專題9.7解析幾何中的定值定點和定線問題2

專題9.7解析幾何中的定值、定點和定線問題【核心素養(yǎng)】通過考查解析幾何中的定值、定點和定線問題，以及圓錐曲線與其它知識的交匯，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).知識點知識點一定值問題1.定義：定值問題是指雖然圓錐曲線中的某些要素（通常可通過變量進行體現(xiàn)）有所變化，但在變化過程中，某個量的值保持不變即為定值.(1)求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得．3.常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).4.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算知識點知識點二定點問題1.求解圓錐曲線中的定點問題的兩種思路：(1)特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點，再證明定點與變量無關(guān).(2)直接推理法：①選擇一個參數(shù)建立直線系方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常量當(dāng)成變量，將變量x，y當(dāng)成常量，將原方程轉(zhuǎn)化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根據(jù)直線過定點時與參數(shù)沒有關(guān)系(即直線系方程對任意參數(shù)都成立)，得到方程組；③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點就是直線所過的定點，若定點具備一定的限制條件，則可以特殊解決.2.求解圓錐曲線中的定點問題的方法（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為）（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立.此時要將關(guān)于與的等式進行變形，直至易于找到.常見的變形方向如下：①若等式的形式為整式，則考慮將含的項歸在一組，變形為“”的形式，從而只需要先讓括號內(nèi)的部分為零即可②若等式為含的分式，的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關(guān)；或者考慮讓分子分母消去的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過分離常數(shù)進行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）3.一些技巧與注意事項：（1）面對復(fù)雜問題時，可從特殊情況入手，以確定可能的定點（或定直線）.然后再驗證該點（或該直線）對一般情況是否符合.屬于“先猜再證”.（2）有些題目所求與定值無關(guān)，但是在條件中會隱藏定點，且該定點通常是解題的關(guān)鍵條件.所以當(dāng)遇到含參數(shù)的方程時，要清楚該方程為一類曲線（或直線），從而觀察這一類曲線是否過定點.尤其在含參數(shù)的直線方程中，要能夠找到定點，抓住關(guān)鍵條件.例如：直線，就應(yīng)該能夠意識到，進而直線繞定點旋轉(zhuǎn).知識點知識點三定直線問題探求圓錐曲線中的定直線問題的兩種方法：方法一是參數(shù)法，即先利用題設(shè)條件探求出動點T的坐標(biāo)(包含參數(shù))，再消去參數(shù)，即得動點T在定直線上；方法二是相關(guān)點法，即先設(shè)出動點T的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題設(shè)條件得到已知曲線上的動點R的坐標(biāo)，再將動點R的坐標(biāo)代入已知的曲線方程，即得動點T在定直線上．知識點知識點四圓錐曲線綜合問題處理策略解析幾何研究的問題是幾何問題，研究的方法是代數(shù)法(坐標(biāo)法)．因此，求解解析幾何問題最大的思維難點是轉(zhuǎn)化，即幾何條件代數(shù)化．在幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題后，為避免運算量、計算繁瑣問題，可注意以下幾種常用策略：1.借助“定義”，化繁為簡；2.設(shè)而不求，巧搭“跳板”；3.借用參數(shù)，變更“主元”；4.形形“相惜”，向量助攻；5.“韋達”助力，事半功倍.?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：橢圓中的定點問題【典例分析】例11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．例12.（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，則在軸上一定存在定點，使得以為直徑的圓恒過點，試求出點的坐標(biāo).【總結(jié)提升】1.動直線l過定點問題的常見思路（1）設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m,0)．（2）設(shè)動直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動直線過定點；2.動曲線C過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．【變式訓(xùn)練】變式11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．變式12.（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓過點，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段的中點，再過作直線，證明：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).題型二：橢圓中的定值問題【典例分析】例21.（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．例22.（2023秋·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓過，直線與橢圓交于、.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：.【總結(jié)提升】1.定值問題一般有兩種類型，一是所求為定值；二是證明某式為定值；2.求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．【變式訓(xùn)練】變式21.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．變式22.（2023秋·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓過點.(1)求橢圓的離心率；(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為A，求直線與直線的斜率之積.題型三：橢圓中的定直線問題【典例分析】例31.（安徽·高考真題（理））設(shè)橢圓的焦點在軸上（Ⅰ）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內(nèi)的點，直線交軸與點，并且，證明：當(dāng)變化時，點在某定直線上.例32（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓右焦點分別為，是上一點，點與關(guān)于原點對稱，的面積為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線，且交于點，，直線與交于點.證明：①直線與的斜率乘積為定值；②點在定直線上.【變式訓(xùn)練】變式31.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過點的動直線交橢圓于兩點，在線段上取點滿足，求證：點在某條定直線上．變式32.（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮阎獧E圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．題型四：雙曲線中的定點問題【典例分析】例41.（2023秋·江蘇連云港·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為，點，為C的左，右頂點．P為直線上的動點，與C的另一個交點為M，與C的另一個交點為N．(1)求C的方程；(2)證明：直線MN過定點．例42.（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的實軸長為，C的一條漸近線斜率為，直線l交C于P，Q兩點，點在雙曲線C上.(1)若直線l過C的右焦點，且斜率為，求的面積；(2)設(shè)P，Q為雙曲線C上異于點的兩動點，記直線MP，MQ的斜率分別為，，若，求證：直線PQ過定點.【變式訓(xùn)練】變式41.（2023秋·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，左焦點到雙曲線的漸近線的距離為，過點作直線與雙曲線的左、右支分別交于點，過點作直線與雙曲線的左、右支分別交于點，且點關(guān)于原點對稱．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線過定點．變式42．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的離心率為2，在C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)不經(jīng)過點P的直線l與C相交于M，N兩點，且，求證：直線l過定點.題型五：雙曲線中的定值問題【典例分析】例51.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B分別為雙曲線的左、右頂點，P為該曲線上不同于A，B的任意一點，設(shè)，，的面積為S，則（

）A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值例52.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點在雙曲線上．(1)點，為的左右頂點，為雙曲線上異于，的點，求的值；(2)點，在上，且，，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．【變式訓(xùn)練】變式51.（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）古希臘人從一對對頂圓錐的截痕中發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，并研究了它的一些幾何性質(zhì)．比如，雙曲線有如下性質(zhì)：A，B分別為雙曲線的左、右頂點，從C上一點P（異于A，B）向?qū)嵼S引垂線，垂足為Q，則為常數(shù)．若C的離心率為2，則該常數(shù)為（

）A． B． C． D．3變式52.（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？计谥校┮阎p曲線：實軸長為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過的直線與雙曲線交于，兩點，記直線，的斜率為，，請從下列的結(jié)論中選擇一個正確的結(jié)論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值題型六：雙曲線中的定直線問題【典例分析】例61.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.例62.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【變式訓(xùn)練】變式61.（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線過點，且焦距為.(1)求的方程；(2)已知過點的動直線交的右支于兩點，為線段上的一點，且滿足，證明：點總在某定直線上.變式62.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點在雙曲線上．(1)雙曲線上動點Q處的切線交的兩條漸近線于兩點，其中O為坐標(biāo)原點，求證：的面積是定值；(2)已知點，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點?，在線段上取異于點?的點，滿足，證明：點恒在一條定直線上．題型七：拋物線中的定點問題【典例分析】例71.（2019·北京·高考真題（理））已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．例72.（2023秋·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為?軸，且經(jīng)過點?.(1)求拋物線方程;(2)若直線?與拋物線交于?兩點，且滿足?，求證:直線?恒過定點，并求出定點坐標(biāo).【變式訓(xùn)練】變式71.（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線C：焦點為，直線l與拋物線C交于，兩點，且，（O為坐標(biāo)原點）．(1)求拋物線C的方程；(2)求證：直線l過定點．變式72.（2023秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為C的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程；(2)已知及曲線E上的兩點B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經(jīng)過定點．題型八：拋物線中的定值問題【典例分析】例81.（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過焦點的直線（斜率存在且不為0）交拋物線于兩點，線段的中垂線交拋物線的對稱軸于點，求.例82（2023秋·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，且．(1)求的值；(2)若直線l與交于M，N兩點，與交于P，Q兩點，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，證明：為定值．【變式訓(xùn)練】變式81.（四川·高考真題（理））已知拋物線：的焦點為，過且斜率為的直線與拋物線交于，兩點，在軸的上方，且點的橫坐標(biāo)為4.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點為拋物線上異于，的點，直線與分別交拋物線的準(zhǔn)線于，兩點，軸與準(zhǔn)線的交點為，求證：為定值，并求出定值.變式82.（2018·北京·高考真題（理））已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．題型九：拋物線中的定直線問題【典例分析】例91.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點的直線分別交拋物線于兩點．（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點分別作拋物線的切線，證明：的交點在定直線上．例92．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，，是C上兩個不同的點．(1)求證：直線與C相切；(2)若O為坐標(biāo)原點，，C在A，B處的切線交于點P，證明：點P在定直線上．【變式訓(xùn)練】變式91.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點且與相切．(1)求p的值：(2)點M在的準(zhǔn)線上，動點A在上，在A點處的切線l2交y軸于點B，設(shè)，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程．變式92.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準(zhǔn)線截得的弦長為8．(1)求拋物線的方程；(2)過點的兩條直線分別與曲線交于點A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點在直線上．.1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)過橢圓C右焦點的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線于點D．且,設(shè)直線QA，QD，QB的斜率分別為，，，若，證明：為定值．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，當(dāng)l垂直于x軸時，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.3.（2023秋·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點.(1)已知為拋物線的焦點，若的中點坐標(biāo)為，求；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標(biāo)軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點在定直線上．5．（2022春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，動點P滿足PAB的垂心為原點O.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時，.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：點P在定直線上.6.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右