專題4.5數(shù)學歸納法

知識點一知識點一數(shù)學歸納法1.證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立．(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．知識點知識點二數(shù)學歸納法的框圖表示考點01對數(shù)學歸納法的認識【典例01】（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)學歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將時左邊的等式除以時左邊的等式即可得解.【詳解】解：當時，左邊，當時，左邊，所以左邊應添加因式為故選：B.【典例02】（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學歸納法證明不等式：，從到時，不等式左邊需要增加的項為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)歸納法即可得到答案.【詳解】解：根據(jù)數(shù)學歸納法可知：當時，當時，相比從到，可知多增加的項為故選：D考點02應用數(shù)學歸納法證明恒等式【典例03】（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：．【答案】證明見解析【分析】利用數(shù)學歸納法進行證明，先證成立，再假設(shè)當時不等式成立，證得也成立，從而得證.【詳解】當時，左式，右式，顯然等式成立，假設(shè)當時，等式成立，即，則當時，，故當時，等式也成立，所以成立.【典例04】（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：．【答案】證明見解析【分析】按數(shù)學歸納法的步驟證明即可，即驗證時等式成立，且假設(shè)時等式成立，證明時等式成立即可.【詳解】當時，等式左邊，等式中間，等式右邊，即等式左邊=等式中間=等式右邊，等式成立；假設(shè)時等式成立，即有成立，我們分兩步來證明當時，等式成立，即分別證明此時等式左邊=等式中間，等式中間=等式右邊即可，第一步：由假設(shè)可知，當時，有成立，即當時，等式左邊=等式中間成立；第二步：由假設(shè)，所以此時有成立，從而可知，當時，有成立，即當時，等式中間=等式右邊成立；結(jié)合以上兩步有：若當時等式成立，則當時等式成立；綜上所述：由數(shù)學歸納法可得.【總結(jié)提升】數(shù)學歸納法證明等式的思路和注意點(1)思路：用數(shù)學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少．(2)注意點：由n＝k時等式成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設(shè)，進行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學歸納法．考點03應用數(shù)學歸納法證明整除性問題【典例05】（2023·全國·高二隨堂練習）設(shè)，用數(shù)學歸納法證明：是64的倍數(shù)．【答案】證明見解析【分析】利用數(shù)學歸納法來證明，當時，命題成立，再假設(shè)當時，能夠被64整除，證明當時，命題也成立．【詳解】（1）當時，能被64整除，命題成立．（2）假設(shè)當時，能夠被64整除．當時，能夠被64整除，能夠被64整除．即當時，命題也成立．由（1）（2）可知，能被64整除，即是64的倍數(shù)．【典例06】（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：能被整除（）【答案】答案見解析【分析】按照數(shù)學歸納法的證明方法進行證明【詳解】當時，，故能被整除，假設(shè)當時，結(jié)論成立，即能被整除，則當時，，由于和均能被整除，故能被整除，綜上：能被整除（）.【總結(jié)提升】1.用數(shù)學歸納法證明整除問題時，首先從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除．其中的關(guān)鍵是“湊項”，可采用增項、減項、拆項和因式分解等方法分析出因子，從而利用歸納假設(shè)使問題得到解決．2.利用數(shù)學歸納法證明整除問題，由歸納假設(shè)P(k)能被p整除，證P(k＋1)能被p整除，也可運用結(jié)論：若P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，將P(k＋1)變形轉(zhuǎn)化分解因式產(chǎn)生因式p．考點04應用數(shù)學歸納法證明不等式【典例07】（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：．【答案】證明見解析.【分析】應用數(shù)學歸納法，結(jié)合基本不等式證明不等關(guān)系.【詳解】當，則成立，若且時，成立，令，則，所以時不等式也成立，綜上，恒成立.【典例08】（2023·全國·高二隨堂練習）設(shè)，，且，用數(shù)學歸納法證明：．【答案】證明見解析【分析】利用數(shù)學歸納法的證明方法證明即可．【詳解】當時，左邊，右邊，因為，所以，故左邊右邊，原不等式成立；假設(shè)當時，不等式成立，即，則當時，，，在不等式兩邊同乘以得，所以．即當時，不等式也成立．綜上，對一切正整數(shù)，不等式都成立．【規(guī)律方法】1.數(shù)學歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵(1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法．(2)關(guān)鍵：由n＝k時命題成立證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用均值不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化.2.需要注意的是：(1)在應用歸納假設(shè)證明過程中，方向不明確時，可采用分析法完成，經(jīng)過分析找到推證的方向后，再用綜合法、比較法等其他方法證明．(2)在推證“n＝k＋1時不等式也成立”的過程中，常常要將表達式作適當放縮變形，以便于應用歸納假設(shè)，變換出要證明的結(jié)論．考點05應用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題【典例09】（2023春·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）記數(shù)列的前項和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．(1)求的通項公式：(2)若，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公和數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果，（2）討論時，不等式成立，證明時，，再利用錯位相減法求和與不等式的性質(zhì)，可證得結(jié)論.【詳解】（1）當時，，因為是公差為2的等差數(shù)列，所以，當時，，所以，所以，所以，所以數(shù)列是以3為公比，3為首項的等比數(shù)列，所以，所以，（2）證明：由（1）可得，當時，，當時，，可用數(shù)學歸納法證明：當時，，成立，假設(shè)時，成立，則當時，，所以當時，，所以，令，則，所以，所以，所以，即【典例10】（2022春·遼寧大連·高一大連八中校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列的前項和為，滿足，.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)記，，用數(shù)學歸納法證明：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量計算求出數(shù)列的通項公式；根據(jù)定義法判斷是首項為，公差為的等差數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）得到，根據(jù)數(shù)學歸納法先證明當時不等式成立，再假設(shè)時成立，進而證明時不等式也成立即可求證.【詳解】（1）（1）設(shè)首項為，公差為，由，得，解得a1=?1d=?2由，得，即，又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，所以，故.（2）由（1）知，即用數(shù)學歸納法：，①當時，左邊，右邊，不等式成立；②假設(shè)時成立，即，即當時，.即當時，不等式也成立.由①，②可知，不等式對任意都成立.【總結(jié)提升】數(shù)學歸納法中用放縮技巧證明數(shù)列不等式的關(guān)鍵在于觀察通項特征和所證結(jié)論，適當調(diào)整放縮幅度，做到放縮得恰到好處，同時還要做到放縮求和兩兼顧.將不等式加強主要是為了方便使用數(shù)學歸納法證明，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力．考點06應用數(shù)學歸納法證明其它問題【典例11】（2023·全國·高二隨堂練習）求凸n邊形的對角線的條數(shù)．【答案】【分析】使用數(shù)學歸納法證明，先證明時，結(jié)論成立，再假設(shè)時結(jié)論成立，進而論證時，結(jié)論依然成立.【詳解】因為三角形沒有對角線，即；四邊形有2條對角線，即；五邊形有5條對角線，即；猜想，下面利用數(shù)學歸納法證明：時，，命題成立；時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)；時，邊形時在k邊形的基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點，則增加的對角線是頂點與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊，增加的對角線條數(shù)為，所以，可知：當時，命題成立，所以猜想正確；綜上所述：凸n邊形的對角線的條數(shù).【典例12】（2023·全國·高二課堂例題）在平面上畫n條直線，且任何2條直線都相交，其中任何3條直線不共點.問：這n條直線將平面分成多少個部分？【答案】【分析】先通過，2，3，4，5的結(jié)果歸納出，再用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】記n條直線把平面分成個部分，我們通過，2，3，4，5，畫出圖形觀察的情況（如圖）從圖中可以看出，，，，，.由此猜想.接下來用數(shù)學歸納法證明這個猜想.（1）當，2時，結(jié)論均成立.（2）假設(shè)當時結(jié)論成立，即.那么，當時，第k+1條直線與前面的k條直線都相交，有k個交點，這k個交點將這條直線分成k+1段，且每一段將原有的平面部分分成兩個部分，所以，結(jié)論也成立.根據(jù)（1）和（2）可知，對，都有，即.考點07歸納猜想證明【典例13】（2023秋·高二課時練習）設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且．記．如果對于所有的正整數(shù)均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通項公式，并加以證明．【答案】(1)，，，，(2)，證明見解析【分析】（1）利用代入法進行求解即可；（2）根據(jù)前五項的特點進行猜想，然后利用數(shù)學歸納法進行證明即可.【詳解】（1）因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因為，，所以舍去，同理可得：舍去，舍去，舍去，所以，，，，；（2）猜想：，證明過程如下：當時，顯然成立，假設(shè)當時成立，即，當時，，解得：，或，因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然，所以，舍去，所以當時，成立，綜上所述：【典例14】（2023春·陜西西安·高二?？计谥校┰O(shè)數(shù)列滿足，.(1)計算，，猜想的通項公式并用數(shù)學歸納法加以證明；(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)，證明詳見解析(2)證明詳見解析【分析】（1）先求得，，然后猜想并利用數(shù)學歸納法進行證明.（2）利用裂項求和法求得，進而證得不等式成立.【詳解】（1）依題意，，，則，所以，猜想.當時，成立，假設(shè)當時，猜想成立，即，則當時，，猜想成立，所以.（2），所以.【總結(jié)提升】1.數(shù)學歸納法源于對某些猜想的證明，而猜想是根據(jù)不完全歸納法對一些具體的、簡單的情形進行觀察、類比而提出的．給出一些簡單的命題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對任意自然數(shù)n都成立的一般性命題．解題一般分三步進行：(1)驗證P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，…；(2)提出猜想；(3)用數(shù)學歸納法證明．2.“歸納——猜想——證明”的一般步驟①計算(根據(jù)條件，計算若干項)．②歸納猜想(通過觀察、分析、綜合、聯(lián)想，猜想出一般結(jié)論)．③證明(用數(shù)學歸納法證明)．3.與“歸納——猜想——證明”相關(guān)的常用題型的處理策略①與函數(shù)有關(guān)的證明：由已知條件驗證前幾個特殊值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學歸納法證明．②與數(shù)列有關(guān)的證明：利用已知條件，當直接證明遇阻時，可考慮應用數(shù)學歸納法．1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導數(shù)求得的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進而取推得不恒成立.【詳解】法1：因為，故，對于A，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當時，成立，則，故成立，由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當時，成立，則，故成立由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當時，，，則，假設(shè)當時，，當時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當時，，，假設(shè)當時，，當時，因為，所以，則，所以，又當時，，即，假設(shè)當時，，當時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當時，，，猜想當時，，當與時，與滿足，假設(shè)當時，，當時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因為，當時，，則，假設(shè)當時，，當時，，則，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤.故選：B.2.（2005·北京·高考真題）數(shù)列的前n項和為，且求：（1）的值及數(shù)列的通項公式；（2）的值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）先求得的值，猜想出數(shù)列的通項公式，在利用數(shù)學歸納法證明.（2）利用等比數(shù)列前項和公式，求得的值.【詳解】（1）由于，當時，.當時，.當時，.猜想①.下面用數(shù)學歸納法進行證明：由上述分析可知，當時，①式符合.假設(shè)當時，①式符合，則.當時，，①式符合.綜上所述，當時，都有.所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）可知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和.3.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數(shù)學歸納法證明即可；（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項公式的特征，由錯位相減法求解即可．【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當時也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構(gòu)造法，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項均為0的常數(shù)列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：錯位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優(yōu)解】：裂項相消法，所以．［方法三］：構(gòu)造法當時，，設(shè)，即，則，解得．所以，即為常數(shù)列，而，所以．故．［方法四］：因為，令，則，，所以．故．【整體點評】（1）方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項從而歸納得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)學歸納法進行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項公式；方法三：由化簡得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項公式；方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項，歸納得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項公式．（2）方法一：根據(jù)通項公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；方法二：根據(jù)通項公式裂項，由裂項相消法求出，過程簡單，是本題的最優(yōu)解法；方法三：由時，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；方法四：將通項公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項和即可，其中數(shù)列的前項和借助于函數(shù)的導數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨特，很好的簡化了運算．一、單選題1．（2023春·上?！じ叨谥校┯脭?shù)學歸納法證明“當為正奇數(shù)時，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應寫成（）A．假設(shè)正確，再推正確B．假設(shè)正確，再推正確C．假設(shè)正確，再推正確D．假設(shè)正確，再推正確【答案】B【分析】注意為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．【詳解】解：根據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟，注意為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應寫成：假設(shè)正確，再推正確；故選：B．2．（2023春·海南·高二統(tǒng)考期末）在正項數(shù)列中，，，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減【答案】A【分析】先判斷大小關(guān)系，進而假設(shè)數(shù)列單調(diào)性，利用數(shù)學歸納法證明即可得結(jié)論.【詳解】由，且，顯然成立，假設(shè)，成立，當時，則，所以，故為遞減數(shù)列.故選：A3．（2023春·上海·高二期末）用數(shù)學歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出時左端的表達式，和時左端的表達式，比較可得“n從到”左端需增乘的代數(shù)式．【詳解】解：當時，左端＝，當時，左端＝，故左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：B．二、多選題4．（2022春·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，下列說法正確的是（）A．使不等式成立的第一個自然數(shù)B．使不等式成立的第一個自然數(shù)C．推導時，不等式的左邊增加的式子是D．推導時，不等式的左邊增加的式子是【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法逐項分析判斷.【詳解】當時，可得；當時，可得；即使不等式成立的第一個自然數(shù)，故A錯誤，B正確；當時，可得；當時，可得；兩式相減得：，所以推導時，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯誤；故選：BC.5．（2023春·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列滿足（且），則（

）A．若，則數(shù)列是等比數(shù)列 B．若，則數(shù)列是等差數(shù)列C．若，則數(shù)列中存在最大項與最小項 D．若，則【答案】ABD【分析】由等比數(shù)列和等差數(shù)列的概念可判斷A，B，利用B中結(jié)論求得，利用函數(shù)單調(diào)性可判斷C，利用數(shù)學歸納法及作差法判斷選項D．【詳解】選項A，因為若，，所以，，…，，即，，是等比數(shù)列，故A正確；選項B，令，而，，又，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，故B正確；選項C，由選項B的結(jié)論及可知：，，顯然，數(shù)列在上單調(diào)遞減，故當時，有最大值2，沒有最小值，故C錯誤；選項D，用數(shù)學歸納法證明，(1)當時，，(2)假設(shè)當，時，不等式成立，即，即，當時，，滿足，故當時，不等式也成立，綜合(1)(2)，對任意，有，下面證明，，，上面不等式中的等號不成立，，，故，故D正確．故選：ABD．三、填空題6．（2023春·上海浦東新·高一華師大二附中?？计谀┯脭?shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的概念，結(jié)合證明的不等式，即可求解.【詳解】由不等式，當時，可得，所以用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式為.故答案為：.四、解答題7．（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法分別證明公差為的等差數(shù)列的前項和公式與公比為的等比數(shù)列的前項和公式．【答案】證明見解析【分析】先驗證當時，兩個結(jié)論都成立，然后假設(shè)當時，兩個結(jié)論成立，利用數(shù)列前項和的定義推導出當時，兩個結(jié)論也成立，結(jié)合歸納原理可得結(jié)論成立.【詳解】證明：先證明公差為的等差數(shù)列的前項和公式，當時，，結(jié)論成立，假設(shè)當時，結(jié)論成立，即，則當時，，這說明當時，結(jié)論也成立，由歸納原理可知，公差為的等差數(shù)列的前項和公式.接下來證明：公比為的等比數(shù)列的前項和公式.因為，當時，，結(jié)論成立，假設(shè)當時，結(jié)論成立，即，則當時，，這說明當時，結(jié)論也成立，由歸納原理可知，公比為的等比數(shù)列的前項和公式.8．（2023秋·高二課時練習）是否存在常數(shù)、、，使等式對任何正整數(shù)都成立？證明你的結(jié)論．【答案】答案見解析.【分析】令，利用待定系數(shù)法初步確定的值，后利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論.【詳解】假設(shè)存在，使得所給等式成立．令代入等式得解得以下用數(shù)學歸納法證明等式對一切正整數(shù)都成立．①當時，由以上可知等式成立；②假設(shè)當時等式成立，即，當時，．即時等式成立．由①②知等式對于一切正整數(shù)都成立．故存在，使等式對一切正整數(shù)都成立.9．（2023秋·高二課時練習）是否存在常數(shù)、、，使等式對任何正整數(shù)都成立？【答案】存在【分析】先假設(shè)存在參數(shù)列式求參，再應用數(shù)學歸納法證明成立即可.【詳解】若存在常數(shù)、、