無窮小與無窮大-極限運(yùn)算法則

第四節(jié)

無窮小與無窮大

當(dāng)一、無窮小定義1例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小;函數(shù)

時(shí)為無窮小;若函數(shù)y

f(x)在自變量x的變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中，f(x)為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小。注：（1）無窮小量是以零為極限的變量。（2）0是特殊的無窮小，很小的數(shù)不是無窮小。例1：當(dāng)時(shí)，下列變量中不是無窮小的是（）ABCDB定理1(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)其中思考：時(shí)，嗎？這個(gè)能寫出來嗎？函數(shù)以為極限的充分必要條件是：可以表示為與一個(gè)無窮小量之和，即二、無窮小的性質(zhì)定理1有限個(gè)無窮小量的和仍然是無窮小量。定理2

有界變量乘無窮小量仍然是無窮小量。推論1：常數(shù)乘無窮小量仍然是無窮小量。

推論2：無窮小量乘無窮小量仍然是無窮量。

無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和不一定是無窮小思考：無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和是否無窮小呢？因?yàn)橛蔁o窮小的性質(zhì)，得又因?yàn)槭菬o窮小，，即x

時(shí)，是有界變量，，所以解：三、無窮大定義2

若在自變量x的某個(gè)變化過程中，函數(shù)絕對(duì)值可以任意的大，則稱在該變化過程中，f(x)為無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大，記作

例如當(dāng)x0時(shí)，是無窮大；當(dāng)x

時(shí)，x3，x

都是無窮大。注意:無窮大不是很大的數(shù)，它是描述函數(shù)的變化趨勢(shì).2.函數(shù)為無窮大，必定無界.但反之不真!四、無窮小與無窮大的關(guān)系例如，當(dāng)x0時(shí)，x2是無窮小量，而是無窮大量。若為無窮大,為無窮小

;若為無窮小,且則為無窮大.則定理2.

在自變量的同一變化過程中,例如，當(dāng)x

時(shí)，x2

是無窮大量而是無窮小量。作業(yè)P42習(xí)題1-46第五節(jié)極限運(yùn)算法則

一、無窮小的運(yùn)算法則定理1有限個(gè)無窮小量的和仍然是無窮小量。定理2

有界變量乘無窮小量仍然是無窮小量。推論1：常數(shù)乘無窮小量仍然是無窮小量。

推論2：無窮小量乘無窮小量仍然是無窮量。

推論：當(dāng)C為常數(shù)，n為正整數(shù)，有定理3設(shè)則二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

定理6.設(shè)且

x滿足時(shí),又則有例1求(1)(2)四、求極限的常用方法直接代入法有理整函數(shù)或者分式函數(shù)一般采用直接代入法。結(jié)論:.,0)(0則商的法則不能應(yīng)用若=xQ)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx???=則有且設(shè),0)(,)()()(.201=xQxQxPxfnnnaxaxa+++=-L10100nnxxnxxxxaxaxaxf+++=-???L110)lim()lim()(lim000則有設(shè),)(.1110nnnaxaxaxf+++=-L例

1

求例

2

求解：解：例3求解解例4(消去零因子法)

通過約分.,,1分母的極限都是零分子時(shí)?x.1后再求極限因子先約去不為零的無窮小-x例5

求解：(消去零因子法)

通過有理化例6求解(無窮小因子分出法).,,分母的極限都是無窮大分子時(shí)￥?x.,,3再求極限分出無窮小去除分子分母先用x小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.為非負(fù)整數(shù)時(shí)有和當(dāng)nmba,0,00011???????íì<￥>==++++++--￥?,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)LL利用無窮小的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則無窮小和無窮大之間的關(guān)系小結(jié)常見極限類型求解方法：分子、分母同時(shí)除以最高次方消去分子或分母趨于零的因式通分進(jìn)行求解￥-￥型0￥型例

求解：例

求解：例

求解：例

求解：例

求解：例求解：例求解：例求例求解先變形再求極限.是無窮小之