平面向量的分解定理(滬教版高二上冊(cè))課件

平面向量的分解定理向量是數(shù)學(xué)中重要的一種概念，平面向量是我們基礎(chǔ)的概念之一。這個(gè)PPT將會(huì)對(duì)平面向量的相關(guān)概念、原理、定理和應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)的介紹。什么是平面向量？概念及性質(zhì)平面向量是擁有大小和方向的一種向量，由有向線段表示。同一向量可以由不同的有向線段表示。坐標(biāo)表示使用笛卡爾坐標(biāo)系，則$\vec{v}(x,y)$表示在平面上向量的表示。其中x和y是向量在x軸和y軸上的分量。平面向量的加法運(yùn)算規(guī)則是什么？1三角形法則將兩個(gè)向量首尾相接起來形成三角形，從同一個(gè)端點(diǎn)開始，另一個(gè)端點(diǎn)為和向量即可得到和向量的大小方向。2平行四邊形法則以兩個(gè)向量的起點(diǎn)為定點(diǎn)，以兩個(gè)向量為相鄰邊構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，從構(gòu)成平行四邊形的定點(diǎn)出發(fā)引一條對(duì)角線，和向量即為對(duì)角線。平面向量的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則是什么？數(shù)乘的定義數(shù)乘即向量與純量(實(shí)數(shù))相乘，仍得到一個(gè)向量。方向若$k>0$，則數(shù)乘結(jié)果與原向量同方向；若$k<0$，則數(shù)乘結(jié)果與原向量反方向。大小數(shù)乘結(jié)果的大小為$|k|$倍的原向量的大小。平面向量的模長(zhǎng)及其性質(zhì)？1定義平面向量$\vec{a}$的模長(zhǎng)記作$\|\vec{a}\|$，是指由向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)所成的線段長(zhǎng)度。2性質(zhì)模長(zhǎng)$\|\vec{a}\|\geq0$.當(dāng)且僅當(dāng)向量$\vec{a}$零向量時(shí)等號(hào)成立。平面向量的點(diǎn)乘運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則？1定義平面向量$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積記作$\vec{a}\cdot\vec$，是一個(gè)標(biāo)量。2計(jì)算公式$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2$，$a_1,a_2,b_1,b_2$分別是向量的坐標(biāo)。平面向量的叉乘運(yùn)及其運(yùn)算規(guī)則？1定義平面向量$\vec{a}$和$\vec$的叉積記作$\vec{a}\times\vec$，是一個(gè)向量。2計(jì)算公式$\vec{a}\times\vec=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_1&a_2&0\\b_1&b_2&0\end{vmatrix}=(0,0,a_1b_2-a_2b_1)$。其中，$i,j,k$為三維坐標(biāo)系的基本向量。平面向量的基本性質(zhì)和定理？共線定理兩個(gè)非零向量共線，當(dāng)且僅當(dāng)它們的比例為定值，即$\vec{a}=k\vec$。平行定理兩個(gè)非零向量平行，當(dāng)且僅當(dāng)它們線性相關(guān)。垂直定理兩個(gè)非零向量互相垂直，當(dāng)且僅當(dāng)它們的點(diǎn)積為0。線性相關(guān)向量組的向量分解方法？線性組合如果$\vec{a}_1,\vec{a}_2,...,\vec{a}_n$是一個(gè)向量組，那么任一向量$\vec$都可以唯一地表示為$\vec=k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+...+k_n\vec{a}_n$的形式。向量分解如果$\vec{a}_1,\vec{a}_2,...,\vec{a}_n$是一個(gè)向量組，且其中一部分線性無關(guān)，則每個(gè)向量與此線性無關(guān)向量組都有唯一的分解。平面向量投影的概念及其計(jì)算公式？1定義向量的投影是指在$\vec{a}$方向上的它的標(biāo)量分量。2計(jì)算公式向量$\vec$在$\vec{a}$方向上的投影長(zhǎng)度為$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}$，向量$\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}$。平面向量的正交性及其判定方法？定義如果兩個(gè)向量的點(diǎn)積為0，則這兩個(gè)向量互相垂直，我們稱它們?yōu)檎幌蛄?。判定方法判斷向?\vec{a}$和向量$\vec$是否正交，只需要判斷$\vec{a}\cdot\vec=0$是否成立。平面向量組的正交化方法？施密特正交化給定一個(gè)向量組，將起始向量定為正交系，對(duì)于剩余向量進(jìn)行正交化，處理后向量組中的任意兩個(gè)向量均正交。施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化在施密特正交化的基礎(chǔ)上，對(duì)正交化向量組中的向量，進(jìn)行單位化，使得向量組中的向量模長(zhǎng)都為1。平面向量的分解定理的概念及其證明？定義對(duì)于正交向量組$\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$和任意一個(gè)向量$\vec{x}$，向量$\vec{x}$可以唯一表示為$\vec{x}=\operatorname{proj}_{\vec{a_1}}\vec{x}+\operatorname{proj}_{\vec{a_2}}\vec{x}+...+\operatorname{proj}_{\vec{a_n}}\vec{x}$。證明結(jié)合正交向量的定義，$\vec{x}=(k_1\vec{a_1}+k_2\vec{a_2}+...+k_n\vec{a_n})+\vec{r}$，其中$\vec{r}$與$\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$均正交。進(jìn)而得到$\vec{r}=\vec{x}-(k_1\vec{a_1}+k_2\vec{a_2}+...+k_n\vec{a_n})$。平面向量的分解定理的應(yīng)用舉例？平面向量加法對(duì)于向量組$\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$，可以將向量$\vec$進(jìn)行分解，再對(duì)每個(gè)向量分別進(jìn)行加法。平面向量投影任意向量$\vec$在向量$\vec{a}$方向上的投影$\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec$也可以看做是一個(gè)向量組中的向量。平面向量的極坐標(biāo)表示法及其相互轉(zhuǎn)換？1極坐標(biāo)表示法在平面直角坐標(biāo)系中，向量$\vec{a}$可以表示為長(zhǎng)度$r$和方向$\theta$的極坐標(biāo)形式$(\cos\theta,\sin\theta)r$。2極坐標(biāo)系下的加法運(yùn)算兩個(gè)向量在極坐標(biāo)系下相加，只需將兩個(gè)向量的極坐標(biāo)相加即可。3極坐標(biāo)系下的數(shù)乘運(yùn)算向量在極坐標(biāo)系下的數(shù)乘，只需要將長(zhǎng)度與標(biāo)量相乘，不改變向量的方向。平面內(nèi)兩條直線的夾角余弦公式？公式設(shè)$l_1$和$l_2$為平面內(nèi)的兩條直線，$\theta$為它們的夾角，向量$\vec{a}$和$\vec$是$l_1$和$l_2$的方向向量，則$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\|\vec{a}\|\|\vec\|}$。極坐標(biāo)系下的推導(dǎo)設(shè)$l_1$的極坐標(biāo)表示法為$(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$l_2$的極坐標(biāo)表示法為$(\cos\beta,\sin\beta)$，則$\cos\theta=(\cos\alpha,\sin\alpha)\cdot(\cos\beta,\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)}}$。平面向量的幾何意義和物理意義？1幾何意義向量描述的是具有方向和大小的物理量，如速度、力、位移等。向量的方向表示物理量作用的方向，而向量的模長(zhǎng)則表示物理量的大小。2物理意義向量場(chǎng)（矢量場(chǎng)）是物理學(xué)中常用的一種描述性工具。在物