2023-2024學(xué)年江蘇省連云港市高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省連云港市高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)模擬試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．2．歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．已知實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪，則（

）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，若，則公比（

）A．3 B． C．2 D．4．已知向量，線段的中點(diǎn)為，且，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．三棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值是（

）A． B．C． D．7．已知三角形中，，角的平分線交于點(diǎn)，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．比較，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)但不全得3分，有錯(cuò)選的得0分．9．已知實(shí)數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．已知10個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，若，則（

）A．剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變B．C．剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)D．11．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．函數(shù)的值域?yàn)镈．方程最多有8個(gè)根，且這些根之和為12．已知橢圓：的中心為，，是上的兩個(gè)不同的點(diǎn)且滿足，則（

）A．點(diǎn)在直線上投影的軌跡為圓B．的平分線交于點(diǎn)，的最小值為C．面積的最小值為D．中，邊上中線長(zhǎng)的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，則．14．若，則．15．已知四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上．若該球的體積為，則該四棱錐體積的最大值是．16．已知函數(shù)，在處取到極小值，則實(shí)數(shù)．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若是上的一點(diǎn)，且，求的最小值．19．某單位組織知識(shí)競(jìng)賽，有甲、乙兩類問題．現(xiàn)有、、三位員工參加比賽，比賽規(guī)則為：先從甲類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該員工比賽結(jié)束；若回答正確再?gòu)囊翌悊栴}中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該員工比賽結(jié)束．每人兩次回答問題的過程相互獨(dú)立．三人回答問題也相互獨(dú)立．甲類問題中每個(gè)問題回答正確得分，否則得分；乙類問題中每個(gè)問題回答正確得分，否則得分．已知員工能正確回答甲類問題的概率為，能正確回答乙類問題的概率為；員工能正確回答甲類問題的概率為，能正確回答乙類問題的概率為；員工能正確回答甲類問題的概率為，能正確回答乙類問題的概率為．(1)求人得分之和為分的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量為人中得分為的人數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．20．已知四棱錐中，底面是矩形，，，是的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)若，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求．21．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為是橢圓的中心，點(diǎn)為其上的一點(diǎn)滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若在上存在一點(diǎn)，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求的范圍．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．1．B【分析】根據(jù)分式不等式的解法、交集的定義求解即可.【詳解】，則，即，，解得，故，又，故.故選：B2．B【分析】由已知得出，然后指數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：B.3．B【分析】利用等比數(shù)列片斷和的性質(zhì)，構(gòu)造新的等比數(shù)列求解即可.【詳解】由題意可知，公比.由是等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，且公比為，已知，則，即，當(dāng)時(shí)，兩邊同除以得，，解得，（舍），或，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由，解得，由已知，舍去.故選：B.4．A【分析】用平面向量基底表示，找到的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)，則，由，得，又已知，且，則有，故.故選：A.5．C【分析】由函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在上存在對(duì)稱軸，求出對(duì)稱軸方程，建立不等式組求解即可.【詳解】已知，令，解得則函數(shù)對(duì)稱軸方程為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，，解得，又由，且，得，故僅當(dāng)時(shí)，滿足題意.故選：C.6．A【分析】取中點(diǎn)，連接，證得面，作于得面，由等積法求出點(diǎn)到平面的距離，則為直線與平面所成角的正弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，≌，，，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，面，面，作于，面，面，面，在中，由余弦定理得，，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，即，解得，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.7．C【分析】先根據(jù)正弦定理可得，再建立平面直角坐標(biāo)系求解的軌跡方程，進(jìn)而可得面積的最大值.【詳解】在中，在中，故，，因?yàn)?，故，又角的平分線交于點(diǎn)，則，故.故.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?，，故，，設(shè)，則，即，故，化簡(jiǎn)可得，即，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.故當(dāng)縱坐標(biāo)最大，即時(shí)面積取最大值為.

故選：C8．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，，其中，，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析各函數(shù)的單調(diào)性，由的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，由的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，由的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，所以，，令，其中，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即，令，其中，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，則，所以，，綜上所述，.故選：D.9．ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)可得，再代入推導(dǎo)即可；對(duì)B，由推導(dǎo)即可；對(duì)C，舉反例判斷即可；對(duì)D，根據(jù)代入化簡(jiǎn)即可判斷.【詳解】對(duì)A，根據(jù)可得，故即，即.因?yàn)楹愠闪?，故成立，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，故，故成立；?duì)C，當(dāng)時(shí)，滿足且，但不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，，因?yàn)?，故，故D正確.故選：ABD10．ABD【分析】設(shè)10個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、下四分衛(wèi)數(shù)與方差的定義與公式推導(dǎo)即可.【詳解】設(shè)10個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)為.對(duì)A：原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)為，故A正確；對(duì)B，由題意，，.因?yàn)?，故，即，故，故，?故B正確；對(duì)C，因?yàn)椋适Ｏ?個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，又，故原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，又，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，故，?故，，故，故D正確.故選：ABD11．BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性作出圖象即可解決問題.【詳解】，，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱.，是周期函數(shù)，周期.又且，，即圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故直線都是的對(duì)稱軸.當(dāng)時(shí)，，則，令，則可看成由與復(fù)合而成的函數(shù)，單調(diào)遞增，當(dāng)，則，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；當(dāng)，則，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減；且.結(jié)合以上性質(zhì)，作出函數(shù)的大致圖象.GGB選項(xiàng)A，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，由函?shù)周期，函數(shù)的值域?yàn)?，故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，如圖可知，方程最多有8個(gè)根，設(shè)為，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，即這些根之和為，故D項(xiàng)正確.GGB故選：BCD.12．ABC【分析】根據(jù)斜率是否存在分類設(shè)直線方程，利用，可求得點(diǎn)到直線的距離為定值，即可判斷A；根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，的平分線及邊上中線最小值都為點(diǎn)到直線的距離可判斷BD；C選項(xiàng)可有射影定理和基本不等式求出的最小值，進(jìn)而得到面積的最小值.【詳解】AI選項(xiàng)A：如圖，作于，則點(diǎn)在直線上投影為點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線為，因，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知若在第一象限，則，代入得，得，故直線方程為，此時(shí)為直線與軸的交點(diǎn)，，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)直線方程為，也符合題意，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，因，故，即，化簡(jiǎn)得，即，得，即點(diǎn)到直線的距離，則，綜上可知為定值，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心以為半徑的圓，故A正確；選項(xiàng)B：由A選項(xiàng)知點(diǎn)到直線的最小距離為，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，即為，故的最小值為，故B正確；選項(xiàng)C：根據(jù)射影定理，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，中，邊上中線即為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC13．##【分析】知切求弦，轉(zhuǎn)化為齊次比形式再變形為切代入求解即可.【詳解】.故答案為.14．【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式公式分別計(jì)算即可.【詳解】由題意，中含的項(xiàng)為；含的項(xiàng)為；含的項(xiàng)為；含的項(xiàng)為；含的項(xiàng)為；故.故15．##【分析】根據(jù)球的體積求出半徑，再判斷出體積最大時(shí)為正四棱錐，根據(jù)直角三角形中勾股定理求出正四棱錐底面邊長(zhǎng)和高的關(guān)系，表示出正四棱錐的體積，通過導(dǎo)數(shù)求得其最大值.【詳解】球的體積,球的半徑要使該四棱錐體積最大，如圖四棱錐，對(duì)于底面所在的小圓中，頂點(diǎn)到該小圓面距離最大，也就是高最大，即點(diǎn)位于小圓圓心與球心所在直線與球面的交點(diǎn)（遠(yuǎn)離小圓圓心的那點(diǎn)）；同時(shí)要使四棱錐體積最大，底面四邊形面積取最大，（其中為與的夾角）所以當(dāng)、取最大即小圓的直徑，取最大為1時(shí)，即時(shí)，底面四邊形面積最大，也就是四邊形為正方形時(shí)，其面積最大，因此當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大.

設(shè)，高，則,在Rt中，,即，所以正四棱錐的體積，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，函數(shù)取得最大值故答案為.16．1【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求函數(shù)的多階導(dǎo)數(shù)，并分析求得的取值.【詳解】，由題意可知，，設(shè)，，，設(shè)，，，若，則存在，使，則，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，所以，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，那么，，函數(shù)單調(diào)遞增，在處不能取到極小值，故不成立，若，則存在，使，則，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，又，所以，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，即，那么，，函數(shù)單調(diào)遞減，在處不能取到極小值，故不成立，所以，即.故1思路點(diǎn)睛：本題表面是一道普通的根據(jù)極小值點(diǎn)求參數(shù)的取值問題，實(shí)際得需要求多階導(dǎo)數(shù)，再分析出的取值.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可得，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)可得，再累加求和即可.【詳解】（1），又（2）18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)角度關(guān)系分析即可；（2）根據(jù)平面向量基本定理可得，再兩邊平方可得，結(jié)合余弦定理可得，再令，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值求解即可.【詳解】（1），又，則或，若，則；若，則，又，不符合題意，舍去，綜上所述.（2）①，又②，①÷②得：令，又，，令令，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故，同理當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)最小，最小值為19．(1)(2)【分析】（1）列舉出人得分之和為分的各種情況，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）計(jì)算出人各自得分為的概率，可知，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求出的值.【詳解】（1）解：設(shè)事件為員工答對(duì)甲類問題；設(shè)事件為員工答對(duì)乙類問題；設(shè)事件為員工答對(duì)甲類問題；設(shè)事件為員工答對(duì)乙類問題；設(shè)事件為員工答對(duì)甲類問題；設(shè)事件為員工答對(duì)乙類問題；三人得分之和為分的情況有：①員工答對(duì)甲類題，答錯(cuò)乙類題；與員工均答錯(cuò)甲類題，則；②員工答對(duì)甲類題，答錯(cuò)乙類題；與員工均答錯(cuò)甲類題，；③員工答對(duì)甲類題，答錯(cuò)乙類題；與員工均答錯(cuò)甲類題，，所以三人得分之和為分的概率為.（2）解：因?yàn)閱T工得分的概率為，B員工得分的概率為，員工得100分的概率為，所以，隨機(jī)變量，所以，.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，因?yàn)?，則，，所以，，所以，，故，設(shè)，則，，所以，，且，，所以，，所以，，又因?yàn)?，、平面，則平面，因?yàn)槠矫妫?（2）因?yàn)?，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，則，設(shè)，其中，，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.21．(1)(2)或【分析】（1）在中，根據(jù)余弦定理及可得，從而求得橢圓方程.（2）設(shè)，直線的方程為，代入橢圓方程得韋達(dá)定理，要使為常數(shù)，則，根據(jù)范圍得到的范圍及點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)，在中，設(shè)，，，，，所以橢圓的方程為：（2）設(shè)，直線的方程為，，，，設(shè)，若為常數(shù)，則，即，而此時(shí)，又，即或，綜上所述，或，存在點(diǎn)，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)任意恒為定值，因?yàn)榉肿臃帜钢型瑫r(shí)含有，這種情況下分子分母的對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例則整體可以為定值，故需要且即項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)成比例.22．(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）利用