專題12.1 證明【十大題型】（舉一反三）（蘇科版）（原卷版）

專題12.1證明【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1命題的概念】 1【題型2判斷命題的真假】 2【題型3互逆命題】 2【題型4三角形內角和的運用】 3【題型5三角形外角的運用】 4【題型6直角三角形性質的運用】 5【題型7平行線性質的運用】 7【題型8平行線判定的運用】 8【題型9平行公理的運用】 9【題型10推理與論證】 10【題型1命題的概念】【例1】（2022秋·湖南婁底·八年級統(tǒng)考期中）下列語句是命題的是（）（1）兩點之間，線段最短；（2）如果x2＞0，那么x＞0（3）如果兩個角的和是90度，那么這兩個角互余；（4）過直線外一點作已知直線的垂線．A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（4）【變式1-1】（2022秋·浙江杭州·八年級期末）下列句子中，屬于命題的是（

）A．直線AB和CD垂直嗎？ B．過線段AB的中點C作AB的垂線C．同旁內角不互補，兩直線不平行 D．已知a2=1，求【變式1-2】（2022春·寧夏固原·七年級校考階段練習）下列語句：①鈍角大于90°；②兩點之間，線段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁內角不互補，兩直線不平行．其中不是命題的是____________．【變式1-3】（2022春·七年級課時練習）判斷下列語句是否是命題．如果是，請寫出它的題設和結論．(1)內錯角相等；(2)對頂角相等；(3)畫一個60°的角．【題型2判斷命題的真假】【例2】（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）下列命題中：其中是假命題的個數(shù)共有（

）①如果a+b=0，那么a=b=0；②如果a=3，那么③三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對頂角；⑤三角形的內角和等于180°；⑥兩個銳角的和是鈍角．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式2-1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）下列命題中，是真命題的為（

）A．相等的角是對頂角 B．兩直線平行，同旁內角相等C．同位角相等 D．經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【變式2-2】（2022春·河北保定·七年級統(tǒng)考階段練習）將命題“等角的補角相等”改寫成“如果……那么……”的形式，可寫成________________，該命題是_________（填“真命題”或“假命題”）．【變式2-3】（2022春·山西·七年級統(tǒng)考階段練習）判斷下列命題的真假，如果是假命題，請舉一個反例，真命題不需要舉例．（1）鈍角的補角是銳角；（2）一個角的余角小于這個角；（3）如果a=b，那么【題型3互逆命題】【例3】（2022秋·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）命題“實數(shù)a、b，若a=b，則a2=b2”的逆命題是_________________________，請你舉出一個反例【變式3-1】（2022春·全國·八年級專題練習）命題“若-3a>-3b，則a<b”的逆命題是________．【變式3-2】（2022春·江蘇·七年級專題練習）下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？(1)同旁內角互補，兩直線平行．(2)如果兩個角是直角，那么這兩個角相等．【變式3-3】（2022春·江蘇·七年級專題練習）已知命題“如果a=b，那么a=b(1)寫出此命題的條件和結論；(2)寫出此命題的逆命題；(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例進行說明．【題型4三角形內角和的運用】【例4】（2022秋·山西運城·八年級統(tǒng)考期末）在探究證明“三角形的內角和等于180°”時，飛翔班的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內角和等于180°”的是（

）A．延長BC至D過C作CE∥AB B．過A作DE∥BCC．過D作DE∥BC D．過P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【變式4-1】（2022秋·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）在研究三角形內角和等于180°的證明方法時，小虎給出了下列證法．證明：在△ABC中，作CD⊥AB（如圖），∵CD⊥AB（已知）∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定義）∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形兩銳角互余）∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性質）∴∠A+∠B+∠ACB=180°．請你判斷上述小虎同學的證法是否正確，如果不正確，寫出一種你認為較簡單的證明三角形內角和定理的方法．【變式4-2】（2022春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線a∥b，直線AB與直線a，b分別相交于點A、B，AC交直線b于點C．（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度數(shù)：（2）請說明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180o．【變式4-3】（2022秋·重慶合川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的角平分線BD、CE相交于點F．(1)若∠A=54°，∠ABC=50°，求∠CFD的度數(shù)；(2)求證：2∠BFC=∠A+180°．【題型5三角形外角的運用】【例5】（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點P，若∠A=50°，則∠BPC等于（

）A．110° B．120° C．130° D．160°【變式5-1】（2022秋·海南?？凇て吣昙壭Ｂ?lián)考期末）將一塊等腰直角三角板和一塊含30°角的直角三角板按圖所示方式疊放，則∠DOC等于（

）A．45° B．60° C．75° D．105°【變式5-2】（2022秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點D在BC邊上（點B，C除外），點E在AC邊上，且∠ADE=∠AED．(1)若∠B=∠C=45°，∠BAD=60°，求∠CDE的度數(shù)；(2)求證：∠BAD=2∠CDE．【變式5-3】（2022秋·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠B=∠C，點D在BC邊上（點B、C除外）點E在AC邊上，且∠4=∠AED．(1)如圖1，若∠B=∠C=45°．①當∠1=60°時，求∠2的度數(shù)；②試推導∠1與∠2的數(shù)量關系．(2)深入探究：如圖2，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠1與∠2的數(shù)量關系，要求有簡單的推理過程．【題型6直角三角形性質的運用】【例6】（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）兩個直角三角板如圖擺放，其中∠ABC=∠BCD=90°，∠A=30°，∠D=45°，AC與BD交于點P，則∠BPC的大小為（

A．30° B．45° C．60° D．75°【變式6-1】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，將其折疊使點A落在BC邊上的A'處，折痕為CD，則∠【變式6-2】（2022秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線．∠B>∠C．(1)若∠B=60°，∠C=36°，則∠DAE=______°．(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE與α、β的數(shù)量關系？【變式6-3】（2022秋·河南駐馬店·七年級?？计谀┤鐖D1，將兩塊直角三角板的直角頂點A疊放在一起．(1)若∠PAQ=45°，則∠CAB=；若∠CAB=130°，則∠PAQ=；(2)猜想∠CAB與∠PAQ的大小有何關系，并說明理由；(3)如圖2，若是兩個同樣的直角三角尺45°銳角的頂點A重合在一起，猜想∠PAB與∠CAQ的大小又有何關系，并說明理由．【題型7平行線性質的運用】【例7】（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，現(xiàn)將一個含30°角的直角三角尺EFG按如圖方式放置，其中頂點F、G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點H，若∠EHB=50°，則∠AFG的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．115° D．120°【變式7-1】（2022秋·貴州貴陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，含45°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含30°的三角板的一個頂點在含45°角的三角板的一邊上，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．20° C．15° D．14°【變式7-2】（2022秋·四川樂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，BC平分∠ABD交AD于點E．(1)證明：∠1=∠3；(2)若AD⊥BD于點D，∠CDA=34°，求∠3的度數(shù)．【變式7-3】（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM(1)求∠CBD(2)在點P運動過程中，試判斷∠APB與∠(3)當點P運動到使∠ACB=∠ABD【題型8平行線判定的運用】【例8】（2022春·浙江杭州·七年級期末）下列圖形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（

）A． B．C． D．【變式8-1】（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知條件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180°；⑤∠5+∠6=180°；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能夠判定直線【變式8-2】（2022春·安徽滁州·七年級校考期末）如圖，BD平分∠ABC，點F在AB上，點G在AC上，F(xiàn)C與BD相交于點H，∠3＋∠4＝180°，試說明∠1＝∠2（請通過填空完善下列推理過程）解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（

）．∴∠3＋∠FHD＝180°（等量代換）．∴FG∥BD（

）．∴＝∠ABD（

）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝（

）．∴∠l＝∠2（

）．【變式8-3】（2022秋·海南海口·七年級?？计谀cE在射線DA上，點F、G為射線BC上兩個動點，滿足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．(1)如圖1，當點G在點F右側時，①試說明：BD∥②試說明∠DGE=∠BDG-∠FEG；(2)如圖2，當點G在點F左側時，（1）中的結論②是否成立，若不成立，請寫出正確結論；（不用說理）(3)如圖3，在（2）的條件下，P為BD延長線上一點，DM平分∠BDG，交BC于點M，DN平分∠PDM，交EF于點N，連接NG，若DG⊥NG，∠B-∠DNG=∠EDN，求∠B的度數(shù)．【題型9平行公理的運用】【例9】（2022春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13A．23° B．33° C．44° D．46°【變式9-1】（2022秋·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，若∠1=40°，∠2=50°，∠3=65°則∠4=_______．【變式9-2】（2022春·廣東河源·七年級?？计谀┤鐖D，已知AB∥EF，GC⊥CF，∠ABC=65°，∠【變式9-3】（2022秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）問題提出（1）如圖1，若點A在B處的北偏東38°方向上，在C處的北偏西46°方向上，則∠BAC=．問題探究（2）如圖2，直線l1∥l2，且l3分別與l1，l2交于A，B兩點，點P在直線AB問題應用（3）某模具公司生產如圖3所示的刀片，刀柄外形是一個直角梯形（下底挖去一小半圓），若小刀的刀片上、下平行，則認為該刀片合格，經過測量可得∠1+∠2=90°，你認為這樣小刀的模具合格嗎？請說明理由．【題型10推理與論證】【例10】（2022秋·八年級課時練習）我們的數(shù)學教材中有一個“搶30的游戲”，現(xiàn)在改為“甲、乙二人搶20”的游戲．游戲規(guī)則是：甲先說“1”或“1、2”乙接著甲的數(shù)往下說一個或兩個數(shù)，然后又輪到甲再接著乙的數(shù)往下說一個或兩個數(shù)，甲、乙反復輪流說，每次每人說一個或兩個數(shù)都可以，但不能連續(xù)說三個數(shù)，也不能一個數(shù)也不說．誰先搶到20，誰就獲勝．因為甲先說，你認為誰會獲勝？請你分析獲勝策略、推理說明獲勝的道理．【變式10-1】（2022秋·八年級課時練習）問：在8×8的國際象棋盤上最多可以放多少個“+”字形（其中每個“+”字形占據(jù)棋盤的5個小方格），使得任意兩個“+”字形不重疊，且每個“+”字形都不超出棋盤的邊界？證明你的結論．【變式10-2】（2022秋·八年級課時練習）有12名游客要趕往離住地40千米的一個火車站去乘火車，離開車時間只有3小時了，他們步行的速度為每小時6千米，靠走路是來不及了，唯一可以利用的交通工具只有一輛小汽車，但這輛小汽車連司機在內最多能乘5人，汽車的速度為每小時60千米．（1）甲游客說：我們肯定趕不上火車；（2）乙游客說：只要我們肯吃苦，一定能趕上火車；（3）丙游客說：趕上或趕不上火車，關鍵取決于我們自己．親愛的同學，當你身處其境，一定也有自己的想法，請你就某位游客的說法，用數(shù)學知識以理其人，由于難度不同，請你慎重選擇．選擇（1）答對只能給3分，選擇（2）答對可以給4分，選擇（3）答對我們獎賞你滿分6分．【變式10-3】（2022秋·八年級課時練習）2007年9月，在中國舉行了第五屆女足世界杯，受到了世人矚目．現(xiàn)假設某組有四個球隊，分別為A，B，C，D四個足球隊，在小組賽中她們進行循環(huán)比賽（即任意兩隊之