2倍，∴2x＝y(tǒng)；∵一個玩偶的進價為60元，一個鑰匙扣的進價為20元，且店家共花費5000元，∴60x+20y＝5000．∴根據(jù)題意可列出方程組．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖，有一條東西走向的隧道AB，小南從隧道的一端點A沿正南方向行走400m達到點C處，再向正東方向行走300m到達點D處，此時測得隧道另一端點B在點D的北偏東60°方向上，則隧道AB的長為（）A． B． C．500m D．800m【分析】過點D作DE⊥AB于點E，由題意可得AE，DE，在Rt△BDE中，求出BE，即可求出AB．解：過點D作DE⊥AB于點E，由題意可知，四邊形ACDE是矩形，AE＝CD＝300m，DE＝AC＝400m，在Rt△BDE中，∵∠BDE＝60°，∴∠DBE＝30°，∴BD＝2DE＝800m，由勾股定理，得BE＝＝＝（m），∴AB＝AE+BE＝（m），∴隧道AB的長為（）m．故選：B．【點評】本題考查勾股定理，含30°角直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（4分）按如圖所示的運算程序，能使輸出的結(jié)果為2的是（）A．x＝2，y＝2 B．，y＝﹣1 C．，y＝1 D．x＝﹣2，y＝﹣2【分析】根據(jù)選項中x，y的值，選擇對應(yīng)的代數(shù)式，并將x，y的值代入代數(shù)式進行求值即可得出結(jié)果．解：對于選項A，當(dāng)輸入x＝2，y＝2時，由于x＝y(tǒng)，則輸出的結(jié)果為：x2+y＝22+2＝6；對于選項B，當(dāng)輸入x＝，y＝﹣1時，由于x＞y，則輸出的結(jié)果為：x2﹣y＝（）2﹣（﹣1）＝6；對于選項C，當(dāng)輸入x＝﹣，y＝1時，由于x＜y，則輸出的結(jié)果為：x2+y＝（﹣）2+1＝6，對于選項D，當(dāng)輸入x＝﹣2，y＝﹣2時，由于x＝y(tǒng)，則輸出的結(jié)果為：x2+y＝（﹣2）2+（﹣2）＝2．故選：D．【點評】此題主要考查了求代數(shù)式的值，理解題意，根據(jù)輸入的x，y的值選擇對應(yīng)的代數(shù)式是解決問題的關(guān)鍵．11．（4分）如圖，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為邊BC上一點，連接AD，AE＝AD且∠DAE＝90°，連接CE、BE，若，BD＝8，則CE的長為（）A．15 B． C．18 D．【分析】連接DE，利用SAS證明△ABE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，進而推出∠EBD＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出DE＝AD＝10，BE＝6＝CD，再根據(jù)勾股定理求解即可．解：連接DE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∠ABC+∠ACD＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，∴∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ABC+∠ACD＝90°，∵AE＝AD且∠DAE＝90°，AD＝5，∴DE＝AD＝10，∵BD＝8，∴BE＝＝6＝CD，∴BC＝BD+CD＝14，∴CE＝＝2，故選：B．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明△ABE≌△ACD是解題的關(guān)鍵．12．（4分）已知兩個二次根式，進行如下操作：令n＝1，將A加上B，結(jié)果記為，令n＝2，將A加上B，結(jié)果記為；令n＝3，將A加上B，結(jié)果記為，以此類推，下列說法正確的個數(shù)是（）①C1的最小值為0；②當(dāng)x＝1時，；③；④若，則有唯一解．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①利用二次根式的性質(zhì)和非負數(shù)的性質(zhì)可得＝+≥+，即可判斷①；②由題意得：C1+C3+C5+…+C2021﹣（C2+C4+C6+…+C2022）＝++++++…++﹣（++++++…++）＝﹣45，即可判斷②；③運用分式的運算法則即可判斷③；④運用分式的運算法則和乘法公式即可判斷④．解：①＝+≥+，∴結(jié)論①錯誤；②當(dāng)x＝1時，C1＝+，C2＝+，C3＝+，C4＝+，……C2021＝+，C2022＝+，∴C1+C3+C5+…+C2021﹣（C2+C4+C6+…+C2022）＝++++++…++﹣（++++++…++）＝﹣＝﹣45，∴結(jié)論②正確；③∵+++…+＝+++…+＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣，∴結(jié)論③正確；④∵，∴（+）2+＝4x2+29，∴（+）2+（﹣）2＝4x2+29，∴4x+26＝29，∴x＝，∴結(jié)論④正確．故選：C．【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，分式加減運算，完全平方公式等，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、分式的運算法則、找到運算結(jié)果的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題：（本題共10個小題，每小題3分，共30分）請將答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．13．計算：＝4．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念去解即可．算術(shù)平方根的定義：一個非負數(shù)的正的平方根，即為這個數(shù)的算術(shù)平方根，由此即可求出結(jié)果．解：∵42＝16，∴＝4，故答案為4．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，算術(shù)平方根的概念易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯誤．14．若，那么代數(shù)式（2a﹣2b+6）4的值為64．【分析】首先將已知條件a﹣b+3＝轉(zhuǎn)化為2a﹣2b＝2﹣6，然后整體代入代數(shù)式進行計算即可得出答案．解：∵a﹣b+3＝，∴a﹣b＝﹣3，∴2a﹣2b＝2﹣6，∴（2a﹣2b+6）4＝（2﹣6+6）4＝（2）4＝64．故答案為：64．【點評】此題主要考查了求代數(shù)式的值，熟練掌握求代數(shù)式值的方法于技巧，理解整體思想在解決問題中的應(yīng)用是關(guān)鍵．15．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，AC＝10，則S△ABC＝24．【分析】由勾股定理可求得BC的長度，再由三角形的面積公式即可求解．解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，AC＝10，∴BC＝，∴S△ABC＝．故答案為：24．【點評】本題主要考查三角形的面積，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的面積公式．16．如圖，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，則∠DBA＝45°．【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理即可解答．解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，∴∠ABC＝45°，BC＝4，∵BD＝7，DC＝9，∴BD2+BC2＝49+32＝81＝92＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°，∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝45°，故答案為：45°．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．17．已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡＝﹣a﹣b．．【分析】先根據(jù)數(shù)軸析a，b，c之間的大小關(guān)系，再進行化簡．解：由數(shù)軸可知，a＜b＜0＜c，a﹣c＜0，b+c＜0，則原式＝c﹣a+[﹣（b+c）]＝c﹣a+（﹣b﹣c）＝c﹣a﹣b﹣c＝﹣a﹣b．故答案為：﹣a﹣b．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，能夠根據(jù)數(shù)軸分析a，b，c之間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．南開數(shù)學(xué)組于每年3月14日舉辦數(shù)學(xué)節(jié)“πDay”，計劃購進A、B兩款的魔方，每個A款魔方的價格是15元，每個B款魔方的價格是22元．若數(shù)學(xué)組計劃購進這兩款魔方共40個，其中B款魔方的數(shù)量不少于A款魔方的數(shù)量，學(xué)校最多能夠提供資金776元，則最少購買15個A款魔方．【分析】設(shè)購進x個A款魔方，則購進（40﹣x）個B款魔方，根據(jù)“購進B款魔方的數(shù)量不少于A款魔方的數(shù)量，且學(xué)校最多能夠提供資金776元”，可列出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之可得出x的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值，即可得出結(jié)論．解：設(shè)購進x個A款魔方，則購進（40﹣x）個B款魔方，根據(jù)題意得：，解得：≤x≤20，又∵x為正整數(shù)，∴x的最小值為15，∴最少購買15個A款魔方．故答案為：15．【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．19．關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為11．【分析】解方程組求出x，y，根據(jù)方程組的解為正整數(shù)，求出整數(shù)a的值．解：方程組得，，∵方程組的解為正整數(shù)，∴a＝﹣3時，，a＝﹣2時，，a＝0時，，a＝4時，，a＝12時，，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為﹣3﹣2+0+4+12＝11．故答案為：11．【點評】本題主要考查解一元一次不等式組和二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程組和一元一次不等式組的能力，并結(jié)合題意得出整數(shù)a的值．20．如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于點H，以AH為邊向左側(cè)作等邊△AHM，Q為線段AM上一動點，連接BQ，QH，則△QBH的周長最小值為．【分析】連接BM，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AM＝AH，∠MAH＝60°，∠BAH＝，求得BM＝BH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AMB＝∠AHB＝90°，延長BM到N，使MN＝BM，得到點B與N關(guān)于AM對稱，連接NH交AM于Q，則BQ+QH＝NQ+QH＝NH的值最小，即此時△△QBH的周長最小，過N作ND⊥CB交CB的延長線于D，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：連接BM，∵△AMH是等邊三角形，∴AM＝AH，∠MAH＝60°，∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，∴∠BAH＝，∴∠MAB＝∠HAB＝30°，∴AB垂直平分MH，∴BM＝BH，在△AMB與△AHB中，，∴△AMB≌△AHB（SSS），∴∠AMB＝∠AHB＝90°，∴BM⊥AM，延長BM到N，使MN＝BM，∴點B與N關(guān)于AM對稱，連接NH交AM于Q，則BQ+QH＝NQ+QH＝NH的值最小，即此時△△QBH的周長最小，∵BM⊥AM，MN＝BM，∴AN＝AB，∠NAM＝∠BAM＝60°，∴△ABN是等邊三角形，∴BN＝AB＝2，過N作ND⊥CB交CB的延長線于D，∴∠NDB＝90°，∵∠ABC＝∠ABN＝60°，∴∠DBN＝60°，∴BD＝，DN＝BN＝，∴NH＝＝＝，∴△QBH的周長最小值＝+1，故答案為：+1．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路徑問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點，連接AD，將△ABD沿AD折疊至△ABC所在平面內(nèi)，得到△ADE，AE與BC交于點F，連接CE，若AD∥CE，∠BAC＝∠AFC＝120°，，則AB的長為．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝∠AEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CE，DE＝AC，得到BD＝AC＝2，求得BC＝4，過B作BH⊥AC交CA的延長線于H，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：∵將△ABD沿AD折疊至△ABC所在平面內(nèi)，得到△ADE，∴∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，∵AD∥CE，∴∠DAE＝∠AEC，∴∠BAD＝∠AEC，∵∠BAC＝∠AFC＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣∠ACB，∠CAF＝180°﹣120°﹣∠ACF，∴∠ABC＝∠CAF，在△ABD與△EAC中，，∴△ABD≌△EAC（ASA），∴AD＝CE，DE＝AC，∴BD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD，∠DEC＝∠AED+∠CEF，∴∠ADC＝∠DEC，∵AD∥CE，∴∠ADC＝∠DCE，∴∠DCE＝∠DEC，∴CD＝DE＝2，∴BC＝4，過B作BH⊥AC交CA的延長線于H，∴∠BAH＝60°，∴∠ABH＝30°，設(shè)AH＝x，則AB＝2x，∴BH＝＝x，∵BH2+CH2＝BC2，∴（x）2+（x+2）2＝（4）2，解得x＝（負值舍去），∴AB＝，故答案為：．【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題）全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．有兩個三位數(shù)m＝100a+10b+c和n＝100d+10e+f（1≤a，b，c，d，e，f≤9），若m，n滿足F（m，n）＝為整數(shù)時，則稱m，n為最佳“搭檔數(shù)”，p＝467+110x，q＝200y+z+37（0≤x≤3，0＜y≤4，3＜z≤9），若p，q是最佳“搭檔數(shù)”，且q的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被12整除，則p＝467或687．．【分析】先根據(jù)q的數(shù)字之和能被12整除，求出y和z的值，然后將p和q根據(jù)位值原則改寫，根據(jù)“搭檔數(shù)”的定義列出代數(shù)式，根據(jù)不定方程整數(shù)解的求法進行求解即可．解：根據(jù)q的各個數(shù)位上的數(shù)字和能被12整除，可得：2y+3+7+z＝2y+z+10能被12整除，∵0＜y≤4，3＜z≤9，∴3＜2y+z≤17，∴2y+z＝14，∴5≤2y≤10，∴y＝3或4，z＝8或6，根據(jù)位值原則：p＝100（4+x）+10（6+x）+7，當(dāng)y＝3，z＝8時，q＝645，根據(jù)“搭檔數(shù)”定義可得：＝＝1+為整數(shù)，∴x＝0或2或3，當(dāng)y＝4，z＝6時，q＝843，根據(jù)“搭檔數(shù)”定義可得：＝＝1+為整數(shù)，∴x＝0或2，綜上所述，x＝0或2，∴p＝467或687．故答案為：467或687．【點評】本題主要考查了不定方程整數(shù)解的求法，根據(jù)位值原則正確改寫p和q是本題解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7個小題，23題16分，24題～26題每小題16分，27題～28題每小題16分，29題12分，共72分）23．（16分）計算：（1）；（2）解方程組：；（3）解方程組：．【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，算術(shù)平方根以及絕對值的定義進行計算即可；（2）利用代入消元法，先將原方程組中的方程①變形為x＝y(tǒng)+2，再代入方程②求出y的值，再代入求出相應(yīng)的x的值即可；（3）利用加減消元法，將原方程組中的方程②×2得到4x+6y＝12，再與方程①相減即可求出x的值，代入求出相應(yīng)的y的值即可．解：（1）原式＝1+4+﹣1＝4+；（2），由①得，x＝y(tǒng)+2③，③代入②得，2（y+2）+3y＝9，解得，y＝1，把y＝1代入③得，x＝1+2＝3，所以原方程組的解為；（3）原方程組可變?yōu)?，②?得，4x+6y＝12③，①﹣③得，x＝0，把x＝0代入②得，3y＝6，解得，y＝2，所以原方程組的解為．【點評】本題考查零指數(shù)冪，算術(shù)平方根、絕對值以及解二元一次方程組，掌握零指數(shù)冪，算術(shù)平方根、絕對值的定義以及二元一次方程組的解法是正確解答的關(guān)鍵．24．（8分）先化簡，再求值：，其中x＝﹣2，y＝1．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、單項式乘多項式的運算法則以及合并同類項、多項式除以單項式的運算法則把原式化簡，把x、y的值代入計算，得到答案．解：原式＝[（4x2﹣2xy+y2﹣（4x2﹣y2）+（x2y2﹣y2）]÷x＝（4x2﹣2xy+y2﹣4x2+y2+x2y2﹣y2）÷x＝（﹣2xy+x2y2）÷x＝﹣2y+xy2，當(dāng)x＝﹣2，y＝1時，原式＝﹣2×1+（﹣2）×12＝﹣4．【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．25．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點，E為△ABC外一點，AB＝AE，連接AD，連接DE交AB于F，且AD平分∠CDE．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點A作DE的垂線，垂足為M；（不寫作法，不下結(jié)論，保留作圖痕跡）（2）求證：∠BDF＝∠EAF．請根據(jù)下列證明思路完成填空：證明：∵∠C＝90°，∴CA⊥CD．∵AD平分∠CDE，CA⊥CD，AM⊥DE，∴AC＝AM．∵AM⊥DE，∴∠AME＝∠C＝90°．在Rt△ABC和Rt△AEM中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEM（HL）．∴∠B＝∠E．∵∠BFE＝∠B+∠BDF，∠BFE＝∠E+∠EAF，∴∠B+∠BDF＝∠E+∠EAF．∴∠BDF＝∠EAF．【分析】（1）按基本作圖“過一點作已知直線的垂線”作出圖形即可；（2）由∠C＝90°，得CA⊥CD，而AM⊥DE，由角平分線的性質(zhì)得AC＝AM，即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△ABC≌Rt△AEM，得∠B＝∠E，因為∠BFE＝∠B+∠BDF＝∠E+∠EAF，所以∠BDF＝∠EAF，于是得到問題的答案．解：（1）作法：1．以點A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，交DE于點G、點H；2．分別以點G、點H為圓心，以大于GH的長為半徑作弧，兩弧交于點I；3．作射線AI交DE于點M，射線AM就是所求的圖形．（2）證明：∵∠C＝90°，∴CA⊥CD，∵AD平分∠CDE，CA⊥CD，AM⊥DE，∴AC＝AM，∵AM⊥DE，∴∠AME＝∠C＝90°，在Rt△ABC和Rt△AEM中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEM（HL），∴∠B＝∠E，∵∠BFE＝∠B+∠BDF，∠BFE＝∠E+∠EAF，∴∠B+∠BDF＝∠E+∠EAF，∴∠BDF＝∠EAF，故答案為：AC＝AM，HL，∠B＝∠E，∠E+∠EAF．【點評】此題重點考查尺規(guī)作圖、過一點作已知直線的垂線、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出圖形并且證明Rt△ABC≌Rt△AEM是解題的關(guān)鍵．26．（8分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC∥AD且BC＝2AD，AE平分∠BAC，并與BD交于點F．（1）求證：△AFD≌△EFB；（2）若∠BAC＝60°且AB＝6，求AF的長．【分析】（1）由AB＝AC，AE平分∠BAC，得EB＝EC＝BC，由BC∥AD且BC＝2AD，得∠D＝∠EBF，AD＝BC，則AD＝EB，而∠AFD＝∠EFB，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”證明△AFD≌△EFB；（2）由AB＝AC，∠BAC＝60°，證明△ABC是等邊三角形，則BC＝AB＝6，所以EB＝EC＝BC＝3，因為AE⊥BC，所以∠AEB＝90°，根據(jù)勾股定理得AE＝＝3，則AF＝EF＝AE＝．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴EB＝EC＝BC，∵BC∥AD且BC＝2AD，∴∠D＝∠EBF，AD＝BC，∴AD＝EB，在△AFD和△EFB中，，∴△AFD≌△EFB（AAS）．（2）解：AB＝AC，∠BAC＝60°且AB＝6，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝6，∴EB＝EC＝BC＝3，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝3，∵△AFD≌△EFB，∴AF＝EF＝AE＝×3＝，∴AF的長是．【點評】此題重點考查等腰三角形的“三線合一”、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明AD＝EB及△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．27．一年一度的NK校慶及運動會圓滿結(jié)束，為表彰在校慶及運動會中表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)，初二某班班委會分兩次購買了A、B兩種文創(chuàng)產(chǎn)品作為獎品，每次購進同一種獎品的單價相同，具體情況如下表所示：購進數(shù)量（件）所花費用（元）AB第一次1520520第二次2017616（1）求A、B兩種獎品的單價分別是多少元？（2）考慮到啦啦隊和后勤服務(wù)的同學(xué)也做出了很多貢獻，班委會計劃用不超過480元再購買一批獎品，要求三次一共購進A、B兩種獎品共100件，且第三次購進A獎品的數(shù)量不少于B獎品的數(shù)量，請問第三次有哪幾種購進方案？【分析】（1）設(shè)A種獎品的單價是x元，B種獎品的單價是y元，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合前兩次購進兩種獎品的數(shù)量及所花費用，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)第三次購進m件A種獎品，則購進（28﹣m）件B種獎品，根據(jù)“第三次購進A獎品的數(shù)量不少于B獎品的數(shù)量，且所花費用不超過480元”，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出各購進方案．解：（1）設(shè)A種獎品的單價是x元，B種獎品的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種獎品的單價是24元，B種獎品的單價是8元；（2）設(shè)第三次購進m件A種獎品，則購進100﹣15﹣20﹣20﹣17﹣m＝（28﹣m）件B種獎品，根據(jù)題意得：，解得：14≤m≤16，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為14，15，16，∴第三次有3種購進方案，方案1：購進14件A種獎品，14件B種獎品；方案2：購進15件A種獎品，13件B種獎品；方案3：購進16件A種獎品，12件B種獎品．【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．28．對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞．即：當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果，則＜x＞＝n，反之，當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則．例如：＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.67＞＝＜1.46＞＝1，＜3.5＞＝＜4.13＞＝4，＜2＞＝2．試解決下列問題：（1）填空：①＜π﹣1＞＝2（π為圓周率）；②＝4；（2）②如果＜x﹣1＞＝4，則實數(shù)x的取值范圍為4.5≤x＜5.5；（3）若關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是1.5≤a＜2.5；（4）求滿足的所有非負實數(shù)x的值，并寫出必要過程．【分析】（1）①利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出＜π﹣1＞的值；②先估算，然后利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出＜＞的值；（2）利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出x的取值范圍；（3）首先將＜a＞看作一個字母，解不等式組進而根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)得出a的取值范圍；（4）根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可得到結(jié)論．解：（1）①由題意可得：＜π﹣1＞＝2；②∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∵3.52＝12.25＜15，∴3.5＜＜4，∴＝4；故答案為：①2；②4；（2）∵＜x﹣1＞＝4，∴3.5≤x﹣1＜4.5，∴4.5≤x＜5.5；故答案為：4.5≤x＜5.5；（3）解不等式組得：﹣1≤x＜＜a＞，由不等式組整數(shù)解恰有3個得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5；故答案為：1.5≤a＜2.5；（4）∵x≥0，x+1為整數(shù)，設(shè)x+1＝k，k為整數(shù)，則x＝，∴＜＞＝k，∴k﹣≤＜k+，k≥0，∴≤k＜，∴k＝2，3，則x＝，．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基