專題05 最短路徑問題（將軍飲馬）（知識串講+4大考點(diǎn)）原卷版

專題05最短路徑問題（將軍飲馬）考點(diǎn)類型知識串講（一）將軍飲馬模型①兩定一動②一定兩動③兩定兩動考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：兩定一動典例1：（2022秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P為AC邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則A．154 B．245 C．5 D【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點(diǎn)，E是AC邊上動點(diǎn)，當(dāng)EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【變式2】（2022秋·全國·八年級期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，G，H分別是AF和CD的中點(diǎn)，P是GH上的動點(diǎn)，連接AP，BP，則AP+BP的值最小時，BP與HG的夾角（銳角）度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式3】（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線a是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)計(jì)劃在直線a上修建一個供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)2：一定兩動典例2：（2023春·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南育英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分別找到一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長最小，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（

A．100° B．110° C．120° D．130°【變式1】（2019秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級?？计谥校┤鐖D，OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA邊上任意一點(diǎn)E，再爬到OB邊上任意一點(diǎn)FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【變式2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，若∠AOB=44°，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【變式3】（2022秋·重慶·八年級重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點(diǎn)O到線段MN的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．1.5考點(diǎn)3：兩定兩動典例3：（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，則四邊形BEFG周長的最小值為______．【變式1】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2(1)如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點(diǎn)時，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．考點(diǎn)4：造橋選址典例4：（2023秋·七年級單元測試）如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊A． B．C． D．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知村莊A和B分別在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN(假定河的兩岸彼此平行，且橋與河岸互相垂直)，下列示意圖中，橋的建造位置能使從村莊A經(jīng)橋過河到村莊B的路程最短的是(

)A． B．C． D．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，平行河岸兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條橋梁連接P，Q兩鎮(zhèn)，已知相同長度造橋總價(jià)遠(yuǎn)大于陸上公路造價(jià)，為了盡量減少總造價(jià)，應(yīng)該選擇方案（

）A．B．C．D．同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D分別在AB、AC的延長線上，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE=BC，PB與CE交于點(diǎn)H，PG∥DA交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA=GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正確的結(jié)論有（A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動點(diǎn)，若三角形CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（

）A．78 B．39 C．42 D．303．（2023秋·廣東江門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4 D．4.84．（2022秋·八年級單元測試）如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點(diǎn)O到線段MN的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．1.55．（2023春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期中）如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．二、填空題6．（2020秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,AB⊥AC,EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則△ABP周長的最小值是________．7．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝_______°．8．（2023秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB=22°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OA，OB上的動點(diǎn)，記∠MQP=α，∠OPN=β，當(dāng)MQ+QP+PN最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系為____________．三、解答題9．（2023秋·吉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平面上有五個點(diǎn)A，B，C，D，E．按下列要求畫出圖形．（1）連接BD；（2）畫直線AC交線段BD于點(diǎn)M；（3）請?jiān)谥本€AC上確定一點(diǎn)N，使B，E兩點(diǎn)到點(diǎn)N的距離之和最?。?0．（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）請畫出ΔABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的ΔA（2）在x軸上求作一點(diǎn)P，使ΔPAB的周長最小，請畫出ΔPAB，并直接寫出P的坐標(biāo)．11．（2022秋·北京·八年級北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的位置