江蘇省南京市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期九月月考試題與答案

江蘇省南京市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題與參考答案一、選擇題本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】解：由，得，由，得，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，其中為敘述單位，則的值為（）A. B. C.3 D.5【答案】D【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，則，故選：D3.已知隨機(jī)變量，則的值約為（）附：若，則，，A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題意知隨機(jī)變量，故，故，故選：A4.若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【詳解】解：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)，由于直線斜率為，則，又，所以，得，所以則切點(diǎn)為，切線方程為，所以.故選：C.5.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移y(m)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，由可得，所以，，，所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為.故選：D.6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題知：，因?yàn)椋?，整理得，所以，得?故選：A7.已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點(diǎn)，則三棱錐P-ABE外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由題，由圓的性質(zhì)，為直角三角形，，如圖所示，設(shè)外接球半徑為R，底面圓心為Q，外接球球心為O，由外接球的定義，，易得O在線段PQ上，又圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以底面圓半徑，∵，則，解得，∴外接球表面積為，故選：B．8.已知函數(shù)，任意，滿足，且，則的值為（）A. B.0 C.2 D.4【答案】C【詳解】令，，則，所以；令，，則，所以；令，則，所以，.令，，則①，令，，則②，令，，則③，假設(shè)，那么由③可知，將，代入②式發(fā)現(xiàn)與矛盾，所以不成立，.同理可得當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，.所以原式=.故選：C.二、選擇題本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有錯(cuò)選的得0分．9.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中，的充分條件有（）A. B.C. D.【答案】BC【詳解】解：A選項(xiàng)不是的一個(gè)充分條件，兩個(gè)平面垂直，兩條直線分別平行和垂直于平面，直線可能垂直，可能平行或異面，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)因?yàn)?，且，所以，又因?yàn)?，所以，故B正確；C選項(xiàng)因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以，故C正確；D選項(xiàng)不是的一個(gè)充分條件，兩個(gè)平面垂直，兩條直線分別平行于平面，直線可能垂直，可能平行或異面，故D錯(cuò)誤；故選：BC．10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AC【詳解】對(duì)A，，A正確；對(duì)B，，∵，∴，不等式不一定成立，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，∵，∴，不等式成立，C正確；對(duì)D，，所以，不等式不成立，D錯(cuò)誤；故選：AC．11.已知直線，點(diǎn)，圓心為的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線相切，則（）A.點(diǎn)的軌跡為拋物線B.圓面積最小值為C.當(dāng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，圓的半徑為D.存在點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由題意知：點(diǎn)到點(diǎn)與到定直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，符合拋物線定義，點(diǎn)的軌跡為拋物線，A正確；對(duì)于B，由A知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，則當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線距離最小，即此時(shí)圓的半徑最小，即，圓面積的最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A得：點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)，則圓的半徑，點(diǎn)到軸的距離，，解得：，圓的半徑，C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則，整理可得：，解得：，，或，D正確故選：ACD.12.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.存在，使得函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn) D.任意，【答案】ABD【詳解】A：因?yàn)?，所以，，因此，故，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；B：令，則，令，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故為奇函數(shù)，B正確C：時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；D正確；故選：ABD三、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．13.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．【答案】14.【詳解】，在中，的項(xiàng)系數(shù)為，對(duì)的項(xiàng)系數(shù)為，∴的系數(shù)為．14.雙曲線右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若，則的面積為_(kāi)_____________．【答案】4【詳解】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，，，設(shè)其左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)因?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，又由雙曲線的對(duì)稱性可得，由雙曲線的定義可得,所以，又，所以，所以，故答案為：4.15.如圖是構(gòu)造無(wú)理數(shù)的一種方法：線段；第一步，以線段為直角邊作直角三角形，其中；第二步，以為直角邊作直角三角形，其中；第三步，以為直角邊作直角三角形，其中；．．．，如此延續(xù)下去，可以得到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的一系列線段，如，，．．．，則____________．【答案】【詳解】解：由題可知所以，，，，所以，所以故答案為：.16.若函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________．【答案】【詳解】恒成立，單調(diào)遞增，又在上存在唯一的零點(diǎn)，，即，解得：；，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，即，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題本大題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}-卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.在平面四邊形ABCD中，∠ABD=45°，AB=6，AD=，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，且AE=EC，DE=2BE．（1）求的長(zhǎng)；（2）求cos∠ADC的值．【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】中，，又∠ABD=45°，AB=6，AD=，所以解得；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，AB=6，AD=，所以，所以；又，所以中，，所以所以，所以，所以；中，由余弦定理可得，又，，，所以所以，由正弦定理可得，所以，所以所以18.已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【小問(wèn)1詳解】，所以時(shí)，，所以【小問(wèn)2詳解】，所以19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．

（1）求證：PA∥平面MBD；（2）若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【小問(wèn)1詳解】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，可知O為AC中點(diǎn)，M為PC中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PA，且平面，平面，所以PA∥平面MBD.【小問(wèn)2詳解】由題意可得平行四邊形ABCD為菱形，建立如圖坐標(biāo)系，如下圖：在菱形ABCD，AB=AD=2，∠BAD=120°，，所以：，所以，，，，設(shè)平面MBA的法向量，則，得，令，則則面MBA的法向量，同理可得：平面MDA的法向量，所以，所以故二面角的正弦值為.20.某高校男、女學(xué)生人數(shù)基本相當(dāng)，為了解該校英語(yǔ)四級(jí)考試情況，隨機(jī)抽取了該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的男、女各50名學(xué)生的成績(jī)，情況如下表：合格不合格男生3515女生455（1）是否有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān)？（2）從這50名男生中任意選2人，求這2人中合格人數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（3）將抽取的這100名學(xué)生合格的頻率視為該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的每位學(xué)生合格的概率．若學(xué)生首次考試不合格，則經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的努力，第二次參加考試合格的概率會(huì)增加0.1．從該校學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，求至多兩次英語(yǔ)四級(jí)考試后，這兩人全部合格的概率．參考公式和數(shù)據(jù)：，．附表：【答案】（1）沒(méi)有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān)；（2）分布列見(jiàn)解析；期望為（3）0.9604【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，，，，所以，又，，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】由已知的取值有0，1，2，，，，所以概率分布為：012所以；【小問(wèn)3詳解】由已知該校學(xué)生首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試成績(jī)合格的概率為，首次不合格第二次合格的概率為，所以兩位同學(xué)都首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試成績(jī)合格的概率為，即，兩位同學(xué)其中一位首次合格，另一位同學(xué)首次不合格，第二次合格的概率為，即，兩位同學(xué)都首次不合格，第二次都合格的概率為，即，所以至多兩次英語(yǔ)四級(jí)考試后，這兩人全部合格的概率為.21.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(0，2)的動(dòng)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)A恰好為線段PF中點(diǎn)．（1）求p的值；（2）是否存在定點(diǎn)T，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及該常數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在；，【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且點(diǎn)A恰好為線段PF中點(diǎn)，所以，又因?yàn)锳在拋物線上，所以，即，解得【小問(wèn)2詳解】設(shè)，可知直線l斜率存在；設(shè)l：，聯(lián)立方程得：，所以，所以，又：，令，解之得：，即，此時(shí)(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．22.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若任意，